气象灾害笼罩面积与出现概率的关系

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张学文

（中国气象局乌鲁木齐沙漠气象研究所，乌鲁木齐，830002）

（2007，8注：本文发表在沙漠与绿洲气象杂志1卷3期15-18页）

摘    要

摘要：从气象图表（如天气图）上可以得到某气象灾害（如暴雨、高温，也可以是一般气象现象、要素、变量等）所笼罩的面积占总面积的百分比F，从气象资料中可以得到该气象现象的出现概率p。本文证明：F对时间的平均值等于p对天气图面积的平均值。本文初步讨论了这个定理的应用，还指出对这类问题的深入分析会引出分布函数概念和熵气象学。

关键词：气象现象，概率，气象现象占有的面积，灾害

1. 引言和问题

在媒体和气象部门的公告中经常引述“在多少面积上出现了某类灾害，有时还提出出现了多年不遇（如百年）的灾害等等”。本文讨论灾害笼罩的面积与多年不遇（对应于一定的出现概率）的关系问题，并且给出一个对应的定理。

1.1灾害所笼罩的相对面积

在每天电视台的全国天气预告节目中，能够看到全国那些区域下过暴雨或者出现过高温……我们也不难估计或者计算出该气象灾害或者现象（雨、雪、高温、大风…..，以x代表它）笼罩的面积占了全国总面积的百分比（相对面积）F_x 是多少。

现在的问题是：气象灾害x笼罩的面积占全国面积S的百分比F_x ，是否具有什么规律性？我们是否可以寻找到关于F_x的一般规律、关系…..

1.2灾害的出现概率

我们通过气象站或者卫星等手段记录各个地点各个时刻的气象灾害（现象），并且统计着它的出现次数、出现概率。这对于对气象工作者不是十分陌生的事，而且统计气象学已经给出的大量规律、关系^[1]。

现在的问题是：气象现象x的出现概率p_x与x笼罩的相对面积F_x之间是否存在什么关系？

1.3面积与概率是无关的吗

有时我们可以看到这样的报道说：某国或者某区域今年发生了N年一遇的灾害（N=50，100等），而且似乎这十分意外。我们的问题是：N年一遇的灾害，今年在多大的面积上出现是正常的，在多大的面积上出现是“稀遇”的、意外的？

气象灾害（现象）x的出现概率的计算是本站（同一地点）气象资料在时间领域的统计，同一时刻气象灾害（现象）x占的相对面积的计算是各地气象资料在面积上的统计，它们不是一个维度上的问题，难道它们会有关系？

如果它们之间有关系存在，那么我们就可以把气象灾害（现象）x的出现次数（概率）知识转移到气象灾害（现象）x占有的面积方面来。这不仅扩大的统计气象学的应用面，也使我们迅速掌握了气象灾害（现象）笼罩面积的一般知识。这些知识自然对气象预告有实用价值（你能预告出明天全国暴雨的总面积，尽管具体地点说不很准，也是有价值的）。

笼罩面积与出现概率的关系显然是一个重要问题。但本文目前仅讨论一个有关定理。

2.灾害笼罩面积与出现概率一个定理

如果某气象灾害（现象）在任何地点从来没有出现过，那么它出现的概率自然等于零，而该灾害（现象）占有的面积也是零。这个简单分析提示我们：出现x的概率和占有面积应当是有联系的。

2. 1气象灾害（现象）x笼罩的相对面积的时间平均值与x出现概率的面积平均值相等定理

这个定理的含义是气象灾害（现象）x的出现概率在面积S上的平均值等于气象灾害（现象）x在区域S上占的面积的百分比F_x 的时间平均值。

例如：

  l“x”代表“过去24小时当地的降水≥30毫米”这个气象现象；
l假如分析的区域是中国的总面积（面积为S）这个范围，而我们有的资料是30年的逐日中国雨量分布图，而F_x（t）的含义是t时刻以前24小时内当地下的雨≥30毫米的区域占的面积s与中国总面积S的比值，F_x（t）=s(t)/S ,这个值我们可以从气象台的资料中得到;
l所谓F_x的时间平均值，自然就是30年的30×365天的每天的F_x值的平均；
l所谓p_x的面积平均，自然就是中国总面积S上充分多的各个气象站点的24小时降水≥30毫米的事件的出现概率平均值；
l定理指出这两种含义不同的量应当相等。 

2.2论域和术语

我们讨论这样一个区域：它有面积S，在S上均匀分布着Q个气象站，每个气象站对它所在的小区域(小面积)有代表性。所以每个气象站代表了S/Q 这个小面积上的各个位置的气象情况（如下过雨，下过大雨10毫米的雨、出现过大风、冰雹、沙尘暴、最高温度超过30度…）。这里的“过”字代表一个连续的“时间段”，它一般代表24小时（也可以代表12小时，或者更短或更长）。如果气象灾害（现象）x在过去的总时间（如5000天）中出现3天，我们说该现象在该气象站出现了3“次”，如果区域S 内有r 个站都出现了一次，就认为出现了r 个“站次”。如果8个站中每个站都出现3次，就认为一共出现了24站次（24=3×8）。 

2.3定理的证明

我们在概率的古典定义下展开问题。古典概率p的定义是p=m/n，这里的n，m，分别表示在总的n次事件中有利于事件x 的事件的次数是m （如掷骰子时1点的出现概率是1/6）。结合前面的例子，某气象站有利于气象灾害（现象）x出现的次数m和总的次数n分别是30年中24小时降水≥30毫米的次数和30年的总天数，30×365。所以m/n就是该现象在该站（该小面积）的出现概率p。

