挑战以前的理解：物理学家提出了一种基于波的热传输理论

诸平

Fig. 1 Researchers from the Institute of Nuclear Physics in Cracow have applied the Doppler effect and the telegraph equation to explore heat transport in complex systems like biological tissues. Their findings suggest that heat transport can exhibit wave-like behaviors, potentially revolutionizing medical and cosmetic procedures by improving heat management techniques. Credit: SciTechDaily

Fig. 2 The Doppler effect can be heard particularly clearly when a train passes by. The presence of the same effect in the generalized telegraph equation indicates the wave nature of heat transport over small distances. Credit: IFJ PAN

据波兰科学院亨利克·尼沃德尼赞斯基核物理研究所(The Henryk Niewodniczanski Institute Of Nuclear Physics Polish Academy Of Sciences简称IFJ PAN)2024年6月7日提供的消息，挑战以前的理解——波兰物理学家提出了一种基于波的热传输理论（Challenging Previous Understanding – Physicists Propose a Wave-Based Theory of Heat Transport）。

物理学家将多普勒效应（Doppler effect）与热传递联系起来，认为生物组织具有波状特性，这对医疗和美容技术具有启示意义。

当一列火车驶近或一辆救护车鸣笛靠近我们时，我们听到的声音频率会增加，然后逐渐减少。当它经过时，频率突然变为较低的频率，然后进一步降低。这种常见的现象被称为多普勒效应，它可以为一个看似无关的领域提供有价值的见解:热传输（heat transport）。

热传输的物理学（The Physics of Heat Transport）

虽然烧伤对每个人来说都是痛苦的，但对物理学家来说却是一种独特的痛苦。除了身体上的疼痛，他们还必须确定在生物组织等复杂系统中控制热传输的精确机制。是与最初聚集的分子扩散有关的扩散，还是与声波现象有关?

在一项发表在《国际热与质传递杂志》（ International Journal of Heat and Mass Transfer）上的新研究中，来自克拉科夫波兰科学院核物理研究所（Institute of Nuclear Physics of the Polish Academy of Sciences in Cracow）的理论家们，利用电报方程（telegraph equation）和多普勒效应(日常生活中熟悉的概念)探索了这个问题。相关论文详见：Tobiasz Pietrzak, Andrzej Horzela, Katarzyna Górska. The generalized telegraph equation with moving harmonic source: Solvability using the integral decomposition technique and wave aspects. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2024, 225, 125373. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2024.125373. Pub Date: 12 March 2024. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2024.125373

电报方程和波动（Telegraph Equation and Wave Motion）

波动(Wave motion)是用一个叫做波动方程（wave equation）的方程来描述的。然而，随着19世纪末电报技术的进步，很明显，这个方程需要修改才能准确地描述摩尔斯电码信息(Morse code messages)的传输。这些修改需要考虑到电流通过其传播的介质(即通过电报电缆)的衰减。考虑到电信，电报方程随后被发展用来描述电流如何沿一个空间维度衰减传播。

“近年来，巧妙推广的电报方程有了新的应用:它也开始被用来描述与扩散或热传输有关的现象。这一事实促使我们提出了一个有趣的问题，”IFJ PAN的卡塔日娜·戈斯卡（Katarzyna Gorska）博士说。“在波动方程的解中，即无阻尼时，会出现多普勒效应。这是一个典型的波动现象。但是它是否也出现在与热传递相关的电报方程的解中呢?如果是这样，我们将有一个很好的迹象表明，至少从理论的角度来看，没有理由相信在有阻尼的系统中，例如在生物组织中，热流不能被视为波现象。”

物理学中的多普勒效应（The Doppler Effect in Physics）

经典的多普勒效应是相对于观察者运动的源所发射的波的频率的明显变化。当源与观测者之间的距离减小时，发射波的最大值和最小值到达接收器的频率高于源与观测者之间的距离增加时。就声波而言，我们可以清楚地听到驶近的火车或快速驶近的救护车的鸣笛声，其频率明显高于这些车辆驶离我们时的频率。

