【注：下文是单位群邮件的内容，望尽天涯ing】 

就这样慢慢摸索...

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2.2. Pairs and singularities.

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评注：两个主要概念。

评注：早先已经多次遇到，这里或许能靠近些观瞧。

.李毅伟 李毅伟 李毅伟 李毅伟 李毅伟

A sub-pair (X, B) consists of a normal quasi-projective variety X and an R-divisor B with coefficients in (-oo 1] such that Kx + B is R-Cartier. If B≥0, we call B a boundary and call (X, B) a pair.

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评注：pair是sub-pair的特例，后者反映X和B各自的特定属性和彼此之间特定相互选择。

评论：广义地讲，配对意味着相互选择（侧重于特定关系的体现）。属于“预编程”型的定义。

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分析：概念分解如下。

X: normal quasi-projective variety;

B: R-divisor, Bi ∈ (-oo, 1];

Kx + B: R-Cartier.

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 X   B

 ↓   / ~> Kx +B

Kx

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特评：概念R-Cartier似乎扮演着（定性）“度规”的角色。想象一下，世上有一大堆 X，也有一大堆 B，凭什么把它们配对呢？肯定得有个评判的标准。这里的做法是，先构造出 Kx + B，并检验它是否是 R-Cartier 的。为什么要这样做？怎么会想到要这样做？这种做法的起源是什么？有没有其它配对的办法？可以预料的是，这样做肯定有好处（待考）。

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加评：在配对中，X 和 B 之间的相互作用是间接的，即由X派生出Kx，后者再与 B 做加法。（“相互作用”意味着“运算”）。

考虑：如果固定X，则可能存在多个B，形成配对(X, B)。此时，X 带有“中心”的意味。

加评II：sub-pair 有“向下配对”的意思。事实上，X 和 B 不是同类；由 X 派生出的 Kx 和 B 才是同类。

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Let phi: W --> X be a log resolution of a sub-pair (X, B). Let Kw + Bw be the pulback of Kx + B. The log discrepancy of a prime divisor D on W with respect to (X, B) is defined as a(D, X, B):=1 - mu_D Bw. We say (X, B) is sub-lc (resp. sub-klt) (resp. sub-eps-lc) if a(D, X, B) is ≥0 (resp. > 0) (resp. ≥ eps) for every D. This means every coefficient of Bw is ≤1 (resp. <1) (resp. ≤1- eps). If (X, B) is a pair, we remove the sub and just say it is lc (resp. klt) (resp. eps-lc). Note that necessarily eps ≤1.

注：高亮单词是原文中的typo，应为pullback.

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评注：通过映射 phi 引入 W，进而定义一个称之为 “log discrepancy” 的泛函 a(D, X, B)，再用后者判定 sub-lc 等情形。

评论：这段仍是做“预编程”。文中的 “log resolution” 令人费解，它是映射 phi 的法则，但找不到具体解释。姑且理解为，由 (X, B) 得到 W。文中的pullback该指某种映射。

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特评：涉及到一连串关系，不妨用“简记法”理顺。

   Kx + B <~ (X, B) ~> W

        ↓            |

  Kw + Bw      D

                \    ↓

             a(D, X, B):=1 - mu_D Bw

泛函a把(X, B) 分为三个类型：

a>=0, sub-lc型;

a>0 ,  sub-klt型;

a>=eps, sub-eps-lc型.

注：判定要对每个D都成立才有效。

注II：mu_D 和 Bw 可能是行向量与列向量，乘积为实数。

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此小节还有两小段，待补（瞌睡了）。

---- 8/18 补 ----

（续 2.2.）Let (X, B) be a pair. An lc place of (X, B) is a prime divisor D over X, that is, on birational models of X such that a(D, X, B) = 0. An lc centre is the image on X of an lc place.