《时间之问》是一部作者和学生对话交流的“记录”，选取“时间”作为跨学科讨论的媒介，联接起数学、天文、历史、集成电路、中国古代文化等不同学科，这些话题像一颗颗散落的珍珠，被“时间”这根主线串联起来。这里既可以遇到祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price等大科学家，也会发现庄子、博尔赫兹、史铁生、柏拉图等文哲大家。

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《时间之问20》冬至大寒与黄钟大吕？

引子：朱载堉独居土屋十载，骨肉分离不得相见，人生进入了寒冬。他在人生极寒的冬至里看到了一阳复生的希望，看到了二阳来临、三阳开泰，最终从节气的变化里悟到了黄钟大吕的音律之谜。

一周后，学生和老师在餐厅碰面了。

“上次我们说到的朱载堉是站在前辈的肩膀上攀上了音律世界的顶峰，他推开了关闭了一两千年的沉重的大门，为我们打开了另一个奇妙的音乐世界。” 老师说道。

“嗯，天时、地利、人和具备，太巧了。”

“可是我们上次却没有提到另一个重要的“人和”。”

“哦，是吗？这个“人和”是谁？”

“朱载堉自己。”

“你是说他自身的才华吗？”

“不全是。一个人能够以一己之力跨越千年的藩篱，虽然聪明才智不可或缺，但还有更重要的原因。”

“那是什么？”

“你还记得年少时那些令他悲伤欲绝的家族恩怨吗？”

“记得。”

“他的父亲无辜被关进高墙，自己被剥夺了王子冠带。朱载堉的人生仿佛跌进了冰洞，天空阴云密布，北风呼啸，雨雪交加。但中年以后，他渐渐看淡了世事无常。”

“那些家族恩怨渐渐在他心中随风而去？”

“嗯，他避开尘世干扰，一头扎进另一个世界里。那里没有人世纷争和尔虞我诈。他静心无虑，潜心思考。即使重新恢复王子地位，他也从未想过动用手中的权力去报复当年的告发者，虽然这对于一个赢得皇上敬重的人来说这样做轻而易举。”

“哦，他在做什么呢？”

“他静静的，像一位沉静的儒者，平静的外表下面不再涌动仇恨与愤懑，而是充满了思考和喜乐。他沉浸在思考和计算中，孜孜不倦的追求一个谜一般的数字，追求一个完美的音律体系，追求能让音律完美返宫的方法。”

“他为什么如此痴迷呢？”

“因为他深信找到了这个完美的音乐体系，音律将永远和谐，音乐和上天完美呼应，礼乐将不再崩坏，国家将长治久安。”

编钟

“我知道了，你说的“人和”是指朱载堉内心的平静？”

“我先讲一个故事吧，也许听完后我们会更好地理解他。”

“好啊。”

“故事的主人公也是明朝人，生活的年代比朱载堉父亲稍早，他也曾思考过音律的问题。在他和弟子留下的著作中，记录了这样一段对话。对话中“先生”和弟子“洪”讨论了音律的“元声”从何而来。”

“哦，元声是什么？”

“元声就是黄钟之音。”

先生曰：古乐不作久矣。

洪要求元声不可得，恐于古乐亦难复。

先生曰：“你说元声在何处求？”

对曰：“古人制管侯气，恐是求元声之法。”

先生曰：“若要去葭灰黍离中求元声，却如水底捞月，如何可得？元声只在你心上求。”

曰：“心如何求？”

先生曰：“古人为治，先养得人心和平，然后作乐。比如在此歌诗，你的心气和平，听者自然悦泽兴起，只此便是元声之始。 ”

“这段话里的先生是谁呢？”

“就是上次我们提到了与朱载堉的外舅祖何瑭同朝的大臣王阳明，他和弟子钱德洪对音乐有过一次探讨。”

“这是怎么回事呢？”

“弟子说古代的黄钟之音已不可得，所以无法恢复大舜和孔子那种淳朴的古乐。先生反问：如何找到黄钟之音呢？弟子说：古人在冬至时刻在律管里装上烟灰，当冬至时刻到来之时，阳气上升，如果烟灰向上扬起，对应长度的律管就是黄钟。”

“哦，这方法听起来有点玄妙。”

“嗯，先生说：恐怕这样求得的黄钟只是水中月而已。”

“那怎么才能找到黄钟之音呢？”

“先生说：黄钟之音只能在心上求。”

