张学文，2020 07 12

2020说明：为配合气象统计学私探 网络版，这里把1987年我写的一篇文章贴此。

1999年的说明：本文原刊于《气象科技》杂志1987年第5期47-53页。它是本人对照气象问题向统计物理学（我在大学没有受过这方面正规教育）学习时的想法。在随后与马力等人完成的国家自然科学基金研究中，这里提及的不少思想得到了进一步证实。该研究的大部分成果在《熵气象学》中有介绍。在转抄本文（含ocr）时为便于理解和排版对极个别的文字和公式做了修改。作者于1999，5

大气的统计观

--大气统计函数与熵守衡猜想

张学文

（新疆气象科研所）

提要

本文从统计物理学角度分析了气象学基本问题。指出气象学中的大气微团等研究对象可与统计物理学中的基本研究对象（粒子）对应。因而统计物理学中的概念、方法和规律可以移植到气象学中来。文中定义了大气分布函数和大气的H函数，还研究了大气能量分布律和大气熵。文中综述了熵极值原理在气象上的应用并且提出了大气熵守衡猜想。最后指出如这一猜想被证实，则可以使中短期的数值天气预告的准确率明显提高。

一、引言

杨振宁认为十九世纪物理学的两大成就是电磁学和统计物理的理论建树。这两大成就都联系着麦克斯韦（J.C.Maxwell）的巨大贡献。在原子、分子仅是化学家的猜想假说的背景下，1860年麦克斯韦居然提出并解决了分子运动速率的分布问题。这至今仍被人们认为是科学史上的佳活。此后玻耳兹曼进而提出分子能量分布律，它们连同对热力学第二定律的统计解释从而创立了统计物理学。至今统计物理仍是很多诺贝尔奖获奖人开垦的沃土。

麦克斯韦把一瓶气体看作宏观总体。但他却去分析组成这一总体的微观分子速率为不同值者在给定温度下各占多少（相对）。从而导出著名的麦氏分子速率分布律。

类似地，如果我们把地球大气作为一个总体，我们能否也问一个相似的问题，即地球大气中不同风速的空气各占多大（相对）份额？

二十世纪初观测证实分子运动速度不仅很大而且变化很快。但麦克斯韦给出的不同速度的分子所占的份额（权重）却并不变化。

大气无时不在流动变化，但前述的不同的风速在总体中占有的不同份额是每时都变化？还是也基本不变？

如果这个关系相当稳定而不随大气环流变化、这是否意味着我们找到了约束大气的一个新关系？

我们能否像麦克斯韦、玻耳兹曼那样沿着类似思路建立起大气统计物理学？ 麦克斯韦把分子看作微观单元，我们能把大气微团看作对应的微观单元吗？

玻耳兹曼随后导出的能量分布律和H函数把统计物理向前推进了一大步。大气中没有对应的能量分布律和H函数存在吗？我们不能从这当中得到一些新借鉴吗？

当原子、分子的存在还没有被证实的情况下，欧洲的科学界中传播了麦克斯韦和玻耳兹曼的学说。在统计物理早已取得决定性胜利、气象观测也已经遍布全球的今天，我们想用统计物理的某些基本观点审查气象学问题可能是有启发性的。

本文就是对于上述问题作初步探讨。

二、研究对象的相似性

统计物理是通过对大量的微观粒子的研究而得出相应物质体系的宏观性质的。它研究的微观粒子在最初仅限于单原子的气体分子。随后用在原子、电子、光子上也取得成功。从理论要求方面看它并不要求粒子必需具有某些性质才可以成为统计物理的研究对象，而在于物质体系是由为数众多性质基本一样的粒子所组成。

依此来看，哪些气象元量可以看作是统计物理学上的粒子（微观的单元）呢？我们认为这是把统计物理方法引人气象科学中的第一个问题。即这个元量必须是气象上的元量，同时在大气中这个元量（粒子、质点、单元）要充分多，从而构成宏观的总体特性。只有这时才能引用统计物理方法。

