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有趣的三位数 精选

已有 5032 次阅读 2019-8-30 08:35 |个人分类:谈数学|系统分类:科普集锦| 数学, 整数, 自然数, 三位数

作者:蒋迅

数字里有很多有个性的三位整数:100是最小的三位整数,也是最小的三位偶数;101是最小的三位奇数,也是最小的三位回文数和素数;541是第一百个素数,而且3541 - 2和(3541 - 1)/2都是素数。事实上,绝大部分的三位数都有它有意思的一面。我们认为,了解一下这些有意思的三位数可以帮助读者扩大视野,增加联想。在趣味中获得思维训练。

在介绍我们喜欢的三位数之前,我们先要排除一些可能读者有兴趣的三位数。中国人可能会喜欢666,但这个数在西方被称为“兽名数目”(Number of the Beast)。这与《圣经》的《启示录》有关。如果一定要让666与数学发生关系的话,那么我们可以说,666是最大的repdigit,monodigit)(triangular number)。与文化有关的还有520,一个中国人自己发明的“告白日”。西方人把420看作天使数。(我不知道是什么原因,可能是因为420是能被1到7都整除的最小整数吧。)这样的数字不在我们的考虑范围内。

我们先来看四个漂亮的数字:153,370,371和407。它们都有一个漂亮的名字:水仙花数narcissistic number)。水仙花数也称为超完全数字不变数(pluperfect digital invariant, PPDI)、自恋数、自幂数、阿姆斯壮数或阿姆斯特朗数(Armstrong number),用来描述一个N位非负整数,其各位数字的N次方和等於该数本身。拿153来说,我们有:153 = 13 + 53 + 33。珍惜这些漂亮的数字吧,因为总共只有88个(十进制的)水仙花数。

我们可以在上述的表达式上做一些变化。比如,如果把三次幂换成阶乘呢?我们有145 = 1! + 4! + 5! 。可以证明这是唯一的一个满足这个性质的三位数。

再来一个类似的问题:找三位数ABC使得ABC = A + B2 + C3。答案有四个:135,175,518和598。你会怎么找到它们呢?答案是:最简单的方法是排查。写一个程序,从100到999一个一个验证就可以了。当然,这里我们只考虑三位整数,当位数增加后计算量就显著增加了。你会怎么解决这个问题?

163

163是一个受到过大数学家埃尔米特和数学专栏作家马丁·加德纳关注过的三位数。它的神奇在於eπ√163几乎就是一个整数:

eπ√163 = 262537412640768743.9999999999992...

这样一个神奇的数被加德纳称作了“拉马努金常数”。其实它跟拉马努金没有任何关系,而只是加德纳的愚人节的笑话。虽说是笑话,这个神奇的现象并不是没有理由的,这正象拉马努金的思维一样,总是有他的道理的,只不过我们无法理解罢了。想知道其中的奥妙吗?请看匡世珉在知乎上的解答。不过,你要准备接受一点较为深入的话题。

561

知乎上匡世珉的例子的下面,我们看到王希给出的另一个有趣的数字:561。它是一个卡迈克尔数Carmichael number)。所谓“卡迈克尔数”是正合成数 n,且使得对於所有跟 n 互素的整数 b,成立 bn - 1 ≡ 1 ( mod n )。 费马小定理说明所有素数都有这个性质。在这方面,卡迈克尔数和素数十分相似,所以它们称为伪素数。 因为这些数的存在,使得费马素性检验变得不可靠。不过,它仍可用于证明一个数是合成数。另一方面,随著数越来越大,卡迈克尔数变得越来越少,1至 10 有585355个卡迈克尔数。 561是最小的卡迈克尔数。

196

196是一个神奇的数。它是一个利克瑞尔数Lychrel number)。所谓“利克瑞尔数”是将一个数字和该数字的各数位逆序排列后形成的新数相加、并将此过程反复迭代后,最后形成一个非回文数的自然数。利克瑞尔不是一个人名,它是由“Cheryl”这个名字经字母还位得来的。是不是所有的自然数都可以经过有限步后都得到一个回文数呢?至今人们还没有得到一个答案。196是第一个可能的利克瑞尔数,也就是说,196是第一个可能的反例。据说已经有人算到了699万步仍然没有得到回文数。

495

我们可以把495称作黑洞数或卡布列克常数。其实黑洞数或卡布列克常数(Kaprekar's constant)是指一种专指四位数的特定函数关系,在某排列顺序后,其演算式最后都会对应到6174。奇妙的是,495也具有这样的性质。读者可能会问,那么五位、六位、七位…数呢?可以告诉读者的是,5位数没有黑洞,但有3个循环;6位数有2个黑洞631764、549945,还有1个7个成员的循环;7位数没有黑洞,只有1个8成员的循环。……

还有很多有趣的三位数。今天就先介绍这么多吧。




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