离散系统脉冲耦合网络的同步

2018_InfoSci_synchronization regions.pdf

我们小组在Information Sciences刚刚发了一篇研究离散系统脉冲耦合网络的同步的文章《Synchronization regions of discrete-time dynamical networks with impulsive couplings》by    （Li et.al, Information Sciences, 459,265-277,2018)[1]。目前对连续系统的动态网络的同步研究比较多，而节点是离散系统、节点间脉冲耦合的网络其动力学性质和同步的文章似乎没有见到。在自然界和人造系统中，离散系统而且相互耦合作用是瞬间的现象是很多的，例如，动物群体按季节相互作用和交配，蚁群在某些时刻交换和传递食物和信息，在分布式传感器网络中，传感器也是定期向邻居节点广播收集到的信息，这种瞬间脉冲作用从能量角度来看也是节能的。这里研究的节点是离散系统（迭代系统），耦合方式是在某些离散时刻作脉冲耦合。过去我们研究过时变离散网络[2]，也研究过节点为连续系统在离散时刻作脉冲耦合的网络[3]。

下面我们简要分析现在这篇文章。首先我们看到，这里节点是离散系统（迭代系统），它的时钟t是1，2，...，而另外有一个脉冲时钟t_k，间隔t_k-t_k-1应该超过1，在分析上划分时要保持所有时刻的不遗漏与不重复。

where i = 1, 2, . . . ,N, and B_k is the n×n diagonal coupling matrix at the impulsive instant t_k.

全局同步针对节点任意初始值，局部同步强调在同步流形附近的稳定性。对于虫口模型，参数a的大小决定混沌的程度，也决定了L的大小。

文章给出3个定理是建立在Lyapunov定理基础上得到的，都是很基本和重要的。定理1、2给出全局同步和局部同步的充分性条件，定理3给出动力学最大Lyapunov指数作为条件的局部同步条件。3个定理指出，整个脉冲同步判据由网络拓扑结构的耦合矩阵、脉冲间隔、脉冲大小以及自身动力学（系数L ）共同决定，之间的非线性关系十分复杂有趣。

仿真例子展现了对于给定动力学其同步域与L，脉冲强度及脉冲间隔的复杂关系。总的来说，i）当系统参数L>1时，脉冲间隔较小有利于同步，过大的间隔是无法同步的，而脉冲强度并不是越大越有利于同步，过大或者过小的强度都不利于同步。这一点类似于连续系统由主稳定函数方法得到的有界同步域。离散系统的对于虫口模型的系数a，它决定了L > 1 , L <1 ，a过大即混沌性强，这时局部同步越困难，同步域变得很小。较小的a，同步域变得越来越大，这时候还出现对时间间隔奇偶性的现象（Fig5,6），这如何解释，是否与虫口模型本身“大年小年“的性质有关？ ii）当系统参数L<1时，脉冲间隔较大有利于同步。以虫口模型为例，当单个系统的a<1，这时有L<1，并且对应着单个虫口模型收敛到零点，描述了濒临灭绝的种群相互间多进行脉冲耦合，可以延缓单个虫口模型收敛到零点的过程。

本文所考虑的同步框架假设节点间无延迟、信息是完整的。然而，在实际复杂的动态网络中，节点间的信息交换可能会延迟或丢失传输，今后的工作中将加以考虑。文章揭示的规律可望解释现实中如种群动力学、机器人团队和传感器网络等的控制和同步问题。

[1]  Zengyang Li, Hui Liu, Jun-an Lu, Zhigang Zeng, Jinhu Lü, Synchronization regions of discrete-time dynamical networks with impulsive couplings, Information Sciences 459 (2018) 265–277

[2]  Liang Chen, Jinhu Lü, Jun-an Lu, David John Hill, Local asymptotic coherence of time-varying discrete ecological networks, Automatica, 2009, 45:546-552

[3]  Xiu Ping Han,Jun-An Lu and Xiao Qun Wu， Synchronizationofimpulsivelycoupledsystems，International Journal of Bifurcation and Chaos,2008,18 (5): 1539-1549