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伽罗瓦理论的统一观点

已有 587 次阅读 2020-9-22 15:05 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容,标题是另拟的。抬头下方加了一条语录。]

这会儿想谈一点 “方法” 和 “规律”...

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领袖和跟风者的区别就在于创新。

—— 史蒂芬·乔布斯

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小学里学习过矩形,其邻边彼此垂直。矩形也称作 “长方形”,可以看作 “方” 的实例。矩形的面积为:长边 x 短边,公式表达为 ab。在这个公式中,a 和 b 代表 “边长”。“形而上” 是指保留 形式 而去除内容。由此,一切形如 ab 的表达式都可以看作 “方”。此时,a 和 b 可以指代任何 “适格的” 事物。

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比如,f(x)·g(x) 可以看作 “方”,而 f(g(x)) 也可以看作 “方”,后者是法则的 “乘积” f·g。如果对 f(x)·g(x) 在负无穷到正无穷上积分得到零,则 f(x) 和 g(x) 就彼此整个地 “垂直” 了。

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回到伽罗瓦理论。G(X) = H(X, r)·Q(X, r) 的右端即为 “方” 的形式。那个引理说,用 α^i·r 替换 r (这个替换称作 “本原作用”),则等式仍然成立。换句话说,本原作用保持 “方”*,这是从 “形式” 上来说的 (“方” 是此种形式的名称)。而本来只有一个方,现在又新产生了 p - 1 个方。刚才的 i = 1, 2, ..., p - 1。是为 “诸方”。它们是同一个对象 g(X) 的不同表达式,好比同一个矩形的 p 个面积公式。这就形成了一个类似于 “米” 的连接关系。星号注:在多项式的上下文里,” 和 整除 是等价的

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证明中出现了诸方做 “连乘法” 的操作,这就是 power 了。到了这一步,接着就运用了引理1。这其中体现了一种高超的灵活性。审视整个证明,几乎每一段都用到了引理1。按此角色,引理1 可以称作 “枢纽引理。(预料此引理贯穿整个伽罗瓦理论)。所谓 “灵活性”,是指以出乎意料的方式走到引理1的怀抱。

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不过有一点比较有规律,那就是涉及到根和嵌套*时,紧跟其后的步骤乃是运用引理1。星号注:嵌套即函数的复合。

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比如,对于 H(X, r) 的两个根 u 和 v,它们之间存在多项式关系 v = ψ(u),由于 v 是 H(X, r) 的根,则 u 成了 H(ψ(X), r) 的根。两个橙色的多项式有共同的根 u,而前者不可约,从而整除后者 —— 这就运用了引理1。

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写到这里忽然想到,也许最大的规律就是—— 枢纽引理贯穿整个理论。这意味着,无论身处理论的哪个地方,推演的过程总是指向引理1。或者说,每个阶段所作的推演只是为再一次运用引理1做准备。这样就对伽罗瓦理论有了统一的观点。




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3 杨正瓴 张忆文 李学宽

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