1.大气微团

重要而又简单的一个概念就是气象学家惯用的大气微团，完全可以作为统计物理中的粒子来看待。

大气微团在气象上的含义是大气中的一团很小的空气。它小到这种程度，以致我们必须在气象科学的意义下把它看作是一个点。它仅有唯一的气象参量值，例如有唯一的温度、气压值和风速值。而整个大气是由极其众多的大气微团组成的。

在大气中，我们取一升空气或说取一克空气作为一个大气微团看待完全是恰当的。由于大气总质量约为10²¹克。这时我们看到大气总体是由大约10²¹个大气微团组成的。换言之，大气总体是由极其众多的大气微团组成的。这与统计物理中经常研究N个粒子，而N值经常理解为具有阿伏加德罗常数的数量级（10²³）是十分相近的。

我们还要指出空气微团也必须充分大。因为如果把微团取的与空气分子一样的大小，那么温度、气压、风速这些气象变量就失去了意义。因而微团又必须充分大，它要大到温度、气压等变量有意义，要大到气体状态方程可以用到这个空气微团上（这相当于非平衡统计物理中所谓的满足局域平衡假设）。

在统计物理中把气体单分子视为仅有三个分量的动能和它的三个坐标这六个变量就能确定其状态的粒子。对于空气微团来说要确定它的状态仅有六个变量是不够的。因为它除了确定位置的三个变量、确定运动速度的三个风速分量外，至少还有温度、气压、比湿这三个变量。即对于一个空气微团而言，它要有9个自由度、这说明对大气微团的研究要比研究分子运动复杂一些。

空气微团可以类似统计物理中的粒子那样从统计角度去分析，这就为引用统计物理方法到气象领域打开了道路。在分析大气的比湿分布律^[1]和风速分布律^[2]时我们就是把空气微团作为统计物理上的基本粒子看待，并找出有关的理论和实际分布律的。

2.其它单元

在廖树生^[3] 分析一个测站每次天气过程的降水量值时，他把当地的充分多次降水作为总体，而把一次降水量视为一个统计物理上的基本单元，从而得出指数分布律。

笔者在分析一次降水过程造成降水量在各地的分布时^[4]，也把一次降水过程在一个测站造成的雨量视为统计物理上的粒子去处理。据此得出的结果也是与实际相符的。而在笔者分析一次降水过程中降水强度的变化规律时^[4]，我们是把在一个测站上单位时间的降水强度作为基本单元处理的。

在云滴的表面自由能统计分布研究中，我们则把一个云滴视为一个单元，再沿统计物理思路分析。这就给出了稳定层云的一个云滴谱理论公式。

这几个例子都说明气象问题中的微观单元只要有着相同的性质，而系统又由极多个微观单元组成，那么统计物理的一些分析方法完全可以引人到气象对象中来。

在表1中我们给出统计物理与气象上的少数研究对象的微观与宏观尺度对比。从这里一方面看到它们的研究对象是不同的，也看到它们是有着不同层次上的微观与宏观关系。气象上的微观对象比较大，它易于直观观察。而其宏观总体，如一个天气系统，一个人难以观察，借助三万多公里高的人造卫星才易于看到宏观面貌。而统计物理上的微团单元其尺度很小，人们难以直接观察。

表（1）统计物理与气象学中微观与宏观对象的对比

如果回顾我们在动力气象学中研究的对象，易于看出从统计物理角度研究大气与过去动力气象中研究大气时所面对的研究对象，它的基本单元都是一样的。这种基本对象的相似性就为进一步的概念、方法和理论的移植打下了基础。

三、几个重要问题

科学史上的实例一再证实一个问题如没有正确的提法时常也难以找到解法。当我们把统计物理学中的观点与方法向气象学中移植时，一件十分重要的工作是对气象学中的核心问题要从统计角度有一个准确的提法。