“在心上求？”

“嗯，弟子也不解这是何意，问：如何在心上求？先生说：大舜等古人治理天下，首先要自己人心和平，然后作乐曲，乐曲淳厚动听，听众才自然喜悦兴起，这个音便是元声的起始。”

“听起来有点道理。不过只要心气平和就能找到黄钟之音吗？” 学生问道。

“当然不是这么简单，但是如果人心不纯，私心杂虑涌动，曲调自然也杂乱，就算有精准的律管又有什么用呢？”

“哦，所以首先要人心和平？”

“对。朱载堉能够找到完美返宫的音律、找到黄锺逆生仲吕、循环无端的秘诀，首先要让内心沉静下来。”

“哦，这没那么容易吧。”

“不论曾经遭遇哪些不平和白眼，不论曾经遭遇那些身世起伏，都要暂时放下，回归到一颗平和的内心。”

“嗯。”

“静谧深夜，朱载堉遥望星空，思考着乐律之谜。上天到底把谜底藏在哪里？他抚今追远，思考着古往今来的宇宙的秘密：春华秋实，花开花谢，是一年四季的轮回；日泽光华，旦复旦兮，是一昼夜的轮回；月盈月亏，是一月的轮回。”老师说道。

“嗯，万物周而复始，循环不已。”

“可是朱载堉自问，他所挚爱的音律如何才能经过十二律回归到黄钟之音？”

“是啊，这是一个千年大哉问！”

“对于他自己的人生遭遇而言，他已经搬出土屋，回到王宫。冬至已经过去，物极必反，否极泰来。你还记得吗？我们以前说过，冬至意味着阴极之至，阳气始生，从此以后阳气开始集聚，一阳生复，二阳来临，三阳开泰。”

“嗯，我们说过冬至一阳生，是万物复苏的开始。”

星空

“对，朱载堉也开始从人生的冬至中复苏。极寒的终点意味着温暖的回归，而人生的低谷也预示着新的希望和追求。他从音乐中寻求慰藉，也寻求音乐的谜语。在人生际遇的巨变、和时节的渐变中，他体察到了音乐的变化。”老师说道。

“这是什么意思呢？”

“我想，对于一位跨越天文、历法、音乐、舞蹈多个领域的百科全书式的人物，朱载堉很自然地会从季节的变化中寻找答案吧。”

“哦，很有可能。”

“朱载堉知道，从冬至开始太阳每隔12个月多一点回归一次，是一年。而那个被称为岁星的木星每隔将近12年回归一次，是一个地支的轮回。”

“嗯。”

“但他也十分清楚，太阳回归并不是刚好12个朔望月，而是12.3682...个月，而木星的回归，也不是刚好12年，而是11.86...年。每个数字后面都有很多个小数位，似乎没有尽头，难道天意真的难测？朱载堉自问。”

“嗯，这个问题很难回答。”

“可是，他经过努力推算已经把12.3682后面的小数部分变得又更加精确，准确性甚至超过了元代著名科学家郭守敬制定的“授时历”。”

“这会令他稍感欣慰吧？”

“是的，他想既然天意都有准时，何况音乐！但是他对两千年来音乐的研究很不满意！”

“为什么呢？”

“朱载堉认为，历代的律家固守三分损益法，就像很久前的历法家认为一年有365又1/4天那样。”

“一年365.25天？那是春秋时期人们对一年长度的看法吧？”学生问道。

“对。朱载堉认为三分损益法就像一年365.25天一样，只是大概的数字，并不准确。但是自从汉代以来千余年，人们因为怀疑四分之一度不准而不断修正，到元代授时历已经准确到了365.2425天，这和目前的公历已经完全一致。但在律法上，二千年来人们却从来没有怀疑三分损益法，结果时间越久人们对其越是恭敬，不敢越雷池半步。”

“哦，是啊，为什么会这样呢？”

“朱载堉不禁大声质问，为何研究律法和历法的人智力水平相当，历法不断进步，而音律则原地踏步，为何相差如此悬殊呢？”

盖律家所谓三分损其一者，犹历家所谓四分度之一也，皆大略之率耳。自汉刘洪以来千有余载，疑四分度之一者疑之转深而转密；信三分损其一者信之弥久而弥竦：何律历二家愚智相较、霄壤相悬也！--- 朱载堉 《律吕精义·序》

“这就是怀疑和笃信的区别吧？！”

