如下图：

由上图可知，按直线和点的个数由简到繁延伸的图形体系，决定了点和直线是各个图形的共性联系。这样的共性联系决定了相邻两个图形中的简图形就是这两个图形的相同点，繁图形必然包含着简图形。

只是有这样的图形体系没有多少意义。伟大的欧几里得始于点的位置性抽象，顺其同生异长的自然，这样的图形体系终成形式逻辑下的形象链条。

例如点和线的两个概念：

点没有大小，只有位置；

点与点的连接产生线。

看到没，这两个概念的题设里都有“点”，这就是两者的共性联系，也可以说是相同点，可以共存共生的基础。点长出了线，线包含着点。点老子生出了线儿子，线就必然有点的遗传。也就是说线的性质里必然存在点的性质。

两个概念的结论，分别是“没有大小只有位置”、“点的连接产生线”。很显然，这两个结论没有相同点，是相异，3个异。

同生异长。两个不同概念在同下结合，因异而长，创新了。有多少异就有多少新的生长，有多少异就有多少创新。

3个异就有3个生长。

生长（1）：点没有大小，线怎么可能有宽度；

生长（2）：点的连接决定线的长度；

生长（3）：点有位置，由点连接而成的线自然也有位置。

由此可见：包含着简图形的繁图形，简图形是这简繁两个图形的相同点；包含着简图形的繁图形，必受简图形的制约；包含着简图形的繁图形，简繁两个图形的不同点就是繁图形中新的生长点。

由点、线开始，如此同生异长下去，图形体系得到了不断的扩充和延伸。

再看看过两点画的直线，会产生什么状况。

过两点画直线。题设有二，一是两个点，二是直线。比之单一的直线图形，多了两个点，繁了。

这样的图形包含着点和直线，需要运用点和线的概念：

点，无大小，只有位置。

直线，无宽度，只有长度。

过无大小的的两点（教学中必须明确这个点都是交点）画无宽度（也是因为点无大小）的直线，有且只有一条直线。这是受到了点和直线两个图形的“无大小和无宽度”的制约而生长出的概念。

“只有位置”和“只有长度”之异可以告诉我们：过两点画任意条直线，有且只有一条直线的位置和长度。直线公理的简说就是：两点确定一条直线。

两条直线的图形，画的无论有多少，交点从无到二，由简到繁，类分为三：平行、相交和重合。

两条直线的图形繁于一条直线的图形。一条直线的图形受直线公理制约，两条直线的图形当然也要接受直线公理的制约。

过两点画出的任意条直线，有且只有一条直线的位置和长度。过两点画出的两条直线也不例外，有且只有一条直线的位置和长度，根据直线公理这样的两条直线必然重合。

两条直线如果只有一个交点，这两条直线的位置关系成相交形状。

两条直线如果没有交点，这两条直线的位置关系成平行形状。

根据直线公理的图形，如此定义，容易理解。

看下图：

两线一点，最简单的图形莫过于如4的“角的定义”。

可以看到，6的对顶角中有四个5的邻补角；7的三线八角中有两个6的对顶角；8的三角形内外角中有三个7的三线八角。

运用上述同生异长之最基本的方法，数学概念就可以有新的发现了，可以有不断的创新了。