物理学家发现了一个解决百万美元数学难题的新方法

诸平

据美国加州大学圣巴巴拉分校（University of California - Santa Barbara）2022年1月19日提供的消息，加州大学圣巴巴拉分校的物理学家格兰特·雷蒙（Grant Remmen）相信他有一种探索ζ函数怪癖的新方法（Quantum zeta epiphany: Physicist finds a new approach to a $1 million mathematical enigma）。他发现了一个类比，可以将许多函数的重要性质转化为量子场论。这意味着研究人员现在可以利用这个物理领域的工具来研究神秘而奇怪的普遍存在的ζ函数。他的工作甚至可以证明黎曼假设（Riemann hypothesis）。2021年12月8日格兰特·雷蒙在《物理评论快报》（Physical Review Letters）网站上阐述了他的方法。详见Grant N. Remmen. Amplitudes and the Riemann Zeta Function. Physical Review Letters, 2021, 127(24): 241602. DOI: 10.1103/PhysRevLett.127.241602.  Published 8 December 2021. https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.127.241602. 图1雷曼散射振幅(如图)将黎曼ζ函数转化为量子场论的语言。此文2021年8月中旬已经在预印本文库网站（arXiv:2108.07820）发布，并且在2021年12月8日进行了更新。说明：Fig.1来自新闻报道，Figure 1则来自原论文。

Fig.1 Remmen's scattering amplitude (pictured) translates the Riemann zeta function into the language of quantum field theory. Credit: Grant Remmen

Figure 1 Illustration of A(s) defined in Eq. (3). As shown in text, A(s) is meromorphic, with poles at s=μn2 corresponding to the nontrivial zeros of the Riemann zeta function, ζ(1/2±iμn)=0.

π、e和φ这样的字母鸡′′′经常出现在科学和数学中意想不到的地方。帕斯卡三角形（Pascal's triangle）和斐波那契数列（Fibonacci sequence）似乎也在自然界中普遍存在。还有黎曼ζ函数，一个看似简单的函数，自19世纪以来一直困扰着数学家。最著名的难题是黎曼假设（Riemann hypothesis），它可能是数学中最大的未解问题。克雷数学研究所(Clay mathematics Institute)悬赏100万美元，奖励能正确证明黎曼假设的人。

加州大学圣巴巴拉分校卡弗里理论物理研究所(Kavli Institute for Theoretical Physics)的博士后学者格兰特·雷蒙说：“黎曼ζ函数是数论中随处可见的著名而神秘的数学函数。这个问题已经被研究了150多年。”他的新结果会使这个百年未解之难题破解吗？

外部的角度来看（An outside perspective）

格兰特·雷蒙通常不致力于解决数学中最大的问题。他总是全神贯注地钻研物理学中的重大问题。作为加州大学圣巴巴拉分校(UC Santa Barbara)的基础物理学研究人员，他通常专注于粒子物理学、量子引力、弦理论和黑洞等主题。“在现代高能理论中，最大尺度和最小尺度的物理都有着最深的奥秘，”他说。

他的专长之一是量子场论，他将其描述为“20世纪物理学的胜利（triumph of 20th century physics）”。大多数人都听说过量子力学(亚原子粒子，不确定性，等等)和狭义相对论(时间膨胀，E=mc²，等等)。“但是有了量子场论，物理学家们发现了如何将狭义相对论和量子力学结合起来，来描述以光速或接近光速运动的粒子的行为，”他解释说。

量子场论并不是一个单一的理论。它更像是一组科学家可以用来描述任何粒子相互作用的工具。

Fig. 2 The zeta function maps all the colored points to zero. The non-trivial zeros (red) all seem to lie on a line where the real component of the number equals ½. Credit: GRANT REMMEN, HARRISON TASOFF

格兰特·雷蒙实现了其中的一个概念，它与黎曼ζ函数有许多相同的特征。它被称为散射振幅(scattering amplitude)，它对粒子相互作用的量子力学概率负责。这引起了他的好奇心。

散射振幅通常适用于动量是复数的情况。这些数字包括一个实部和一个虚部——√-1的倍数，数学家称之为i。散射振幅在复平面上有很好的性质。首先，它们是解析的(可以表示为一个级数)，除了一组特定的极点，它们都在一条直线上。

格兰特·雷蒙说：“这似乎与黎曼ζ函数的零点相似，它们似乎都在一条直线上。所以我想，如何确定这种表面上的相似性是否真实存在。”

散射振幅极点对应于粒子产生，在粒子产生动量的物理事件发生的地方。每个极点的值对应于所产生的粒子的质量。所以这是一个找到一个像散射振幅的函数，它的极点对应于函数的非平凡零点的问题。

格兰特·雷蒙用笔、纸和电脑来检查他的结果，开始设计一个具有所有相关属性的函数。他说：“几年前，我就有了将黎曼ζ函数与振幅联系起来的想法。一旦我开始寻找这样一个函数，我花了大约一周的时间来构建它，完全探索它的属性和写论文花了几个月的时间。”

