最近看了一篇arxiv的文章，感觉还不错，在此简单介绍一下。

Spontaneous synchronizationdriven by energy transport in interconnected networks

VincenzoNicosia,Per Sebastian Skardal,Vito Latora,Alex Arenas（注：他们组最近做了无穷多关于多层网络的工作，可以关注他的个人主页，同时他是pre负责复杂网络方向的学术编辑）

这篇文章是基于双层网络研究两类不同动力学——随机游走和相振子同步间的相互作用，最终导致相振子的爆炸同步。

模型：考虑一个双层网络，总共有N个节点，每个节点在不同网络层有不同的拓扑结构（比如人与人之间可以是线下的朋友关系，也可以是在线平台上的朋友关系，而线下的朋友关系网和在线平台的朋友关系网具有不同的拓扑结构）。

假设下层是能量传输层，网络的拓扑结构用邻接矩阵 $e=\{e_{ij}\}$ 表示，上层是相振子耦合关系层，拓扑结构用 $A=\{a_{ij}\}$ 表示。

能量传输层：

假设能量传输按照“偏好性”随机游走进行，也就是说，每个能量、数据包(packet)从节点i传输给节点j的概率为

其中k_j表示节点j在上一层，即相振子耦合关系层对应的度（注：这个设计是模型的最关键之处，要不然就难以出现爆炸同步）.alpha是偏好性系数，alpha>0则表示倾向度大（上一层）的节点传输能量。

那么就有如下的马尔科夫过程：

其中p_i^{t}表示节点i在时刻t被某个“walker/packet”占据的概率。

相振子耦合关系层：

相振子耦合动力学通过如下动力学方程刻画（kuramoto振子）：

其中theta_i表示节点相位，omega_i表示i的固有频率，lambda表示节点间的耦合强度。作者假设每个节点的固有频率omega_i与占有概率p_i成正比，即：omega_i=N*p_i，也就是说，能量越大，固有频率越大。

衡量振子间的相同步序参量用r表示，。r越趋近1则表示同步越明显(注：相同步指的是所有振子相位一致)。

模型示意图：

（下层是能量传输层，上层是耦合振子关系层，下层的能量倾向与上层的大度节点传输，而上层的相振子固有频率与他的能量占有率成正比。）

作者假设下层是随机网络，上层是经典的BA网络，最后通过研究表明:当alpha在0.6与2.0的时候会导致“爆炸”同步——既突发性的同步现象，属于一级相变，为了验证是否是一级相变，可以看是否存在磁滞回线现象。

主要结果：

(a强调是一级相变，因为有磁滞回线现象；b说明相变阈值；c白色区域对应的就是一级相变，从很笑的序参量r突然变得很大。)

这个文章的新颖处有以下几点:

1,利用了当前火热的多层网络为框架；

2，研究两类动力学的相互耦合；

3，爆炸同步，这个方向最近出了不少PRL；

注：其实如果我们知道爆炸同步涌现的条件，我们就会明白作者为什么要如此设置模型。在ExplosiveSynchronization Transitions in Scale-Free Networks （PRL, 106,128701,2011）这篇文章中，作者假设相振子的固有频率omega_i（公式3）等于节点i对应的度k_i,发现可以在无标度网络上出现爆炸同步。后来的研究进一步表明要出现爆炸同步，就要求每个节点和邻居的固有频率具有很大的差异性，这样做的目的是想法阻止节点和邻居过早出现相同步，但是当增加lambda充分大的时候，就会出现一个可以想象的现象——绝大多数节点突然都具有相同的相位。而BA网络的度分布具有很大的差异性，每个节点的固有频率和度相同的时候，就会出现大度节点很难被其他节点驾驭，因此难以出现同步，但是当进一步增加耦合强度lambda的时候，大度节点会被驾驭，因而导致全局同步（注：李平等人证实给定的无标度网络，如果增加网络的正相关性会导致爆炸同步现象消失，这也可以理解，因为这个时候大度和大度节点容易在一起，因而导致条件：每个节点的固有频率和邻居的固有频率要有充分大的差异性。Reexaminationof explosive synchronization in scale-free networks: The effect ofdisassortativity,PRE,87, 042803, 2013）。

有了这些背景，我们再回到这个模型上，根据公式1，上层的大度节点必然具有更大的p_i，因为随机游走的最终结果就是大度节点被访问的概率更高，现在alpha>0就导致大度节点的占有率更大。另一方面，根据假设条件omega_i=N*p_i必然导致大度节点的固有频率和他的度成正相关。再者，作者假设相振子耦合层是BA网络。综合这些原因就不难理解为什么会出现爆炸同步了！不管怎么说，这个文章应该可以发一个好杂志，我估计是最近特牛的PRX.

这个文章的模型虽然有些牵强之处，但是问题很新颖，有很多值得深入的地方，需要我们进一步思考。