这里就谈一下我们认为的几个重要问题的提法。

1．分布函数和大气中的 H 函数

由统计物理奠基人麦克斯韦和波尔兹曼引出的分子速度分布函数和H函数^[8]在统计物理中占有重要地位。

分子速度分布函数f(v,t) 描述了所研究的气体中在t时刻每单位体积中分子速度在v近处每有单位增量时分子个数的增量是多少。对于一个处于平衡状态下的气体，它就是著名的麦克斯韦分子速度分布律。应当承认函数f(v,t) 已经对分子运动规律作了相当细致的描述。但是我们也要注意到这个函数包括的统计性。因为它远没有回答每一个分子在该时刻有什么速度。它仅是回答了有某种速度者有多少个分子。

对照统计物理中这一重要函数，我们也定义大气中的一个相应的函数f 。这个f 函数我们称为大气分布函数。它的含义是在t时刻的地球大气总质量中、其温度值介于T→T＋dT，其气庄值介于p→p＋dp，其比湿值介于q→q＋dq，其风速值介于v_x→v_x+dv_x ，v_y→v_y+dv_y ，v_z→v_z+dv_z 的大气质量dM与上述元量的比值，即

    dM＝f·dT·dp·dq·dv_x·dv_y·dv_z     （1）

一般地说f是时间t、气压p、温度T、比湿q和风速矢量v的函数。故可以写成

    f=f(T,p,q,v,t)     (2)

从（2）式看，大气分布函数一般而言是7个自变量的函数。它的结构自然比较复杂，现在也难以讨论它是否具有解析表达式。但是大气的存在本身也就必然有这个函数存在。

显然这是描述大气统计状态的一个重要函数。它的自变量中没有地理坐标，所以它不回答每个点的气象要素是什么。但它告诉我们整个地球大气中不同的气象要素值分别占有了多少大气，大气的平均温度升高，高温占有的大气质量就多。全球西风带的加强，意味着风速大的空气占的权重就加大。

如把大气分布函数（2）式在任意时刻t对气压、温度、比湿、风矢量作积分，它自然应当与地球大气质量M相等。即

 (3)

显然，量f/M 具有归一性。f/M 就是我们在文献^[9]中提出的相对分布函数，它具有概率密度函数所具有的一切性质。上述归一性就是一例。

如果把（2）对p,q,v 积分，我们可得一个关于气温的分布函数，即

     (4)

分布函数f(T,t) 的含义是大气质量随气温的分布。即大气中气温界于T→T＋dT 之间的大气dM 应当是

dM= f(T,t)dT (5）

用实测资料我们找出函数f(T)来并不很难，同样如果仅对T,p,q,v_x,,v_y,,v_z中的5个变量作积分，就可以得出相应于没有积分的那个气象要素的分布函数。文献^[1]就是从理论与实测两方面证实大气比湿分布函数为一负指数函数。

如果说7个自变量的（2）式不易直接研究，那么对其中某5个变量先积分后得到例如f(T,t),f(p,t),f(q,t),f(v_x,t), f(v_y,t), f(v_z,t) 就容易得到也便于研究。

波尔兹曼于1872年在分布函数的研究中进而提出H函数和著名的H定理。这里我们也对大气分布函数f(T,p,q,v,t) 定义一个类似的H 函数

         (6)

