蕴涵从字面意思讲就是包含、意蕴的意思。英文至少包括imply和entail，甚至还有更为宽泛的contain.但我这里谈的蕴涵不是从词汇上来理解的，而是从英语的虚拟语气开始讲讲我对其理解。虚拟语气是英文中不大容易理解的一个语法难点。当年我读英语的时候，专门把吕叔湘先生写的一本有关虚拟语气的小书读完了。大概比较早，现在网上搜不到了。但对我的印象却极其深刻，封面是紫红色的，纸张是发乌的粗纸。肯定是60年代初期的作品。吕叔湘先生是社科院语言所泰斗级的人。1995年以94岁的高龄辞世。而他的这本关于讲英文虚拟语气的书让我基本掌握了英语这一特别不容易理解的语法现象。当然语言学的虚拟语气与逻辑的不同。但其句式基本相同。就是“如果……那么……”英语的虚拟语气有各种表达形式，不再赘述。

这里讲的所谓“蕴涵”是逻辑学方面的，最著名的就是英国数学家和逻辑学罗素家提出的“实质蕴涵”（material implication）。从本质上说，实质蕴涵就是个二元连接词（binary connective），即从“如果……”连接到“那么”。逻辑学上又将”如果……“这部分称为“前件”，而”那么……“这部分则为“后件”。这样就会构成一个所谓的真值表。如果前件为真，后件也为真。譬如说，如果今天下雨，我出门就要带伞。这样前件和后件都是真的，这样的实质蕴涵大家都是可以接受的，因为它符合人们的直觉。如果前件真，后件也真。

可是哪里有那么好的事情呢。世上的事情都是有实质蕴涵构成的，无疑就是非黑即白。可是还有其他更为复杂的情况呢。它们不仅满足实质蕴涵的二元连接词的性质，而且在逻辑上并不错。倘若人们说，如果今天下雨，我就从楼上跳下去。任何人或许会说，能有这样想法的人一定的疯了。但在逻辑上，或者说在一阶谓词逻辑，它并不错，这样就构成了一系列的蕴涵怪论（paradox of material implication）。于是罗素那三大卷《数学原理》，就在蕴涵怪论中开挂裸奔。如罗素那样绝顶聪明的人，怎么能不知道这种事呢？

为了解决逻辑怪论，罗素发展出一套类型论（type theory）或者更复杂一些，叫分支类型论（ramified theory of types）。这个理论让罗素辗转腾挪，一直保持二元连接结构的正确性。后来有人将其讥讽为“乌龟塔”理论。霍金的《时间简史》开篇就把这套乌龟塔理论讲了出来。也就是说，我在一个集合中只要符合真值表的那一块内容，其余我都不要。有了悖论，我在搬出乌龟塔，就又解决一个悖论。如此，罗素基本克服了蕴涵悖论这个难题。可问题是，这个乌龟塔就形成了逻辑上的“恶性循环”（vacious cycle），罗素解决为了解决恶性循环是与其描述词结合在一起讨论的，罗素对此颇为得意，不赘述。

后来美国的刘易斯在研究模态逻辑时，发现实质蕴涵实在让人惨不忍睹。只好花了大力气搞了套严格蕴涵系统。也就是S1—S5.没想到，经过仔细探究，还是发现，严格蕴涵也出现悖论。罗素的乌龟塔中的乌龟好赖还是四脚朝下，到了严格蕴涵，乌龟变得四脚朝上。这下犯了逻辑学界的众怒，美国哲学家和逻辑学家蒯因干脆说，模态逻辑是一阶谓词逻辑的私生子，根本就不要它出生之类的恶俗之语。而且，严格蕴涵那五套系统不仅形式上有悖论，而且还没有语义学，这更加让人心烦。那怎么办，刘易斯几十年的功夫不能白费吧。罗素的乌龟塔虽然丑了点，但至少能自圆其说。可是严格蕴涵在形式上既不能自圆其说，而且连语义学也都没有。这时来了个克里普克后生小伙，采用莱布尼茨的可能世界的理论，为模态逻辑填上语义学。克里普克的语义学又叫关系语义学。后来还有各种语义学，但都要和关系语义学相兼容，这就是标准的力道。

有了克里普克的语义学和刘易斯的严格蕴涵系统，整个数理逻辑也就算这样凑合了吧。以后再也没人构造系统了。无论是一阶谓词逻辑和模态逻辑，都无法克服悖论，我们要清楚一点，不要完全相信计算机。因为其理论基础就是由一连串的乌龟塔构成。而且是要形式上没有错误的那部分。有错误的部分它都绕开。为了绕开这些悖论，诞生了算法复杂性这门学问。计算机的能行可计算也是在有限步骤内得到确切解。但是还有许多它无法解的问题，譬如说实数。所以，我们理解这些道理，也就懂得计算机为什么那么不完全靠谱。计算机的运算就是0和1，典型的二元结构。而且还是符号逻辑的二元结构。如果我问1个苹果加一个苹果是几个苹果，通常会说是2个苹果。但从符号运算的的角度看，还是一个苹果，因为苹果的类没变，变得是符号。