看似简单的（Deceptively simple）

在其核心，ζ函数概括了调和级数:

1/1^x+1/2^x+1/3^x+······

这个级数在x≤1时膨胀到无穷大，但它收敛于一个实际的数字对于每一个x > 1。

1859年， 波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）决定考虑当x是复数时会发生什么。这个函数现在被命名为黎曼ζ函数（Riemann zeta），它输入一个复数，然后输出另一个复数。

波恩哈德·黎曼还决定将ζ函数扩展到实分量不大于1的数值，方法是将其定义为两部分:熟悉的定义适用于函数表现的地方，另一个隐含的定义适用于函数通常会膨胀到无穷大的地方。

由于复分析中的一个定理，数学家们知道这个新领域只有一个公式，可以平稳地保持原函数的性质。不幸的是，没有人能够将它表示为具有有限多个项的形式，这是围绕这个函数的神秘之处之一。

考虑到函数的简单性，它应该有一些不错的特性。“然而，这些属性最终变得极其复杂，难以理解，”波恩哈德·黎曼说。例如，取函数等于零的输入。所有的负偶数都被映射为零，尽管这是显而易见的，或者像数学家说的那样，当ζ函数被写成某种形式时是“平凡的”。令数学家困惑不解的是，所有其它非平凡的零似乎都在一条线上:它们中的每一个都有一个1/2的实份量。

黎曼假设这种模式适用于所有这些非平凡的零（non-trivial zeros），并且这种趋势在最初的几万亿个零中得到了证实。也就是说，有些猜想在上万亿个例子中都成立，但在非常大的数字中却失败了。所以数学家不能确定假设是正确的，直到它被证明。

但如果这是真的，黎曼假设就具有深远的意义。“由于各种原因，它在数学的基本问题中随处可见，”格兰特·雷蒙说。在计算理论、抽象代数和数论等不同领域，此假设都是成立的。例如，证明它可以提供质数分布的精确解释。

Fig. 3 The zeta function transforms the grey line from the previous image into this curve. Each of the red points is a spot where this curve passes through the origin (0,0). Credit: GRANT REMMEN, HARRISON TASOFF

一个物理模拟（A physical analog）

格兰特·雷蒙发现的散射振幅，描述了两个无质量的粒子，通过交换无限组质量粒子相互作用，一次一个。这个函数有一个极点，在这个极点上，它不能被表示为一个与每个中间粒子的质量相对应的级数。无穷极与黎曼ζ函数的非平凡零点在一起。

格兰特·雷蒙构建的是交互作用的主要组成部分。有无限多的，每一个解释的相互作用越来越小的方面，描述的过程涉及多个质量粒子的同时交换。这些“环级振幅”将是未来工作的主题。

黎曼假设假设ζ函数的非平凡零都有一个1/2的实分量。把这个转化成格兰特·雷蒙的模型:所有振幅的极点都是实数。这意味着，如果有人能证明他的函数描述了一致量子场论（consistent quantum field theory），即质量是实数，而不是虚数，那么黎曼假设将得到证明。

这一公式将黎曼假设带入科学和数学的另一个领域，为数学家提供了强大的工具。“不仅黎曼假设有这种关系，而且黎曼ζ函数还有一大堆其他属性，它们与散射振幅的物理性质相对应，”格兰特·雷蒙说。例如，他已经用物理学的方法发现了与ζ函数相关的非直觉的数学恒等式。

格兰特·雷蒙的工作遵循了研究人员通过物理学来揭示数学难题的传统。例如，物理学家加布里埃尔·维内齐诺（Gabriele Veneziano）在1968年提出了一个类似的问题:欧拉β函数是否可以被解释为散射振幅。“确实可以，”格兰特·雷蒙说，“加布里埃尔·维内齐诺构造的振幅是弦理论的第一个振幅。”

格兰特·雷蒙希望利用这个振幅来更多地了解ζ函数。他说:“所有这些类似物的存在意味着这里发生了一些事情。”

这种方法为可能证明这个有几个世纪历史的假说开辟了一条道路。格兰特·雷蒙说：“证明这个振幅确实来自于一个合理的量子场理论的必要创新，会自动地给你提供充分理解ζ函数所需要的工具，它可能也会给你更多。”

对于数学自己一窍不通，所以上述介绍，仅供参考，如有不妥请指正。欲了解更多信息，敬请注意浏览原文或者相关报道。

Abstract

Physical properties of scattering amplitudes are mapped to the Riemann zeta function. Specifically, a closed-form amplitude is constructed, describing the tree-level exchange of a tower with masses m_n²=μ_n², where ζ(1/2±iμ_n)=0. Requiring real masses corresponds to the Riemann hypothesis, locality of the amplitude to meromorphicity of the zeta function, and universal coupling between massive and massless states to simplicity of the zeros of ζ. Unitarity bounds from dispersion relations for the forward amplitude translate to positivity of the odd moments of the sequence of 1/μ_n².