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能量传输导致自发性的爆炸同步

已有 5060 次阅读 2014-6-8 02:58 |系统分类:科研笔记| 文章, style, 自发性

最近看了一篇arxiv的文章,感觉还不错,在此简单介绍一下。

Spontaneous synchronizationdriven by energy transport in interconnected networks

VincenzoNicosia,Per Sebastian Skardal,Vito Latora,Alex Arenas(注:他们组最近做了无穷多关于多层网络的工作,可以关注他的个人主页,同时他是pre负责复杂网络方向的学术编辑)

 

这篇文章是基于双层网络研究两类不同动力学——随机游走和相振子同步间的相互作用,最终导致相振子的爆炸同步。

 

模型:考虑一个双层网络,总共有N个节点,每个节点在不同网络层有不同的拓扑结构(比如人与人之间可以是线下的朋友关系,也可以是在线平台上的朋友关系,而线下的朋友关系网和在线平台的朋友关系网具有不同的拓扑结构)。

 

假设下层是能量传输层,网络的拓扑结构用邻接矩阵 $e=\{e_{ij}\}$ 表示,上层是相振子耦合关系层,拓扑结构用 $A=\{a_{ij}\}$ 表示。

 

能量传输层:

假设能量传输按照“偏好性”随机游走进行,也就是说,每个能量、数据包(packet)从节点i传输给节点j的概率为


其中k_j表示节点j在上一层,即相振子耦合关系层对应的度(注:这个设计是模型的最关键之处,要不然就难以出现爆炸同步).alpha是偏好性系数,alpha>0则表示倾向度大(上一层)的节点传输能量。

那么就有如下的马尔科夫过程:


其中p_i^{t}表示节点i在时刻t被某个“walker/packet”占据的概率。

 

相振子耦合关系层:

 

相振子耦合动力学通过如下动力学方程刻画(kuramoto振子):

其中theta_i表示节点相位,omega_i表示i的固有频率,lambda表示节点间的耦合强度。作者假设每个节点的固有频率omega_i与占有概率p_i成正比,即:omega_i=N*p_i,也就是说,能量越大,固有频率越大。

 

衡量振子间的相同步序参量用r表示,r越趋近1则表示同步越明显(注:相同步指的是所有振子相位一致)

模型示意图:

 

(下层是能量传输层,上层是耦合振子关系层,下层的能量倾向与上层的大度节点传输,而上层的相振子固有频率与他的能量占有率成正比。)

 

作者假设下层是随机网络,上层是经典的BA网络,最后通过研究表明:alpha0.62.0的时候会导致“爆炸”同步——既突发性的同步现象,属于一级相变,为了验证是否是一级相变,可以看是否存在磁滞回线现象。

 

主要结果:

(a强调是一级相变,因为有磁滞回线现象;b说明相变阈值;c白色区域对应的就是一级相变,从很笑的序参量r突然变得很大。)

 

这个文章的新颖处有以下几点:

1,利用了当前火热的多层网络为框架;

2,研究两类动力学的相互耦合;

3,爆炸同步,这个方向最近出了不少PRL

 

注:其实如果我们知道爆炸同步涌现的条件,我们就会明白作者为什么要如此设置模型。在ExplosiveSynchronization Transitions in Scale-Free Networks PRL, 106,128701,2011)这篇文章中,作者假设相振子的固有频率omega_i(公式3)等于节点i对应的度k_i,发现可以在无标度网络上出现爆炸同步。后来的研究进一步表明要出现爆炸同步,就要求每个节点和邻居的固有频率具有很大的差异性,这样做的目的是想法阻止节点和邻居过早出现相同步,但是当增加lambda充分大的时候,就会出现一个可以想象的现象——绝大多数节点突然都具有相同的相位。而BA网络的度分布具有很大的差异性,每个节点的固有频率和度相同的时候,就会出现大度节点很难被其他节点驾驭,因此难以出现同步,但是当进一步增加耦合强度lambda的时候,大度节点会被驾驭,因而导致全局同步(注:李平等人证实给定的无标度网络,如果增加网络的正相关性会导致爆炸同步现象消失,这也可以理解,因为这个时候大度和大度节点容易在一起,因而导致条件:每个节点的固有频率和邻居的固有频率要有充分大的差异性。Reexaminationof explosive synchronization in scale-free networks: The effect ofdisassortativity,PRE,87, 042803, 2013)。

 

 

有了这些背景,我们再回到这个模型上,根据公式1,上层的大度节点必然具有更大的p_i,因为随机游走的最终结果就是大度节点被访问的概率更高,现在alpha>0就导致大度节点的占有率更大。另一方面,根据假设条件omega_i=N*p_i必然导致大度节点的固有频率和他的度成正相关。再者,作者假设相振子耦合层是BA网络。综合这些原因就不难理解为什么会出现爆炸同步了!不管怎么说,这个文章应该可以发一个好杂志,我估计是最近特牛的PRX.

 

这个文章的模型虽然有些牵强之处,但是问题很新颖,有很多值得深入的地方,需要我们进一步思考。

 

 




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