“对，怀疑是科学进步的驱动力。朱载堉认为只要有质疑精神，同样可以把音乐计算得像历法一样精准。”

“哦，他这么说的依据是什么呢？”

“因为朱载堉相信，音乐生于数字，数字和音乐本是一家。如不信，则可以用计算出来的数字和琴音相比对，它们一定吻合得严丝无缝。”

夫音生于数也，数真则音无不合也... 数与琴音互相校正，最为吻合。

“哦，只有深刻理解数学的人才会这么想吧？”

“对，朱载堉平生最大爱好不是别的，正是数学。不仅酷爱，他总是要固执地把数字的精度计算到极限。他相信，既然历法家能够把回归年长度计算得分毫不差，他同样可以用数学把音律的比值计算得分毫不差。他用大算盘一遍一遍不厌其烦地演算，得到一个数字就记下来，积累了很多数字之后，再计算他们之间的比值，久而久之，他豁然开朗了。”

余为人无所长，惟算术是好。因其所好而益穷之，以至求乎其极。用力既久，豁然贯通。。。

“他领悟到什么了？”

“朱载堉发现，这些雅乐的高深之理，完全可以用浅显的语言清清楚楚地表达出来。而那些别人看似迂腐繁杂的乐律学问，却在他的数字聚光灯下原形毕现。音律不再是三分损益法得到的那些近似数值，而可以用非常精准的数字描述的分毫不差。”

以浅近之辞，发挥高深之理，以幽微之数，研究迂阔之学，得其精而忘其粗。

“那他受到什么启发？”

“他想，既然从冬至到下一个冬至是一个轮回，那么从黄钟到下一个清黄钟也应该是一个轮回，两者都是一个完美的圆形。”

“圆形？”

“对，既然要完美返宫，最完美的形状就是圆形。只有把圆形等分之后，每一份才是均等的。”

“节气和音律怎么对应呢？” 学生问道。

“你看，从冬至出发，经历春分、夏至、秋分再回到冬至，刚好经历了一年。而在音律上，从黄钟音开始，逐渐缩短律管长，就有了大吕、太簇、夹钟... ，当律管长减小到黄钟音律管长的一半时，刚好经历了十二律，音调变大了两倍，回归到了清黄钟音。”

黄钟－大吕－太簇－夹钟－姑冼－仲吕－蕤宾－林钟－夷则－南吕－无射－应钟 - 清黄钟

“哦，是啊，它们都是回归。”

节气与音律的对应关系

“对。从黄钟音到清黄钟总共是十二律。朱载堉想，能不能找到一种方法把黄钟到清黄钟之间等分为12份？”

“就像等分一年的节气那样？”

“对。如果把音律比作历法，那12个相邻的律就是12个中气，也就是12个节点。”

“哦，是啊。” 学生若有所思。

“如果能找到一种均分的音律体系，这样从黄钟音出发，既可以从高音旋转到低音，又可以从低音旋转到高音，这样无论怎么转调都不会跑偏，就可以实现完美返宫。”

“这真是一个绝妙的主意！那如何均分音律？”

“还记得吗？我们以前讲过，商朝时只有四个节气，两分两至，把一年等分为四份。而最先被测定的是冬至和夏至，因为它们的影长分别是最长和最短的，那么有了冬至和夏至就把一年二等分了。”

“嗯，是这样的。”

“这样就迈出了24等分的第一步。接下来把冬至和夏至之间的时间继续二等分，就找到了秋分和春分。”

“嗯。”

“接下来，把这四个节气之间的时间都作三等分，就找到了所有12个中气的对应的时刻。最后一步，把相邻中气之间的时间二等分，就找到了其余12个节气的时刻。所以首先要把黄钟到清黄钟的八度作二等分。”

“那他是如何二等分的呢？”

“如果黄钟音的律管是2，清黄钟音律管是1，这两个音之间的等距的音律叫蕤宾。”

“这么说，等分黄钟和清黄钟的蕤宾的律管应该是1.5？” 学生问道。

“不，你忘记了吗？音乐讲求的比值而不是差值。” 老师说道。

“是哦，我差点忘记这一点了。那1和2中间的数应该是多少呢？让我想想，是根号2吧？”

“正解！只有根号2才是1和2之间的等比中间值。”

“既然黄钟和清黄钟之间是八度，那么位于中间的蕤宾距离黄钟就是四度或者半八度了？”学生突然想到了这个。

“你说得很对。不过朱载堉不是这么算的，他是用非常直观的图示来求解的。”

