[注：下文是群邮件的内容，标题是抬头。有较大的启发性。]

对排列分组的动机是什么？

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初次接触排列时立刻会意识到，少数几个字母的排列在数量上可以相当庞大。而在研究任何问题时，从各种具体情形摸索规律是很自然的 (即“形而上”)。如果要得到所有可能的排列，可以有若干办法，而最好的办法是涉及的 “操作” 最少。

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在这之前，我想到全部的排列可能包含若干模式 (从图案角度看)，从而形成 “自然的” 分组。为此我在 Matlab 里做了个实验：P= perms([1: 5]); figure; image (P)。现在倾向于放弃这个想法，而转到 “最少操作” 上来。

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先列出 1, 2, 3 的全排列 (借助 Matlab)：

P =

     3     2     1
     3     1     2
     2     3     1
     2     1     3
     1     2     3
     1     3     2

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最简单的，可以按 “反射” (记作 R) 分组。比如，第1行和第5行：R(1) = 5, R(5) = R^2(1) = 1；R^2(5) =  R(1) = 5。再比如，第2行和第4行：R(2) = 4，R(4) = R^2(2) = 2。这样按反射操作就分为三组：(1, 5), (2, 4), (3, 6)。这样的话，前三行可以作为 “种子”，用反射的办法得到其余排列。这个办法的“复杂度”为 [3:1]，表示 3个种子 1 个操作。

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现在把目光放到3个种子上... 先做个调整：第1行和第5行对调（组内调换行的位置不影响复杂度）。

P =

     1     2     3
     3     1     2
     2     3     1
     2     1     3
     3     2     1
     1     3     2

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仍然取前三行作为种子组。可以看出，它们是循环关系(方括号内的数字指行内元素的位置)：[3] ~> [1] ~> [2] ~> [3]。把这个操作记作 C。则有：C(1) = 2, C(2) = 3, C(3) = 1。由此，种子组里又可以选出一个(二级)种子，由它得到种子组。

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综上，可以从一个(二级)种子出发，经过循环操作 C，得到三个(一级)种子，由它们得到其余排列（后三组内也是循环关系）。总的复杂度是 [1: 2]，即一个种子，两个操作。

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从分组的角度看，1~3 行形成一组，4 ~ 6 行形成一组。两个组都 “服从” 循环关系。所谓(单一)群，就是从单一的对象*出发按单一的操作得到 “全部” 的对象。星号：此处的对象是排列。而 “全部” 意味着封闭性。而且，在同一个(单一)群内，无论从哪个对象出发得到的结果都一样。

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如果要在操作之间排个顺序，应该是 R, C。从任何一个对象开始，先做一个反射，然后各自做循环，就可以得到全部的排列。注：这是对三元排列而言。

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总之：对排列分组的动机，很可能只是为了方便地写出全部的排列。由于写出全部的排列显得很麻烦，就希望以最小的麻烦办成事情。而麻烦通常是由于没有规律引起的，于是就可能促使人们从排列中寻找规律，进而发现它。

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进一步，这里面的思想方法是什么？我把它归结为 “计算” 二字：以最少的符号计之，以最少的操作算之。对于 n 个符号的排列而言，可以记作 P(abc...)。但这只停留在概念的层面的。如果写作 (R, C, abc) 就到达了 “计算” 的层面。 (从abc出发 “呼啦” 一下全有了！)

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注：昨天拿出 Edwards 的书，页码不少，不知道从何下手。从第一页开始读？好像没那个耐心。从早上到晚上，抽了2包烟，最后选择从 S39 开始读起。以上是即兴写成（不是 “memoir” !）。