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量子测量的空与色 精选

已有 5237 次阅读 2017-2-27 09:42 |个人分类:大学教育|系统分类:科研笔记|关键词:量子力学,量子测量,色,空,数学和物理

是真的吗?量子测量中,当测量位置时,将得到位置算符的本征值中的一个?

第一部分:远山书缘

         寒假前后,新获一些赠书。有两本是高教社的样书;有三本分别获赠于中山大学李志兵兄,北京大学刘玉鑫兄及中科大的张永德先生;等等。

志兵兄赠此书时说明了一条特别的理由:关洪先生生前多次提到和我有忘年之谊,故先生文集编辑出版后,一定要送我一本。关先生面前,我享有知遇之荣。二十多年,他把我引荐给量子力学研究会。研究会历任的理事长原来是北师大的喀兴林先生,后来是张永德先生,现在是潘建伟兄。中山大学物理学院的同仁们,在关先生早逝之后,花了很多功夫收集先生文字,编辑了一本近80万字的文集。能知先生者,必为芳心人。感觉最深处不是志兵等诸兄的辛苦,不是对先生的追念,而是诸兄对先生思想的自我映照。不过,个别影响很大的文章没有收入文集中。先生曾在《中国图书商报》2006217日发表文章一部浮夸的科学家传记——评刘海军《束星北档案》,如黄钟大吕,鼓荡人心。未予录入,是为一憾。

玉鑫兄半师也。我在理论所读博的时候,他是博后,故为半师。以前曾就热物理中的一两个问题有过浅易接触。新书到后,尚未深度学习,不敢贸然评论。翻阅到p.145,读内能——热力学系统的内部能量一节,深感亲切。热物理学领域的一些人士,恐尚有知内能却不知有外能者,也未解结合能是否为内能的一种者,兄台此节中有清晰说明。

张先生的著作在邮局睡了一个多月,寒假前的书等到新学期才到手里。春江浩荡时,捧读新版,别有所悟。念及张先生极其推崇彭加勒的关于几何的两个命题:“几何点其实时人们的幻想”,“几何学是不真实的,但是有用。”忍不住提出一个问题:当测量位置的时候,将得到位置算符的一个本征值吗? 放心,十万个放心!尽管几乎所有的量子力学教科书都认为答案是肯定的,但是在物理的测量中,不可能得到位置算符的一个本征值。

真的吗?

第二部分:真的,不可能得到位置算符的一个本征值

量子力学的测量假设是:在一个量子态上测量一个力学量时,单次测量将得到这个力学量的本征值中的一个。

Stern-Gerlach仪器测量电子自旋为例,可以把S-G仪器串联起来,先测z方向的分量,然后测x方向的分量,最后再测z方向的分量等等。这个量子测量,不仅在理论上成立,物理上也完全无误。

以一维谐振子为例。设计一个类似S-G仪器串:先测量能量,第二步测量位置,第三步再测量能量,看看有何奇妙。

第一步,测量能量,单次测量将得到能量的一个本征值,状态将塌缩到相应的本征态上。

第二步,选出基态,然后试图测量位置。由于量子力学的假设认为,单次测量也将得到位置算符的一个本征值,也将塌缩到相应的本征态上。设其中的一个本征值是,相应的态是$\delta(x)$。

第三步,在$\delta(x)$上测量能量,问能量几何? 当然,单次测量依然将得到能量的一个本征值。不过,如果问在“真实的物理仪器”上的读数将是多少? 也就是问能量的期待值几何。结果是无限大!推导如下。

$\delta(x)$用能量本征函数展开,展开系数为$\psi_{n}(0)$,能量的期待值发散!将该和式中的每一项所构成一个级数,该级数发散,发散的速度和 $ e^n $ 相当。

物理上没有无限大,也没有无限小。这里的发散一定有某种荒唐之处。

答案如下。

这是理论的假设,不是物理的真实。

在量子测量中,当测量位置时,如果将得到算符的一个本征值,就需要精确到一个几何点上,这个时候,用尽洪荒之能量都是不够了。也就是说,物理上的位置测量,只能确定到一个区间之内。而这个区间的宽度大小,取决于实验仪器将能量瞬间传给粒子的能力!注意,这里的瞬间,又只能取相对较短的时间,并非数学的瞬间。

三,量子测量的里里外外

在量子力学中,Schrodinger方程是基本方程。可是,当写下Schrodinger方程时,物理的表达其实就有了局限。这是形式推演逻辑的固有缺陷。只有通过物理,才能不会被Schrodinger方程等数学所误导。

为了避免被误导,LandauLifshitz的《量子力学(非相对论理论)(3),论及“Schrodinger方程的基本性质时,有一个神秘的脚注:“However, it must be mentioned that, for some particular mathematical forms of the functionU(x, y, z) (which have no physical significance), a discrete set of values may be absent from the otherwise continuous spectrum.”(p.53) 字面上的意思说:对于一些势能函数,能在连续谱中会有一些缺级,而这些缺级的个数是有限的。如果看固体的能带,会发现能带,而能带的个数是无限的。不过LandauLifshitz的意思更在于:如果常常着眼于求解Schrodinger方程,会得到一些新奇的解。这些解,止于数学,毫无物理。

一个具体例子。关于Berry相位初学者常有一个误解。既然Berry相位必须通过Schrodinger方程求得,Berry相位至少和动力学有本质联系。其实,这里的Schrodinger方程不过是一个照妖镜,可以方便显露出Berry相位而已。Berry相位本身,完全是几何相位,和动力学一点关系也没有。

陈词滥调一回:数学是用来把物理的结果,以定量的方式呈现出来的一种工具。

四,量子物理的空与色

物理何在? “烟笼新绿眼难见,月盈暗香鼻未闻”(林逋)

如果追求极端的抽象,就会迷失于玄学;如果追求极端的实验,就会局限于唯象。物理学就是抽象和实验的中间的秋千,荡出一个高斯分布。有的时候,抽象会推动物理学,例如Dirac的电子理论;而有的时候,实验也会推动物理学,例如高温超导的发现。实验学家会认为,实验是推动物理的第一推动力,而理论家会认为,理论才是推动物理的第一推动力。

最高明的物理学家,会发现极端的抽象和极端的实验其实无缝相连。在他们的心中,无所谓内,也无所谓外;无所谓动,也无所谓静;无所谓空,也无所谓色。

普天之下,莫非物理。



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