算法数学 —— 机械化数学的基石

王东明  

吴文俊先生是高瞻远瞩、洞悉未来的科学大家。他的研究工作、科学精神、学术成就和学术思想已载入科学发展的光辉史册，成为人类文明的宝贵财富。机械化数学是吴文俊学术思想的重要组成部分，它的基石是算法数学，也就是“算术”。计算机时代的算法数学致力于研究、建立、发展构造性数学理论和方法，设计、分析、实施能在机器上有效运行的具体算法，将各种数学活动中的脑力劳动机械化、自动化。

算法数学的起源与复兴

数学是研究数和形的特征、属性、运算及其相互关系的学问。数和形的基本概念源自人类原始活动中所涉及的计量和人类对现实世界中形体的分类、刻画与表示。对数和形的研究形成了数学的两个主要分支：代数学和几何学。中国古代数学历史悠久、源远流长，它是华夏先哲在漫长的文明进程中发展起来的构造性数学，可以用来机械地解决各式各样的实际问题。在以《九章算术》为代表的古代典籍中，数学问题常以问答的形式给出：提出问题，给出问题求解的具体步骤和按此步骤求出的问题解答。古代称问题求解的具体步骤为“术”，即方法、艺术，也就是现代计算机科学中的“算法”。现代算法的标准形式包括规范描述、正确性和终止性证明、实施程序和测试样例、理论和实际复杂度分析等。每个算法针对一类清晰完整的具体问题，其规范描述由“规约”和“主体”两部分组成：规约部分明确“输入”(已知）和“输出”(欲求）以及输入与输出之间的关系，而主体部分给出求解问题的具体方法，即从输入到输出的计算步骤。这种描述规范的算法容易在计算设备上实施。算筹是我国古代最具代表性的计算设备，而现代最强大的计算设备就是网络互联的电子计算机。

在上个世纪计算机刚刚出现的六七十年代，吴文俊先生对中国古代数学进行了深入研究，整理、考证、复原了古籍中的重要数学原理和方法。他发现，中国的古代数学一直是沿着一条构造性、机械化的路线发展，它与西方存在性、公理化的数学体系遥相呼应、差异鲜明。吴文俊先生认定，我国盛极而衰的机械化数学在计算机时代必将复兴，并会再度发展成为数学的主要流派。正是他对数学过去的深刻感悟、对数学未来的敏锐洞察，两股智力，摩擦碰撞、起火生花，让人类智慧的宝库里从此有了吴文俊机械化数学思想。1975年，吴文俊先生在《数学学报》上发表题为“中国古代数学对世界文化的伟大贡献”的著名文章，宣告他的重大研究发现。稍后，他又在《数学物理学报》上发表“走向几何的机械化”，在《数学进展》上发表“复兴构造性的数学”等文章，阐述机械化数学的基本原理、指明其未来发展方向。之后的30余年，他用尽自己的全部心血，倾力发展数学机械化事业，复兴中国的算法数学。他说，“我要用数学机械化来征服世界。工业革命解放了生产力，因为机械化解放了体力劳动，数学是一种脑力劳动，我希望数学机械化能让重复性的脑力劳动得到解放，让人们去做更多创造性的工作。”

中国科学院院士吴文俊先生 (1919—2017)

“中国的机械化数学，在宋元时期达到高峰。在这有待更高攀登的关键时刻，有望进一步发展到解析几何与微积分之际，却骤然衰退，一落千丈。在中国的大地上，从此为由西方传入的非机械化的欧几里得几何及其公理化体系所代替，直至今日。”“中国式的机械化数学，虽然在中国本土上宋元以来近于销声匿迹，但并未从此消亡，而在欧洲大地上以另一种形式[解析几何]被发扬光大。”

算法数学是机械化数学的基石

数学活动包括数学研究，数学知识的表示、管理、发现与传播，数学应用等。数学机械化就是要将这些活动机械化、自动化，也就是让机器来自动或者半自动地完成这些活动。为此，我们应该知道哪些数学活动可以机械化、如何将它们机械化，所以首先要研究、建立、发展构造性数学理论和机械化方法，这是数学机械化的第一步，也是数学算法化的基础。有了机械化方法，我们才能据此设计正确、终止、有效的算法。有了算法，我们才能将其在机器上编程实施，最终实现数学活动的机械化。由此可见，算法数学是机械化数学的基石，算法数学研究是机械化数学研究的主要内涵、也是更高层次的脑力劳动。

