决定性事件的概率分布的若干特点

冯向军

06/01/2019

  “决定性事件也有概率？”您可能是带着这个大问号才来到这里的。

  我明确告诉您：有！

  决定性事件的概率分布所描述的是决定性事件所固有的确定性的复杂性。关于决定性事件的概率论除了刻画决定性事件所固有的确定性的复杂性外，也从理论上解释已发生的决定性事件相对于无数可能发生而没有发生的确定性事件的独特性或优越性【1】。

  决定性事件相对于不确定性事件，其概率分布有如下特点：

 （一）必须服从统计力学的根本因果规律

  统计力学的根本因果规律就是以果为因必得果，或所谓"以果地觉为因地心则必证果”。具体来说，假设欲成就的概率分布为f(xi)，又假设把以成就分布f(xi)为目标的概率分布或“因”分布pi固定为分布f(xi)，则必有作为结果的分布或“果分布”的pi等于f(xi)，或pi = f(xi)，i = 1，2，...，n。 换句话说：在约束条件

pi/f(xi) = 1，i = 1，2，...，n    (2-1)

和

p1/f(x1) + p2/f(x2) +...+ pn/f(xn) = 常数 = n    (2-2)

下，必有作为结果的分布或“果分布”的pi等于f(xi)，或pi = f(xi)，i = 1，2，...，n。这其中，式(2-1)和式 (2-2)所规定的约束条件就叫做自洽约束条件。

 （二）必须服从自洽约束条件

  决定性事件，相对于不确定性事件，其概率分布必须服从上述自洽约束条件，这是因为决定性事件的概率分布是确定性的，别无其他选择。

 （三）必须服从狭义的最大发生概率原理【2】

  决定性事件，相对于不确定性事件，其概率分布必须服从狭义的最大发生概率原理【2】。这是因为【2】中给出并证明了如下所示的若干定理。  

定理3.1：在任何以拉格朗日乘数法为基础的决定概率分布的极值原理中，唯有在目标函数中至少包含发生概率的对数log(P)的极值原理才可能符合统计力学的根本因果规律，换句话说，唯有包含最大发生概率原理的极值原理才可能符合统计力学的根本因果规律。

证明：假设把“因”分布pi固定在f(xi）上，就有：pi服从自洽约束条件：

pi/f(xi) = 1,i = 1，2，...，n。   (3-1）

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) = 常数 = n   (3-2)

命目标函数中与自洽约束条件相对应的部分为T，根据柯尔莫哥洛夫概率的规范性，有：

p1 + p2 + ... + pn = 1   (3-3)

命由T，式(3-2）所表达的自洽约束条件以及由式(3-3)所规定的自然约束条件所构成的拉格朗日算子为L，就有：

L = T + C1(p1 + p2 + ... + pn - 1) +

+ C2(p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) - n)

对拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi，并令之为零，就有：

dL/dpi = dT/dpi + C1 + C2/f(xi) = 0，i = 1，2，...，n。

dT/dpi = -C1 - C2/f(xi)，i = 1，2，...，n。

欲令分布f(xi)成为令目标函数中与自洽约束条件相对应的部分T取最值或极值的最值分布或极值分布，必有：pi = f(xi)。于是：

dT/dpi = -C1 - C2/pi，i = 1，2，...，n。这就是说：假设把“因”分布pi固定在f(xi)上又想最值分布或极值分布pi = f(xi)，以符合统计力学的根本因果规律，就必有：目标函数中与自洽约束条件相对应的部分T的一阶偏导数dT/dpi必须是概率pi的倒数的线性组合。必有：

n*T = -C1 -C2log(p1*p2...*pn) + C3，这其中C1,C2和C3为常量(本式的推导中用到了柯尔莫哥洛夫概率的规范性，或，p1+p2...+pn=1)。

或

T = a + blog(P)    (3-4)

这其中 a = 1/n*(-C1+C3)，b = -C2/n。这也就是说：唯有在目标函数中至少包含发生概率的对数log(P)的极值原理才可能在把“因”分布pi固定在f(xi)上这个约束条件下令最值分布或极值分布pi = f(xi)，以符合统计力学的根本因果规律。因此，在任何以拉格朗日乘数法为基础的决定概率分布的极值原理中，唯有在目标函数中至少包含发生概率的对数log(P)的极值原理才可能符合统计力学的根本因果规律，换句话说，唯有包含最大发生概率原理的极值原理才可能符合统计力学的根本因果规律。

证毕。  

定理3.2：迄今为止，除了最大发生概率原理这个"科学新皇帝”外，包括最大信息熵原理和最大Tsallis广义熵在内的所有其他以拉格朗日乘数法为基础的决定概率分布的极值原理，一般而言，都不符合统计力学的根本因果规律，换句话说，一般而言，都是与统计力学的根本因果规律相违背的。

证明：因为除了最大发生概率原理这个"科学新皇帝”外，包括最大信息熵原理和最大Tsallis广义熵原理在内的所有其他以拉格朗日乘数法为基础的决定概率分布的极值原理中，在目标函数中均未包含发生概率的对数log(P)，根据定理3.1，这些极值原理，一般而言，都不符合统计力学的根本因果规律，换句话说，一般而言，都是与统计力学的根本因果规律相违背的。

证毕。

定理3.3：“科学新皇帝”最大发生概率原理与统计力学的根本因果规律自洽。

证明：假设把“因”分布pi固定在f(xi）上，就有：pi服从自洽约束条件：

pi/f(xi) = 1,i = 1，2，...，n。   (3-5）

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) = 常数 = n   (3-6)

命目标函数T为发生概率的对数log(P)，就有：

T = lop(P) = log(p1) + log(p2) + ... + log(pn)    (3-7)

