数字由来已久。要谈论其历史，我们得从计数开始说起。远在上古时期，我们的祖先通过在绳子上打结、选取大小不同的石头来记事。公元五世纪前后，数字0在印度出现，标志着一套完善的计数系统开始形成。该系统后来由阿拉伯人传向欧洲和世界各地，再经过简化发展逐步形成了国际通用的阿拉伯数系。阿拉伯数字书写方便、运算规则简单，它们早已成为人们日常生活和科学活动中广泛使用的数学符号。

图 1：印度数字到阿拉伯数字的符号演变过程

从结绳记事到计数符号与被计数的事物之间的完全分离，从古印度数学、天文学家婆罗摩笈多所著《婆罗摩修正体系》中0的出现到自然数的形成，从古埃及分数雏形的显现到古印度耆那教数学家合著的《Sthananga Sutra》中对分数运算的系统阐述，从《九章算术》中负数概念的提出到整数的形成，从古希腊哲学家希帕索斯发现首个无理数到有理数、无理数和实数概念的完善，继而通过添加虚数，将实数扩充为复数，如此等等，数集的发展、扩充、完善过程体现了人们对数字认识的深入、计数能力的增强。而引领人类迈进如今这个奇幻的数字世界的乃是人们对数与数之间关系的探索与发现。这些关系包含数与数之间的数量关系、逻辑关系以及它们与现实世界中空间物体的结构关联的对应关系。这些关系正是数学、物理学和其他自然科学研究探索的内容，而研究探索的过程犹如游戏一般，让许多科学工作者乐在其中、废寝忘食，更使一些数学家沉醉痴迷、难以自拔。在这场科研游戏中，数字扮演着纹码不断丰富的钥匙，让人们能借其打开通往科学真理的大门，揭示奇妙的自然现象和神秘的科学规律，推动人类的社会发展和文明进步。

数字游戏有着深远的文化渊源和深刻的数学内涵，它们早已成为孩子们的开心果、艺术家的魔法棒、数学家的红苹果。最为典型的数字游戏要数19世纪80年代出现的数独，曾被称为Number Place，现在流行的名称是源自日语的Sudoku。数独与我国古代的《洛书》（庄子称其为“幻方”）以及瑞士数学家莱昂哈德·欧拉等人研究的拉丁方块极为相似。《河图》与《洛书》是形成《易经》的基本原素，也是阴阳五行术数之源。它们也曾出现在文艺复兴时期的版画大师阿尔布雷特·丢勒所制作的《梅伦可利亚》（又名“忧郁”）之中。幻方亦如玄璧，被艺术家巧心引入音乐创作：美国著名实验音乐家约翰·凯奇就对运用幻方作曲十分着迷。数独的九宫格结构还被人们引入建筑设计，用于从本质上探讨建筑的结构与空间之间的逻辑关系。

图 2：《洛书》（左）与7×7拉丁方块（右）

一个9×9维的数独谜题给出一个填有部分数字的9×9空格盘面，玩家需要根据已知数字推理出所有剩余空格中应该填写的数字，并满足每行、每列以及每个3×3粗线区域内均包含数字1—9且不重复。

图 3：包含30个提示数的9×9数独谜题（左）及其答案（右）

数独谜题本身就是一个数字组合填放的逻辑游戏，它的答案可以看作特殊的拉丁方块。人们已经证明：对任一不以“数独空格盘中的3×3粗线区域”为条件或者结论的一阶逻辑公式，它对数独为真当且仅当它对拉丁方块为真。德国德累斯顿理工大学的Bertram Felgenhauer和英国谢菲尔德大学的Frazer Jarvis通过计算机编程枚举出了所有的9×9数独谜题答案，它们的总数为

6,670,903,752,021,072,936,960，

大概是9×9拉丁方块总数的百万分之一。正是这个庞大的数字增添了数独谜题的神秘色彩，它激励着人们不停地攀越数独的高峰。英国的一位铁路工人Clifford W. Adams就花了52年时间摆出了六角形幻方；六角形幻方后来被证明仅有一个解。数独也吸引着众多学者研究其中的数学及算法问题。虽然解决一般的数独谜题是一个NP完全问题，但是人们也找到了能够求解绝大部分的9×9数独谜题的有效算法，其中最具代表性的是经典的回溯算法和美国算法大家Donald E. Knuth的舞蹈链算法。人们还尝试将数独谜题转化为着色问题，并利用图论知识求解。