对于任何一个点i（在区域S内），气象现象x的出现概率p_x(i）=m_i/n 。设面积S上均匀地分布着充分密的气象站总数量是Q，那么出现概率对面积的平均值显然应当是

由于第i个气象站30年间出现x的总次数是m_i，, 所以这里 的含义是30年间，总面积S上的Q 个气象站出现现象x的总出现“站次”数，我们用W表示它，即=W 。

显然，总面积S上均匀分布的Q 个气象站，也就意味着每个气象站代表的面积是S/Q 。

设Q 个气象站中在j时刻有q(j)个气象站出现了气象灾害（现象）x。那么x 在 j时刻占的相对面积F_x的表达式F_x(j) 应当是

它的时间平均值 应当是

由于时刻j在S上出现x的气象站的个数是q(j)，, 所以这里的含义是30年间，S上的Q个气象站出现灾害（现象）x的“总站次”数。它显然也就是W，即=W，于是

所以 ，这样就证明了如下定理：气象灾害（现象）x笼罩的相对面积的时间平均与出现概率的面积平均值相等。 

3.定理的初步应用

3.1雨区面积问题

我们已经证明了气象灾害（现象）的出现概率和它占有的相对面积之间存在着定量联系。它的一个定性应用就是：如果24小时内有降水的事件的出现概率在全国各地的平均值等于0.3(各地平均3天有一场雨)，那么雨区占全国总面积的百分比的时间平均值也应当是0.3，即平均而言雨区占总面积的30% 。

如果预告人员每天预告的雨区总是大于总面积的50%，其预告肯定错误不少！--这样我们就把概率知识横向用到面积预告方面了。这个情况也提示我们，气象要素的概率统计，不仅过去已经有很多用途，而且它有了新用途。

这个认识也提示我们：如果我们过去对气象要素的概率计算没有认真进行，那么现在就有了新的理由要完成对应的气象现象的出现概率计算。

雨区问题的例子很容易扩大到例如冰雹、暴雨、干旱、极端温度等各种各样的气象以至非气象现象。所以这个定理的应用面是十分宽的。

3.2灾害面积和灾害程度的定量关系

现在来讨论N年一遇的灾害，今年的灾害出现在多大的面积（百分比）上是正常的，在多大的面积上出现是“稀遇”的、意外的？

由于有了这个定理的帮助，我们直接达到下面的定量结论：

N年一遇的灾害如果某年在全国发生的面积为1/N，那么这应当属于正常年份。

所谓“N年一遇的灾害”也就是当地每年（时间段落的长度为1年）出现的概率为1/N的灾害，这是工业、工程等领域经常使用的描述灾害出现概率的等价（变态）语言。把前面定理中的气象现象x理解为抽象的灾害自然完全可以。

       根据这个分析，假设全国各地有1万个工程都是按照万年一遇的标准设计的，那么某年有1个工程出了问题，应当是正常的，如果全国1万个工程是按照千年一遇的标准设计的，那么一年有10个出现问题，也在情理之中。

以上的分析与有关部门科学客观评价年景有关，也与保险公司的业务的科学设置有关。

    大灾害大面积发生的稀遇事件，当然不见得永远不可能出现。对于媒体过去在这方面的自由发言，气象工作者没有坚强的理论依据认可它或者否定它。而现在我们已经了初步的理性知识，我们可以根据概率推算面积了。当然有些问题要更深入的分析研究，而不单是本文的知识已经概括了一切。

4. 其他的扩展

    我们已经从雨区的笼罩面积与概率的关系问题扩大为各种气象现象、气象灾害的对应关系问题，并且又扩大到N年一遇的现象今年出现的面积问题。其实这还可以从另外方向扩大：我国在某日（如国庆节等）会有多少国土面积是好天气，有多少面积的温度在10-15℃范围，多少面积的温度在15-20℃范围…以至地球上的天气时时刻刻在变化，不同温度范围占有的面积是否反而不变化（有保守性）？这些问题在老的气象学里看不见的，但是它们不是不合理的问题。我们认为这些同样联系着概率，也联系着所谓的相对分布函数^[2，3]这个一般概念。而在所谓“熵气象学”^[4，5，6]那里，相对分布函数的一种积分联系着熵，关于熵又有一个十分重要的定律：最大熵原理。所以这些问题的深入讨论为熵原理在气象学中的广泛应用开辟了思路。

5. 小结

气象灾害（现象）x的出现概率是可以从当地的多年气象资料的统计中得到的，它是时间域的问题。气象现象x在同一时刻在面积S上占有的面积问题是可以通过天气图的分析而得到的，它是空间域的问题。

本文证明看似含义不同的量的某种平均值是相等的。这样就把概率问题和占有面积问题联系到一起。这种联系不仅推论出：全国的雨区（冰雹，暴雨…各种灾害）应当有多大的面积，也推论出：N年一遇的灾害，每年占有的全国面积如果是1/N，那么这仅是正常年景。

本文讨论的问题超出了经典气象学语言，又与一般的统计气象学有区别，但是它们不仅实用，而且是通向气象分布函数概念和熵气象学理论的道路。后续的工作依然很多。

参考文献

[1] 幺枕生、丁裕国.气候统计.北京：气象出版社，1990
[2] 张学文.相对分布函数和气象熵.气象学报，1986，2，44卷：214-219
[3] 张学文.组成论.合肥：中国科学技术大学出版社，2003
[4] 江禾.熵课题研究的若干进展.气象，1989年，15卷，9期：51-52
[5] 熵课题组.熵原理如何制约着大气.地球科学进展，1992，2期：45-47
[6] 张学文、马力.熵气象学.北京：气象出版社，1992