教研圈：初中数学代数范围的重复性练习的设计与实践

王永晖  （首师大数学系教授）

教研圈参加人员：仅仅限为大中小学的优秀数学教师，具有研究琢磨的精神，人数少才方便讨论和研发。普通家长和普通教师，如果感兴趣的话，可以在以后参加我们研发成功之后的报告讲座。

教研圈内容： 初中代数里面的重复性练习，每次12分钟。

我们的想法是，重复性练习，在任何一个学科中都是非常重要的，数学学科更是如此。关键是，什么样的内容，值得去重复，这是一个很有意思的问题。

我们对初中数学教学的一个构思，就跟此很有关系。

初一整个一年是代数学习，初二一年是平面几何，初二的时候，每次数学学习时都要有一个附加的12分钟的代数练习，把初一所学进行重复，熟能生巧，是非常有必要的。

初一的一年，每次数学学习也可以有一个12分钟练习，内容则是之前小学高年级的内容，譬如速算和巧算，等等。

---------以上摘录自《小教室今后几年的教学计划》

我们在这个教学计划中，重复性练习实际上包含了三个，前两个都已经比较清楚了：

1.   Panamath估算测试      最底层的数觉，婴儿都能具有, 有的孩子得分超高，而有些相比之下，差了两三倍的都有，看来还是应该练一下。

2.  百格猜算  我们研发的有小学算术版，和初中代数版，这是最基础的计算能力，跟普通的练习册做题还不一样，重复度非常高，从而练习的效率也高。

3.   代数巧算 ，即本项目所希望研发的内容，姑且称之为这个名目。

4.  Alcumus  等类似的题库，相当于那些练习册，题量比较多，从而重复性较差，但是，这一部分也是需要的，否则学生缺乏做题的灵活性也不行。

前3个重复性练习，每次加在一起，不会超过30分钟，这样就不会引起学生的反感，不重复是不行的，但是过量的重复也没有必要，关键在于合适的度，这在我们小教室过去的教学中很好的体现，就像小苗浇水，每天浇一点，日久之功，不可小视。

我们的这个教研项目，面临的问题是，最基础的重复性训练，比较清楚，就用百格猜算（或者其他普通的计算练习）就可以，属于第1、2层面，而市面上见到的练习册，题量比较多，属于第4层面，在最基础的重复性训练，和市面上的练习册之间，我们希望能够形成一个中间层次，既具有比较高程度的重复性，同时，又比百格猜算具有稍微多一些的题型。

教育不仅仅是加法，更重要的是减法，我们怎样把小学高年级算术和初中代数的练习，精简到最根本的程度，从而才方便于日常的重复性练习，为孩子们的算术与代数的“数觉”，打下很好的基础。

这个工作，应该是很有意义的，国外相应类似的卷子称作Number Sense，我们已经做了几次，但感觉还不能够覆盖住我们的目的，我自己对中学数学教学的经验比较少，这里希望能有更多的优秀老师一起来商讨和研发，我们可以抽时间在首师大办公室或教室聚一下，也可以利用微信群来研讨。

欢迎参加！

联系方式：taiji.yonghui.wang(at)gmail.com    每信必复，如果未收到回信，请再发一次。

附注A. 本项目也欢迎对数学教育特别感兴趣的IT工程师参加，但是，我们内心还是有那么一点圣洁的理想的，目前阶段，只接受具有相同愿景的IT工程师，特别合适的话，在长期磨合与友谊的基础上，可以成立非商业性的民办非企业类公司，将我们的研发成果落地。

附注B. 代数重复性练习（代数巧算）的设计原则初探：

原则1. 与百格猜算的口算相比，允许用草稿纸笔算。譬如，百格猜算的小学版适合加法和乘法，不适合减法、除法。百格猜算的初中代数版，则除加法和乘法，还可以包含进减法和适当程度的除法（分数）。而更多的分数与分式计算，则应放入代数巧算中。

例1. 譬如那些涉及代数运算律的巧算题，这一般属于小学高年级题目，可以放在初一阶段，初二阶段的代数巧算，则希望跟字母代数更融合在一起，当然，我们希望还能够比这个范围稍大一些，所以需要进一步研究

附注C.  有些高智商的学生，表现为不爱进行重复性训练。有些中小学老师也认为，超常儿童不需要进行过多的重复性训练就能把知识掌握，弄多了反而让他们烦（有道理后面再说），这些中小学老师/家长，也因此往往会助长这批孩子们的此种风气，尽量往前学，学过的不用重复太多，但在某种意义上来说，很可能恰恰由此毁了这些孩子未来成为学者的可能性。

