某些系统内此消彼长的熵（1）

张学文，2009-6-28

提要：有的物质系统从不同的视角应当承认存在着两种熵(熵）。当该系统变化时，它们会出现此消彼长的互补现象。这类似不同形态的能量的转化现象。

（一）此消彼长的物理量

当用氢气和氧气化合成为水时，我们知道原有的氢气、氧气的质量减少了，而与此同时，水的质量却增加了。正是在大量的化学变化中的物质质量的自发的此消彼长现象最终引导出了质量守恒定律。

一块石头从高处掉下来，石头最初具有的位能，先是变成了动能，最后碰到地面又变成了热能。这个自然过程中存在着不同形态的能量的此消彼长以致使我们发现其合计值是不变化的（能量守恒）。

熵，也是物质系统具有的物理量。某系统内不同形态（氢气，氧气，水）的物质质量以及不同形态的能量（位能、动能、热能）的此消彼长现象提示我们：一个系统内是否存在不同状态的熵（复杂程度），而它们也有此消彼长的现象？甚至不同形态的熵的合计值也守恒？

这是个吸引人的题目。它过去在熵仅只是热力学熵和它的总量总是增加的观念下被掩盖了。我们现在要刻意分析客观事物内的这个熵（复杂程度）的此消彼长现象。

本人关于这个问题的最早文字见于1986年的“物理场的熵及其自发增加现象”一文（http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=239865）中。那里指出温度不同的一个圆盘上当温度变成相同值时，其热力学熵固然增加了，但是原先存在的物理场的熵却减少为零了。即一个系统内出现了不同含义的熵的此消彼长现象。

 

为了便于一般化的讨论，下面先提供一种计算熵的思路，这个思路在结果上与当前信息熵的流行计算方法是一致的（差N倍，N是系统内个体的总数量，但是不影响定性认识）。但是这里借助于个体-标志值-广义集合概念比较容易看到一个系统内的不同的熵（复杂程度）的存在。关于个体-标志值-广义集合-复杂程度（熵）概念，除了《组成论》的介绍外，也可以参考系列博客文章 http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=29861

 

（二）关于熵的一种计算公式和背景

1.         关于熵的定义，150多年来已经从热力学领域延伸到非热力学领域。其应用领域的一再扩展说明这个概念的基础性和普遍适用性。把握熵概念的本质，揭露和准确理解有关熵的变化规律，对于哲学、科学以致技术都具有重要意义。

2.         鉴于信息熵概念提出以后，如何统一理解客观事物中的热力学熵和联系着抽样实验的信息熵存在着认识上的困难。《组成论》（2003，中国科学技术大学出版社）提出了复杂程度概念。并且宣称过去的各种熵都是复杂程度的特例。这为统一考虑不同类似的熵提供了方便和依据。这类似19世纪热功当量（热量与功的换算系数）的提出为能量不灭定律的发现做了技术与概念准备。

3.         作者对复杂程度的定义是建立在广义集合这个基础概念上的。所谓的广义集合，先是确认某系统内存在着N个彼此独立的同类个体（如若干同类分子、若干同班学生、若干恒星…），然后明确就某标准属性x（如原子的运动速度、学生的体重、恒星的亮度）而言，该广义集合内的每个个体在确定时刻有确定值x₁,x₂.. ,x_N。在这些情况已经知道的背景下就存在一个明确的关系：具有不同的标志值的个体各有多少。根据这个函数关系可以计算一个数（统计量），它就是复杂程度。

4.         这个广义集合的复杂程度C定义为

C=NlogN-∑n_ilogn_i  

复杂程度的单位在对数以2为底时就是比特，10为底时是哈特利。这里的n_i是标志值x_i的个体的数量。显然当各个个体的标志值都不相同时，复杂程度=NlogN，它是该广义集合的复杂程度的最大值。当N个个体的标志值都一样时，i=k=1, n_i=N,于是C=0，这是最简单、最不复杂的系统。

 

5.         《组成论》说明这样定义的复杂程度与热力学熵是一致的（此时体现着能量分布的复杂程度），而在抽样实验中它与信息熵成正比例。但是基于广义集合的复杂程度还可以计算更广泛的系统（物质的抽象的）的复杂程度。

