6.7第6章第4节C,降水统计力学—气象统计学私探（32）

张学文，2020 10 23 基于1985-2006-10-28的文稿，

（C）几个常用参数

  下面就遵守Γ分布的变量x_n计算一下它的数学期望值、众值、方差值、标准差和离差系数推导它们的相应的公式．这些变量在统计上是时常要求算的。（2006年注：由于这些内容属于统计数学的基本内容，一些比较专门的数学书上都有，故1985年我推导它们的过程只具有数学练习的意义，这里就不重复，而只把结果列于下：）

   （6.49）

上面是数学期望E(x_n)一般公式。即n个负指数型的随机变量的合计值x_n的数学期望E(x_n)是单变量的数学期望的n倍。

x_n出现在那个值附近的概率最大?这就是求它的众值的问题。显然x_n 为众值时依—般求极值的方法把f(x_n) 对x_n 求得的导数令之为零而有

     （6.50）

即x_n的概率最大的位置。对比以上两式可以看出众值与均值(数学期望)并不重合，而当n=l时，概率最大点出现在变量为0时。这表明一次降水中最容易出现的是微量降水。这与降水实践经验是很符合的。在前面的图中我们已绘了n=8时均值为众值的关系示意。

依照方差的定义可得Γ分布的方差公式为

     （6.51）

即Γ分布下方差为原变量均值的平方的n倍。或说n个变量合计值的方差为一个变量的方差的n倍。

  依定义标准差为方差的平方根，故

        （6.52）

在n=l时，标准差与均值相等。这是指数律的一个有趣关系。统计上常计算离差系数C_v,它是标准差与均值的比值。即

对我们研究的Γ分布应当有

      （6.53）