根据柯尔莫哥洛夫概率的规范性，有：

p1 + p2 + ... + pn = 1   (3-8)

命由目标函数T，式(3-6）所表达的自洽约束条件以及由式(3-8)所规定的自然约束条件所构成的拉格朗日算子为L，就有：

L = log(p1) + log(p2) + ... + log(pn) +

+ C1(p1 + p2 + ... + pn - 1) +

+ C2(p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) - n)

对拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi，并令之为零，就有：

dL/dpi =  1/pi + C1 + C2/f(xi) = 0，i = 1，2，...，n。

命 C1 = 0，C2 = -1，就有：

pi = f(xi)，i = 1，2，...，n。

之所以可以命C1=0，那是因为，当把“因”分布pi固定在f(xi)或pi = f(xi)，i = 1，2，...n时，柯尔莫哥洛夫概率的规范性或

p1 + p2 + ... + pn = 1 已经自动得到满足的缘故。

但是，拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵是一主对角线上元数恒负其余元素全为零的负定矩阵，所以上述令拉格朗日算子L的一阶偏导数dL/dpi为零的分布pi = f(xi)必定也是令约束条件下目标函数发生概率的对数log(P)取最大值的最大值分布。这也就是说：假设把“因”分布pi固定在f(xi）上，就有分布pi = f(xi)必定也是令约束条件下发生概率P取最大值的最大值分布。这既符合最大发生概率原理又符合统计力学的根本因果规律。“科学新皇帝”最大发生概率原理与统计力学的根本因果规律自洽。

证毕。

定理3.4（类似于牛顿第二定律的统计力学第二定理的形式之一）： 除自然约束条件以外的与因果律相符合的约束条件，是非均匀分布产生的原因。与因果律相符合的约束条件包括而不限于自洽约束条件：若欲成就的“果”分布为f(xi)，则可命“因”分布pi 服从约束条件（i = 1，2，...n)：

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) = 常数n （3-9)

证明：用完全类似于定理3.3的证明方法即可证明本定理。

定理3.5：凡所发生的分布都是在分布已发生的前提下，发生概率最大的分布。

证明：假设pi等同于分布f(xi)业已发生，就有：pi服从自洽约束条件：

pi/f(xi) = 1，i = 1，2，...，n。   (3-10）

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) = 常数 = n   (3-11)

命目标函数T为发生概率的对数log(P)，就有：

T = lop(P) = log(p1) + log(p2) + ... + log(pn)    (3-12)

根据柯尔莫哥洛夫概率的规范性，有：

p1 + p2 + ... + pn = 1   (3-13)

命由目标函数T，式(3-10）所表达的自洽约束条件以及由式(3-13)所规定的自然约束条件所构成的拉格朗日算子为L，就有：

L = log(p1) + log(p2) + ... + log(pn) +

+ C1(p1 + p2 + ... + pn - 1) +

+ C2(p1/f(x1) + p2/f(x2) + ... + pn/f(xn) - n)

对拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi，并令之为零，就有：

dL/dpi =  1/pi + C1 + C2/f(xi) = 0，i = 1，2，...，n。

命 C1 = 0，C2 = -1，就有：

pi = f(xi)，i = 1，2，...，n。

但是，拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵是一主对角线上元数恒负其余元素全为零的负定矩阵，所以上述令拉格朗日算子L的一阶偏导数dL/dpi为零的分布pi = f(xi)必定也是令约束条件下目标函数发生概率的对数log(P)取最大值的最大值分布。这也就是说：假设pi等同于分布f(xi)业已发生，就有分布pi = f(xi)必定也是令约束条件下发生概率P取最大值的最大值分布。凡所发生的分布都是在分布已发生的前提下，发生概率最大的分布。在分布已发生的前提下，不是已发生的分布的分布或未发生的分布都不是发生概率最大的分布。这符合最大发生概率原理，也符合常识。

证毕。

参考文献

【1】冯向军，《关于决定性事件的概率论》，科学网，08/21/2017至---。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1072125.html

【2】冯向军，关于任何特殊规律的一个的普遍原理，科学网，06/01/2019。

http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1182362.html

【附录】

啊，伟大的拉格朗日乘数法！

冯向军

06/02/2019

(一）拉格朗日乘数法 【1】

  本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。

  在数学最优问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数：约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未 知数的值。

• 中文名

• 拉格朗日乘数法

• 外文名

• Lagrange Multiplier Method

• 表达式

• L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)

• 提出者

• Joseph Lagrange

• 提出时间

• 1791年

• 定义介绍

• 设给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件φ(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数

•   

• ，其中λ为参数。

• 令F(x,y,λ)对x和y和λ的一阶偏导数等于零，即

• F'x=ƒ'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0

• F'y=ƒ'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0

• F'λ=φ(x,y)=0

• 由上述方程组解出x,y及λ，如此求得的(x,y)，就是函数z=ƒ(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点。

• 若这样的点只有一个，由实际问题可直接确定此即所求的点。

• （二）拉格郎日乘数法的伟大

•   拉格郎日乘数法的伟大，就在于把变量受约束的目标函数T的求极值问题，转化成了变量不受任何约束的新的目标函数T_New的求极值的问题，从而把决定性事件的一团死水变成了活水：将无数的可能性全部都纳入考量范围。在无数的可能性中确定必然性。让仅与被完全固定的变量相适应的目标函数转变为适应变量的全局的目标函数！

• 啊，伟大的拉格朗日乘数法！你是《关于决定性事件的概率论》的数学基石！

• 参考文献

• 【1】百度百科，拉格朗日乘数法。https://baike.baidu.com/item/%E6%8B%89%E6%A0%BC%E6%9C%97%E6%97%A5%E4%B9%98%E6%95%B0%E6%B3%95/8550443?fr=aladdin