再者，骰子，想必读者对它都很熟悉。它的起源尚不明了，但考古发现在战国时期骰子就已经成为博具，古罗马人也曾使用骰子，就连伟大的古典主义音乐作曲家沃尔夫冈·阿马德乌斯·莫扎特也曾用骰子进行音乐创作。骰子是最常见的娱乐赌具。在我国古代，骰子在博戏中广泛使用，最普遍的玩法叫骰宝，也称为赌大小。

图 4：英国爱尔兰出土的罗马骰子（左）和山东青州西辛战国墓发掘的骨骰子（右）

骰宝的参与主体由一位庄家、若干位闲家以及三个相同的标有点数1—6的正方体骰子组成。闲家随意押注“大”或者“小”，其中“大”是指三个骰子朝上的点数和为11，…，17这7种情况，“小”则指点数和为4，…，10这7种情况。庄家负责摇骰子得到点数和，收取输家的押注，同时赔偿赢家的押注，输赢的比率均为1：1。无论闲家押大还是押小，只要三个骰子同号就算闲家输。

图 5：三个骰子朝上的点数和的情况及对应的组合数

骰宝是一个对庄家长期有利的不公平游戏。对于任何一局骰宝游戏，庄家获胜的概率是29/56，而闲家获胜的概率为27/56，因此只要庄家有足够的本钱，参与骰宝的次数多，总能赚钱。实际上，骰子游戏充分地展现了博弈的过程，是一个古老而且经典的博弈论模型。数学家和经济学家利用博弈论知识分析和研究博弈过程中参与者的行为等，为决策者提供优化策略和有价值的参考信息。人们还利用类似的游戏，模拟随机实验，验证概率规律。

在西方美学史上，毕达哥拉斯学派是最早探讨美的本质的学派，信奉“数是万物的本原”，认为事物的性质是由某种数量关系所决定的，而万物皆按照一定的数量比例构成和谐的秩序。对于数学家而言，他们与数字有着无比深厚的渊源并与之一生相伴，因此他们所研究的数字“游戏”也愈加深奥神秘。

函数能够刻画数与数之间的数量关系，坐标系能够显现数与数之间在几何空间中的结构关系，排列与组合能够反应出数字之间的逻辑顺序关系等等。数学家通过引入数学概念，发展并使用有效的研究方法，来探索数与数之间的关系，从而建立不同的数学分支，用以从不同的角度揭示物理世界中的科学规律。

整数因子分解定理告诉我们，任意一个大于1的自然数，要么本身是素数，要么可以被唯一地分解为素数之积。素数就好像线性空间中的一组基，全体自然数都可以由它的全体表示出来，因而素数又被誉为“数系的根基”。数学家一直在探寻这类数的性质和关系，比如孪生素数、梅森素数等，而这个探索过程也促进了现代密码学、计算数学、程序设计技术等领域的发展。又如，圆周率pi，从远古时代起，人们就开始估算它；直到现在，有关pi的研究仍在继续。每每得到pi的一个新的表达式，人们总能发现不同数学领域之间，甚至是数学与其它领域之间的内在联系，使得数学知识的内在关系更加清晰。譬如，欧拉公式、收敛于圆周率的级数、概率论中的投针实验、弧度制等等都离不开对pi的研究。加拿大数学家罗伯特·朗兰兹就是因为提出“朗兰兹纲领”建立起了数学中表示论和数论的内在联系，从而获得了2018年度的阿贝尔奖。印度历史上最著名的数学家之一斯里尼瓦瑟·拉马努金尤爱涉及pi、素数等带有常数的求和公式以及整数拆分，他专注研究、一生沉迷的数字游戏也许最为玄幻！他没有系统地学习过数学，对当时的数学所知甚少，但凭借其惊人的数学直觉和对数字极其敏锐的洞察力，他独立地发现了差不多3900个未予证明的数学公式及论断，并且几乎所有的结果都被证明是对的。而他的这些结果，比如拉马努金素数、拉马努金θ函数、拆分公式、模拟θ函数等等开辟了许多全新的数学领域并引发了大量的后续研究。

图 6：印度历史上最著名的数学家之一拉马努金

英国数学家约翰·恩瑟·李特尔伍德曾说，每一个正整数都是拉马努金的朋友。阿狗愿与数字为伴，以算法为工具，计算推理、尽情游戏，探寻并欣赏数字的艺术，并向人们展示其中的精彩和美妙！

（本文经王东明教授审阅，文中部分内容参考了Robert Kanigel著、胡乐士等人翻译的《知无涯者：拉马努金传》和《北京日报》2015年8月12号发表的石晓灵的《数独：不只是游戏》，图片来自维基百科）

（彭鹏程）

来源：阿狗数学AlgoMath