6.         这样计算得到的熵（复杂程度）应用领域宽，而且与统计力学的熵和信息熵没有矛盾。它们的一些计算细节，这里就不展开讨论了。后面就在广义集合概念-个体概念-标志值概念和复杂程度（熵）公式的基础上讨论某些客观物质系统内此消彼长的熵。

 

（三）昆虫与盒子的例子

1.         我们在8篇系列博客文章（http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=237480等）中用到大量昆虫如何在有限的格子里分布和变化的例子。现在继续用这个模型，但是却着重讨论昆虫在格子里的变化所对应的两种熵（复杂程度）以及它们的此消彼长。

2.         有10个盒子和1千个昆虫，昆虫被放到了其中的一个盒子里（下表是在第3号盒子）。我们计算与这个分布状态有关的复杂程度（两种）

1号	2号	3号	4号	5号	6号	7号	8号	9号	10号	昆虫关于位置的状态
0	0	1000	0	0	0	0	0	0	0	昆虫数量

根据复杂程度（熵）公式可以计算出它的复杂程度C₁（N=1000, n₃=1000, 其他的n_i=0），C₁=1000log1000-1000log1000=0--即当我们以昆虫为个体，以盒子号码为标志值时，该物质系统（广义集合）的复杂程度为0.显然，无论昆虫集中在哪个盒子里，其昆虫的分布的复杂程度为0，即处于最简单状态。

但是我们也可以站到盒子的立场看问题，认为这10个盒子有两种状态，一为没有昆虫的盒子，有9个，另外是有（1000个）昆虫的盒子，有1个—盒子的状态有的复杂。于是按照复杂程度定义，又有下面的表;

有昆虫的盒子	无昆虫的盒子	盒子关于昆虫有无的状态
1	9	盒子数量

根据这个表，我们有权利计算另外的一个复杂程度值：C₂

C₂=10log10-1log1-9log9=10-8.588=1.412（单位是哈特利，以后从略）

即我们分析的这个物质系统，存在两类个体，盒子以及昆虫，而且它们都具有独立存在的意义。谈及盒子（个体），我们以它具有的昆虫数量为标志值；谈及昆虫（个体），我们以它所处的盒子标号为标志值。所以这个系统同时具有两个独立的复杂程度值（熵的值）是完全合理的。

3.         按照我们关于状态转移的笔记http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=237480等，让这些昆虫在各个盒子里的每步的转移率都相同的情况下经过多步的转移。结果是各个盒子里的昆虫数量相等了。现在计算这时的两种复杂程度。

复杂程度1：（含义同前，但是它是经过演化以后昆虫分布，下同）

C₁=1000log1000-10*100log100=3000-2000=1000

1号	2号	3号	4号	5号	6号	7号	8号	9号	10号	昆虫关于位置的状态
100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	昆虫数量

所以昆虫转移的结果是分布在各个盒子里的都有，呈现最分散最复杂的状态，其复杂程度=2000

如果站到盒子的立场上看问题，则每个盒子里昆虫数量都相同。这是最简单的状态。其分布是

 

C₂=10log10-10log10=0

所以在这个转移过程中，昆虫的分布状态复杂化到最大的程度，而盒子里居住的昆虫数量简单到大家都一样的最简单的程度（熵=0）。

4.         综合上面的分析，可以获得下2表

初始时刻

最终时刻

个体1	1000个昆虫	个体2	10个盒子
标志值1	每个昆虫所在的位置（盒子号码）	标志值2	每个盒子里的昆虫数量
分布函数1：不同盒子里的昆虫各有多少	散到各个盒子里的昆虫都有，分散（乱）到最大程度	分布函数2：不同昆虫数量的盒子各有多少	10个盒子里的昆虫数量是一样再简单不过
复杂程度（熵）1	熵最大，最复杂=2000	复杂程度（熵）2	熵最小，最简单0

 

5.         于是，我们通过一个例子看到一个物质状态系统，它在最初就具有两个不同角度下的复杂程度（熵），而当其自发演化以后，一个熵加大了，另外一个却减少了。它体现了熵的自发此消彼长。

 

好了，这一段已经很长了，余话以后再说。

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