不同太阳高度笼罩的面积----日光统计3

张学文，20190921

（说明：本文是根据我过去的文章，天文气候中的两个分布函数

2008年发表在沙漠与绿洲气象杂志2卷5期11-14页 而改写的）

在任何一个时刻，地球上总有一半的面积处于黑夜，那里当时是看不到太阳的。而在白天的所谓“昼半球”，人们就看到在天上的太阳。现在问题是在昼半球上，有多少面积，那里的人看到的太阳正在天顶（90°）或者在其他的角度附近？

更具体地说，任何时刻，地球上不同地点的人会看到太阳可能在不同高度上。那么，任何时刻地球表面上看到太阳高度为h的地域面积s是多少？即找出太阳高度角与它对应（笼罩）的地球表面积的函数关系。而这个函数关系就等价于一种太阳高度笼罩面积的统计分布。

在下图上箭头表示太阳光方向。大园表示地球，O表示地心。地球表面上A点的观测者的地平面是AC线，他看到的太阳高度角为h。而在圆环m（不是园面）上的所有位置的观测者，看到的太阳都应当具有相同的高度角h。而这个圆环m的长度L=2πr。

设地球的半径是R，根据图，太阳高度角h与CAB角是对顶角，所以它们是相等的。角度CAB与角度BAO是互为余角，而直角三角形AOB中角AOB也是与BAO互为余角，所以AOB角也等于h。根据三角知识，自然有r=Rcosh 于是圆环m的长度是2πRcosh 。

如果高度角h改变了一个很小的值Δh，那么高度角出现的h到h+Δh范围的面积ΔA就是以RΔA为宽度，以Rcosh为半径的环带。而这个环带的面积ΔA自然是2πR ² coshΔh。即

          （1）

写成微分公式形式就是

  （角度以弧度为单位）      （2）

这个公式表示，单位太阳高度角（根据前面对环的宽度的计算公式，这里的单位只能是弧度，1弧度＝57.2957°）占有的地球面积是。公式表明它与太阳高度角的余弦成正比例（具体计算有时需要把弧度改为度）。公式体现了太阳的高度h越小，单位高度角变程所笼罩的对应面积越大。

图（1） 地球上太阳高度为h所占据的环带m

如果求地球上任何时刻太阳高度角处于h₁到h₂范围所笼罩的面积A，这就是对（2）式作下面的积分：

         （3）

当h₁是0（即太阳在地平线上），而h₂是90°时，它应当对应半个地球的表面积。而我们知道半径为R的球体，其整个的表面积是4πR ²，所以公式（4.3）是与球体面积公式是自洽的。

显然，根据公式（3），我们可以计算任何地球上两个太阳高度交之间占有的面积。表1给出了用公式（3）计算的每10度间隔的太阳高度所笼罩的面积的数据。这个表也可以用图（2）表示。

太阳高度为不同数值所笼罩的面积表

（地球半径取6371公里）

图（2） 任一时刻，从地球看太阳，不同太阳高度涉及的面积

从图（2）上或者表（1）上可以看出，太阳在地平线附近所笼罩的地球面积最大，太阳在天顶附近所覆盖的地球面积最小。

以上就是对太阳在地平线以上时不同太阳高度区间所笼罩面积的公式和计算。这个公式无论冬季或者夏季，无论任何时刻都是对的。它说明尽管地球上每个具体地点在1小时以后太阳的高度肯定要变化，但是同一的太阳高度角所笼罩的面积却是个不变化的物理量。