         就我自己的科研经验来说，数学总会在某个时刻，超越任何一个人类的能力极限，这个时候就需要重复性训练或者说习惯，我在大学阶段将之称为“忆筛”，但是，如果这些高智商学生，已经不喜欢重复性训练了的话，那么他们在大学反而学的不会好。就我在首师大教学实践中也发现，首师大也有较少的高智商学生，不是没有还是有几个的，但是某些高智商的孩子为什么到了大学也学不好呢。

         让我们反观小孩子，绝大多数小孩子，从幼儿园阶段就可以看出，是非常喜欢重复做一件事情的，那么，从什么时候开始，他们讨厌重复训练了呢？一个原因可能是家长，态度上否定孩子的重复，不耐烦的表情之类或直接干扰和阻断的做法，从而让他们下意识地认为这样是错的，另外一个，可能来源于学习，进度太快，缺少重复基础下的深思熟虑。

      重复性训练，就是中国人所说的“熟能成巧”，在学业上，更是会表现为“熟能生慧”。

      --------李克正老师批注：关于“初中数学代数范围的重复性练习”  1964 年, 华罗庚先生访问南师附中时与教师们座谈, 问及数学教师对于学生解题的要求, 有老师回答说“熟练”, 华先生说“要烂熟”。

没有重复性的练习当然不可能达到“烂熟”。那么, 为什么“有些高智商的学生，表现为不爱进行重复性训练”? 问题在于文科式的教学。

具体说, 数学中的重复性训练并非将同一个习题反复做, 而是在重复中有提高。至于提高得多快, 是需要“因材施教”的, 所以这方面的“设计与实践”就非常重要了。如同爬坡, 虽然每步都是重复, 但越爬越高, 而且对每个学生要有特定的坡度, 既要能使他爬得上去, 又不能使他“如履平地”。要达到这样的教学水平, 是需要很大的努力的。

如所周知, 现在中学的化学、生物等的教学完全是文科式的, 物理也差不多了。数学只是由于少数数学家的顽强抵抗, 还没有完全文科化。不过前景实在不容乐观, 至少中学数学教科书已经很文科化了; 现在正在搞的数学“素质”评价,也是文科主导的。

例如, 一种教学法是反复做同一个“题型”的训练, 其最高境界是训练到成为条件反射 (尤其是对选择题), 这样

在考试时就可以节约时间。这其实是被中考高考逼出来的。这种把学生当学习机来培训的方式, 学生“讨厌”是很正常的。

其实选择题本身就是文科的考试方法。数学教育是要让学生“懂”数学而不是仅仅“知道”数学 (按时髦的术语为“知道分子”)。仅仅“知道”当然不会用 (哪有实际的数学问题预先给好“选择”的)。无论在理工科哪个专业还是日常生活、通用技术中遇到的数学问题, 都是要靠“懂”数学的人去解决 (一般只是“应用”数学, 谈不上“创新”)。仅“知道”数学的人, 只会到处寻找解决方案, 例如到网上搜 (这种情形现在已很常见, 往往令人哭笑不得)。就这方面而言, 所谓“高分低能”的说法是有意义的。

-----批注结束-------

不过，我的观点，跟李老师还是稍微有细节上的不同。就我们小教室的实践而言，还是注重最低级的简单重复，我们有个每周十分钟测试，如果周六成绩不高，后面每天都要再做一遍，就是原来的题，这种重复，我感觉对孩子们的大脑是有改变的，所以才会做。

         完全大剂量的简单性重复，固然会让学生们建立不起喜欢重复的学习习惯，但完全没有简单性重复，也不行，剂量定在每天10分钟左右，应该是合适的。这是我们的小苗浇水原理，每天一杯水就够，完全没有旱死，或者大水漫灌，都不好。

         要多说一句的是，这个十分钟测试题，大部分是孩子们自己挑选，甚至自己构思出来的，这个环节就不是简单性重复了。总的想法是，如何让学生们觉得有意义，做有意义的事情，为了有意义的事情去重复。

         对于中小学科目，将数理化这些科目文科化的倾向，我在大学生身上是有看到的，思维方式完全不对，弄得像个政治家一样去思考数学，肯定学不下去的，我们这里其实也不是要诬蔑和贬低文科思维，须知，中国的文科，跟世界其他文明国家的文科，还是不一样的，文科也应该讲究理性思维的，但鉴于国情，我们这方面不能讲，要背道而驰，所以只能各人自求多福了。