除了f的含义是专指大气分布函数外，上式与波尔兹曼的H函数尚差一个负号（我们有负号）。加了一个负号是便于以后的一系列叙述的方便。因为这使它的含义与熵相当。

大气中的H 函数有什么性质？我们认为H(t) 函数是大气中的一个非常重要的函数。对此将在大气熵部分再讨论。

2．大气能量分布律

在统计物理学中研究具有不同能量的粒子在总体中占有多大的权重是一个重要问题。最著名的就是麦克斯韦一波耳兹曼的能量分布律，其用途比麦克斯韦的速度分布律要广。

对于大气是否也有对应的问题？仿照统计物理上的作法。我们完全可以提出大气能量分布律问题来。对此可以有两种完全等价的提法：

从全球大气总体中纯随机地抽取单位质量的大气。这单位质量大气的能量ε 就是一个随机变量（因每次抽样ε值不同）。这一变量的概率密度分布函数就称为大气能量分布律。

另一提法是在全球大气中单位质量大气具有的能量为ε 者所占的权重值随ε的变化规律就称为大气能量分布律。

以上两个提法实际上都是针对某一时刻的大气而言的。故得到的能量分布律f一般写成ε 和时间的函数。即

f＝f(ε,t) (7）

这两种定义的等价性在文献^[9]中已有证明。在实用上用哪一个都可以。

ε所指的能量，按一般动力气象中的讨论可认为包括内能ε_i,位能ε_p, 动能ε_k和水汽的潜热能ε_q即

ε=ε_i+ε_p+ε_p +ε_q

单位质量的内能ε_i一般可写作定容比热与绝对温度的积C_vT、单位质量的位能ε_p可写作位势高度Φ、单位质量的动能ε_p可写作(1/2)c²（c为风失量的绝对值），而单位质量的水汽潜热能ε_q可写作Lq（L为汽化热，q为空气比湿值）。所以我们可有

ε= C_vT十Φ十(1/2)c²十Lq

戴新刚和笔者曾在1986年全国统计物理气象应用会议上提出一论文，从分析上得出大气能量分布律应为ε的负指数函数。最近笔者利用（3）式再作进一步积分，希望能找出大气平均内能、位能、动能的比值。结果仅得出位能与内能相等，而动能仅为内能的1/2。前一结论与实际相符，而后一结论与实际不符。看来此问题有待进一步研究。（1999年注：此问题在1990年新疆气象杂志的13卷1期4-10页的文章“大气的能量谱和风速谱”中以及熵气象学中都有了新的明确结果）

大气能量分布律比大气分布函数易于从理论分析角度研究，也不难从实际数据中得出。它应当成为大气统计物理学的研究重点。从这里可望得到一系列关于大气统计规律方面的知识。

3．大气熵

熵这一概念现在为不少学科广为引用。它是首先从热力学中引入的一个重要概念。它的本质是定量地计量一个物质系统的状态的混乱程度（有时也被称为丰富程度、不确定程度、无序程度）。在统计物理学中，利用熵的概念和与之相联系的热力学第二定律曾经在物理、化学等很多领域帮助我们导出了一系列十分有价值的规律。饱和水汽压的公式、化学上的质量作用定律、光学中的黑体辐射公式…都可以认为是利用了热力学第二定律而导得的。

熵和它的定律如此有用，它在气象上的应用又如何呢？这是十分值得我们深思的重要问题。

应当说在气象学中早已引入了熵。动力气象学中使用的位温就是与熵成正比的一个物理量。但是动力气象学中研究的熵实质上是分析分子运动状态的丰富程度，而不是气象尺度的状态的丰富程度。这相当于把分子运动问题引人气象上再来研究。显然这并不是明智的作法。我们现在不把统计物理的作法原封不动的硬套，而首先是把研究对象提高一个层次即从分子原子改变为空气微团。因而我们不再追究与分子运动有关的熵而直接研究大气熵。这种大气熵应当以空气微团作为基本粒子，去研究大气中极其众多的空气微团所呈现出来的总状态的丰富程度。

在信息论中，一个随机变量x （可以是多维的）的概率密度如果是f’(x)，则其熵值S 应当是

          (9)

x是几维的变量，以上的积分就是几重积分，并从各x分量的下界积分到上界。

熵的这种定义如果用到大气中，我们首先可以看到大气分布函数[即（2）式]用大气质量值M 去除以后就具有概率密度的含义。因而大气熵S可以写成

          (10)

利用大气分布函数(2)依上式求得的大气熵描述了全球大气的气压、气温、比湿和风矢量的总体的状态的丰富程度。这里所谓的丰富程度是指全球大气总体中不同空气微团表现出的状态的多样性（不是分子运动速度的多样性）。所以量S是度量地球大气总的状态的综合量。它不是计量大气有多少质量或者能量，而是计量在时刻t 大气的状态有多么丰富，大气熵显然是涉及大气的一个重要参数。