数学活动的具体内容很多。数式演算、逻辑推理、验证发现、立论著述都是典型的数学活动。数式演算又包括精确符号演算、可信数值计算、代数与几何计算等等，这些数学活动的机械化需要有大量高效实用的算法。数学机械化能否成功实现还取决于机器算力、软件性能、应用建模、资源配置等其他多方面的因素。

算法数学的发展目前还没有深入到数学的每个分支。其主要原因是，有大量基础性的数学问题或者尚未解决，或者解决的方法仍不能满足机械化的要求。譬如，大整数与多项式的因子分解、一元多项式的实根隔离、代数方程组的整序消元、多项式理想的准素分解等都是非常基本的代数学问题。为了让这些问题的求解机械化，计算机代数学家们经过几十年的努力，建立了基于中国剩余定理、交换代数、代数几何、实几何的构造性理论和方法，设计实施了各种高效算法。现在这些问题的求解都可以在计算机上自动进行。而对于许多其他基础与应用数学分支，构造性理论的研究还不够系统深入，高效算法还很欠缺，机械化的实现还面临很多困难与挑战。机械化数学的学科建设与发展还需要我们集思广益、攻坚克难，为其设计更多更好的算法、铺垫更宽更厚的基石。

算法数学是未来数学发展的趋势

数学发展的动力来自两个主要方面：自身演化的内力和需求驱动的外力。至于前者，数学已经经历了几千年的发展，推动数学进步所需的人脑智能已被充分开发，因而按照传统的方式从事数学的研究，要取得重大进展已是难上加难。数学发展的突破常常需要等候天才数学家的到来，或者要借助先进的计算和推理工具。现在广泛使用的电子计算机是有史以来最为强大的计算工具，它们可以用来处理各种与数有关的计算问题。数学和计算机同是为数而生、因算而存，没有什么其他问题的求解比数学问题的求解更适合在计算机上进行。正因为如此，吴文俊先生早就预言，机械化数学是未来数学发展的必然趋势，算法数学必将复兴。

数学是所有自然科学的基础。驱动数学发展的外力是以科学技术为引擎的现代经济社会发展的强劲需求。现代社会是高度竞争、高速发展的社会，实用科技是推动现代社会发展进步的强大动能。大数据已成为建筑现代和未来社会的基础设施，数据科学与技术是制动、主导现代和未来经济社会运转的引擎，而算法则是智能化引擎的大脑中枢。面向未来科学技术发展的算法与应用数学必将大行其道。

现代移动通信、物联网络、虚拟现实、知识工程、人工智能等高新技术及其支撑的应用产业与人们的工作和生活密切关联，它们的发展完全依赖于有关大数据处理和科学计算的智能算法。由此应运而生的新兴研究方向，如数据建模，机器学习，知识的语义表示、智能管理、自动验证与发现等，特别值得关注。数学问题求解是高难度的脑力劳动，需要高智能、高投入。算法数学旨在将更高层次的人脑“元智能”用于研究发现可以使重复性脑力劳动机械化的算法。未来世界将无法避免地被复杂多变、冗乱无章的大数据所充斥，只有基于高度发展的算法数学人们才有可能将未来的数据世界整理得井井有条、建设得完美有序。

吴文俊对数学发展影响深远的学术思想当数数学机械化和算法数学。他在40年前就已指出，“对于数学未来的发展具有决定性影响的一个不可估量的方面是计算机对数学带来的冲击，在不久的将来，电子计算机之于数学家，势将如显微镜之于生物学家，望远镜之于天文学家那样不可或缺。” 数学的算法化、机械化不只是纸上谈兵，还要在机器上践行。推动算法数学的发展，吴文俊先生亲力亲为，他的追随者们坚持不懈。发展的成效已非常显著，但发展的征程才刚刚开始：前途无量、任重道远。我们有理由相信，热衷发展算法数学的有志之士将会越来越多。让我们携手合作、众志成城，在发展的道路上奋力前行、努力作为。

（本文是王东明教授在“吴文俊学术思想国际研讨会”上的发言稿）

来源：阿狗数学AlgoMath