IFJ PAN的安德烈泽·霍泽拉（Andrezej Horzela）教授解释说:“多普勒现象发生在波动方程中，我们说它是局部的。我们理解当地的情况，因为在行动和反应之间没有延迟。例如，力学原理是局部性的——作用在物体上的合力的变化会立即引起物体加速度的变化。然而，我们都知道，我们可以拿起一个热杯子，在我们感觉到它燃烧之前，一两秒钟过去了。这种现象具有一定的滞后性;我们说它是非局部的，换句话说，是在时间上被涂抹的。因此，我们是否在描述时间涂抹系统的广义电报方程中看到了多普勒效应?”

数学挑战与创新（Mathematical Challenges and Innovations）

解决这个问题是具有挑战性的，因为广义电报方程的数学复杂性，其中导数和积分同时发生。然而，克拉科夫物理学家证明，广义电报方程的解可以用一个称为从属（subordination）的过程，从更简单的局部方程的解中构造出来。从属关系通过反映时间非局部性的特定函数，用更简单的内在时间代替方程中复杂的物理时间。这种简化使方程的解的推导成为可能。

上述论文的合著者、克拉科夫跨学科博士学院（Cracow Interdisciplinary Doctoral School）的研究生托比亚斯·皮耶特扎克（Tobiasz Pietrzak）说：“在我们的方法中，从属包括用与物理时间相关的特定内在时间取代均匀流逝的物理时间，其中方程很复杂，我们通过包含有关过程的时间非局部性信息的适当函数来实现。这个过程将方程简化成一种可以找到它们的解的形式。”

结果及影响（Results and Implications）

普通电报方程的解表现出多普勒效应的典型特征。它们显示了一个清晰、尖锐的频率变化的存在，对应于声源经过观察者的时刻，观察者记录的声音的音调有一个瞬间的、突然的变化。克拉科夫物理学家在广义方程的解中观察到类似的行为。

因此，多普勒效应似乎是波动的一个基本特征。然而，这还不是全部。在物理世界中，每一个波都有它的波前，稍微简化一下，可以用它的开始和结束来识别。当我们观察波的正面(因此它的波前)时，很容易看到多普勒频移(Doppler shift)。事实证明，由于观测者和源之间距离的变化而引起的波频率变化也会发生在不存在波前的波中，例如在无限区域内定义的波。

对热传播的波动方面的研究似乎是一个非常抽象的考虑，但它转化为日常实践似乎是相当真实的。来自波兰科学院核物理研究所{Institute of Nuclear Physics of the Polish Academy of Sciences (IPJ PAN) }的物理学家指出，他们所获得的知识可以被使用，特别是在涉及短距离热传输的情况下。例子包括医疗应用，对热传输机制的更好理解可能有助于开发更安全的激光手术器械技术，或者找到一种比以前更有效地从烧伤组织中去除多余热量的方法。美容学对减少美容过程中发生的不必要的热效应感兴趣，也可能受益。

本研究得到了波兰国家科学中心（National Science Centre Poland）的资助。 

上述介绍，仅供参考。欲了解更多信息，敬请注意浏览原文或者相关报道。

From burns to the wave nature of heat – via the telegraph equation

Abstract

The paper is devoted to study the frequency shift in the solution of the generalized telegraph equation with a moving point-wise harmonic source. This equation contains the nonlocality in time derivatives which is expressed by the memory functions and, where smears the second time-derivative and the first one. Moreover, in the Laplace domain we have. The generalized telegraph equation with an external source is solved by using the integral decomposition which allows us to write this solution as a product of the solution of the telegrapher equation with harmonic source and which is a function of the Laplace transform of memory function. Such obtained solution manifests the frequency shift which is illustrated in three examples of the memory functions: the localized case, its mixture with power-law, and the power-law case only. We show that only the first two cases have the wave front and the Doppler-like shift. The third example, despite the lack of wave fronts, also manifests the frequency shift. Thus it turns out that the frequency shift occurs regardless of the existence of a wave front, but it is more visible when such a front exists.