不难看出由（10）式定义的大气熵与我们仿波耳兹曼函数定义的大气中的H函数[即（6）式]实际上仅差一个常数（大气质量）。

应当说依（10）式求得的熵综合地考虑了大气的气压、温度（湿度，凤矢量这几个的总结果，即这几个量的总的状态丰富程度。如果我们想研究得更细，也可进而把空气微团所含的固态水和液态水的含量也作为变量，甚或把它的电位也作为变量。反之，如果（10）式的计算已嫌过于复杂，我们可以先求某些单变量的熵进行研究，这样我们就可以分别得到关于大气的气温熵、气压熵、湿度熵、风矢量熵等等。

大气的气温熵为：

 （11）

上式中的f(T,t) 固然从理论上讲是对（4）式的多重积分，但实际上从实测资料中我们更容易求得f(T,t)这个函数。气压熵、比湿熵、风矢熵都可仿此计算。它们都更容易从实测数据中求得。

在（11）式中求得的熵实际上是针对某一确定时刻t的。不同时刻可以求出熵的不同值。

不难设想，我们还可以针对某一等压面的位势高度的不等从而计算不同位势高度的出现概率。这就使我们可进而求得某等压面位势高度的熵。如果从实测资料中计算风速的绝对值，也可利用风速绝对值的概率分布求风速绝对值的熵。这些量是与大气能量有直接关系的。而对于前述大气能量分布律，我们自然也可计算大气能量的熵。

从这些分析看，大气熵是个重要的统计特征量，它有着深刻的物理含义，包含着大量的统计计算，对它的研究将会使我们从一个全新的角应观察大气变化规律。

四、应用和猜想

前面的讨论使我们看到在气象学中可以移植统计物理中的概念，可以分析类似的函救或泛函。这打开了一个新的领域，但在这个领域可望或已经取得什么结果、找出什么客观规律？如果找出了规律，这些规律又有多大的理论与实际意义？对此，结合我们先前作的工作在这里谈两点。

1.熵的极值原理的应用

在统计物理中对微观态数或说对熵的研究都广泛利用极值原理。在一个孤立的系统中熵自动增加到极大值是统计物理中的著名结论。

当我们把统计物理概念移植到气象学中的对象上以后，首先一个大问题是新定义的这些气象学中的熵是否也满足熵自动达到极大值这个原理？

1981年廖树生^[3]分析一次天气过程在某地形成的降水量时采用了典型的统计物理方法证明降水遵守指数分布，并得到实际资料的证实。这一工作是在气候不变的假定下使微现状态数取极大值而得出的。这实际上与熵自动达极大的原理是完全一致的。同年笔者对降水的时面深分析也使用了类似作法并得到实测资料的佐证。1985年笔者对大气比湿的分布函数求其熵[这与本文的（11）式相当，不过式中的温度T改为比湿q ]，在大气总水汽含量为常量的假设下令熵取极值，十分简便地导出大气比湿遵守负指数分布^[1]。1986年笔者把极值原理用于云滴谱研究，也顺利地导得一个偏态分布的滴谱理论公式，它与稳定层云的滴谱是一致的^[7]。

所有这些都应用了极值原理，所有这些都是把统计物理研究的对象（粒子）改为气象对象（单元、微团、粒子、云滴）的结果。从这里我们看到熵自动增大（或者自动平衡）到极大值的原理不仅完全可以用于气象对象，而且远不只用到一个对象上。我们相信还有相当一批气象问题（它们有可能是过去长期没有解决的问题）有待人们用这种方法去解决。这自然都应当看作是气象理论的新进展。

2．一个猜想

科学史证明一种新的假说或猜想无论事后被肯定或否定都对科学的发展起促进作用。笔者在这里要提出一个未经证实的猜想，这就是大气熵守恒猜想。这里所谓的大气熵就是由（10）式定义的S值。而所谓守恒是指：

（1）在一周以内的大气环流变化过程中，可以相当高的精度认为大气熵S不随时间变化。或者说在天气数值预报所要求的精度下，完全可以把它视为常量。

（2）大气熵S的值由于南北半球海陆比例的不同等原因在一年内会有很慢的以一年为周期的变化。变化的相对幅度估计低于S值的15％。

（3）年平均的大气熵值，即依

计算的值（365．2为一年的天数，t以天为单位作积分）的多年变化是极小的。这个物理量是衡量气候状况的重要变量，它的变化反映了气候的变迁。换言之，如果气候没有变迁则它的值是多年不变的。

如果这个猜想正确，那么我们就从每天在中高纬经常激烈变动的诸如风、气压、温度等这些变量的基础上找出了与它们有关的一个积分值，这个积分值几乎是不随时间变化的。这意味在经常变化着的大气环流中不仅存在着质量守恒、能量守恒、角动量守恒这些人们熟知的守恒性，而且还应当补充一个十分重要的守恒性，即大气熵守恒。而这个熵是大气熵，它不同于热力学中定义的热力学熵。

仅作为猜想我们自然可以不提供事实也不提供理论依据，但作为补充我们也想谈一些认识过程。

就事实方面而言，新疆气象台戴新刚曾对五层北半球等压面位势高度的熵作了5个月的计算，仅此一种熵本身就表现出相当高的守恒性。笔者在研究风速绝对值的熵时也发现在寒潮爆发的过程中它的变化并不大。这些线索使我们猜测由（10）所综合起来的大气熵应当比上述的熵值有更高的稳定性。

就理论方面而言，我们应当承认气候有相当的稳定性（否则人类和生物几乎无法生存），而熵是描述状态（不是质量，也不是能量）的一个科学的计量，它必然也可以描述气候状态。所以气候的稳定应当反映在描述气候的熵值的守恒性（不随时间变化）上。

熵是描述状态的物理量，相应的态不变（天气变化仅对应于统计物理中微观态的变化，而天气对应的宏观态则是不变的）熵也不变。在统计物理中孤立系统在熵达到极值后（乎衡态），熵也不再变化，对于非孤立系统，则有不少场合还存在所谓“定态”。我们估计气候不变更类似于统计物理中的定态，在定态下系统——现在是全地球大气——的熵值也是不变的。

我们希望有人进一步从事实和理论两方面证实或否定我们的大气熵守恒猜想。

从已论证的几个熵极值原理在气象上的应用问题看，它们都在一定程度上解决了过去从动力气象学中难以下手的难题。这已显示了统计物理在气象上的力量。

如果熵守恒猜想被证实，它的第一个实用价值在于可以改进数值天气预报。因为这个方程可以与数值预报中引用的其他基本方程联立，这等于为大气又找到一个约束关系。它应当使天气预报的质量有较显著的提高（而不是现在的缓慢的改进），使时效有较显著的延长。

大气熵的变化也可能为气候变迁研究打开一条新的道路。

从理论上讲，大气熵研究把熵的定律引入气象科学，这会使气象科学向前迈进一步。

五、致谢

本文中某些观点曾与戴新刚同志作过讨论。由戴新刚编程序计算的等压面位势场的的的守恒特点尚未公开发表而这里即已引用，在此谨表谢意。

参考文献

[1]张学文，大气比湿分布律，气象学报，45卷，2期，87。

[2]张学文，风的分布律，自然杂志，7卷，4期，317页，1984。

[3]廖树生，降水指数分布律的证明，新疆气象，1981，4 期，1一5页。

[4]张学文，暴雨的时面深理论关系，新疆气象，1981，12期：16一24页。

[5]F. MANDL，统计物理学（中译本），人民教育出版社，203页， 1981。

[6]同上，318页。

[7]张学文，云滴的表面自由能统计分布理论，新疆气象，1987，4期，7一11页。

[8]D.ter Haar．Element of Statistical Mechanics，中译本，2，18，上海科技出版社，1980。

[9]张学文，相对分布函数和气象熵，气象学报， 44卷，2期， 214一219，1986。