“哦？怎么作图呢？”

“朱载堉采用了《周髀算经》里的圆方图和方圆图。圆方图就是圆内接一个正方形，而方圆图刚好相反，是圆外切一个正方形。”

圆方图与方圆图

“这两个图形有什么玄妙之处？”

“圆方图的圆的直径d刚好等于边长为a正方形的斜边。根据勾股定理，正方形的边长与斜边的比值为根号2，所以圆的直径等于正方形边长的根号2倍。”

“根号2?! 啊，朱载堉是这样找到四度关系的！” 学生惊讶地叫道。

“是啊，根号2刚好是八度的一半。”

“是的。那方圆图呢？”

“也有根号2的关系，你看，方圆图的正方形的斜边是圆直径的根号2倍，也是八度的一半。”

“嗯，接下来呢？”

“接下来就好办了，我们在圆形上外切一个正方形，这个新的大正方形的斜边又是圆形直径的根号2倍；再继续在大正方形上接一个大圆形，这个大圆的直径又是大正方形的根号2倍。”

圆方嵌套图：黄钟1：蕤宾根号2：清黄钟2，中间相差两个四度，即八度

“嗯，果然如此，有点奇妙，这刚好是黄钟蕤宾的间距，也就是半个八度。”

“对，这样下去，一个正方形接着一个圆形，一个圆形又接着一个正方形，后一个圆形总是前一个方形的根号2倍，后一个方形也是前一个圆形的根号2倍，仿佛是把十二律等分为相等的两份，也就是把八度刚好分成两个半八度。”

“哇，太巧了！这样就实现了二等分。”

“对，这相当于找到了冬至和夏至，也就是把一年分为两半。”老师说道。

“那如何实现四等分呢？也就是找到南吕和无射这两律对应的数值。”

“应用同样的原则，就会发现从蕤宾到南吕的比值等于从南吕到黄钟的比值。这样南吕就应该是蕤宾和黄钟的等比分界点。”

“嗯，同意。”

“从蕤宾和黄钟是根号2，所以其一半就是把根号2继续开平方，也就是2的4次方。”

“现在已经完成四等分了。”学生说道。

“对，这相当于在夏至和冬至之间找到春分和秋分。”

“离十二等分只差一步之遥了。”

“最后，把任意两个四等分之间音律平分三份就可以了。所以继续把四等分之间的比值开三次方，也就是把2的4次方继续开立方，就得到了2的12次方。这就是任意相邻两律之间的音程，相当于任意两个中气之间的间隔，比如从应钟到黄钟。”

“嗯，原理搞清楚了，那怎么计算呢？”

“朱载堉需要先计算2的平方，然后开方，最后再开立方。”

“不过，2的开方计算不是那么简单吧？”学生问道。

“是啊，我们现在知道，根号2是无理数，有无穷个小数位，可朱载堉那时还没有计算器呢！更何况要计算2的12次方！”

“是啊，上天似乎出了一道难题，来考验朱载堉的智慧。”

“虽然朱载堉没有计算机，但是他有算盘。”

“算盘？算盘不是做加减乘除的吗？还能用来开平方？开立方？”

“据文献记载，朱载堉之前确实没有人用算盘做过开方。他应该是世界上第一个用算盘开平方、开立方的人。”

“哇。我记得用算盘计算需要口诀的，莫非他自编了一套开方口诀？”

“正是。例如朱载堉开立方口诀：“一已上开一，八已上开二，二十七已上开三...”

“我的天哪！”

“那个时代，算盘是世界上最先进的演算工具。朱载堉在计算比值时发现，开根号得到的数值必须非常精确。我先考考你，第一个数值根号2，你还记得等于多少吗？”

“哦，1.414吧。”

“这是三位小数，精度远远不够。”

“那朱载堉要用算盘计算到多少位小数？”

“你大胆猜一猜！”

“10位？”

“为什么？”

“因为我的手机里的计算器是10位。”

“大胆一些，继续猜！”

“天哪，比我的手机还强大！15位？”

“再大胆些！”

“20位应该到极限了吧？！” 学生咽了咽口水说道。

“No! 是24位！”

“我的那个神呀！心肝都要跳出来了。难怪清代的著名学者江永“一见而屈服”，不服不行啊！”学生感叹道。

“是啊，光用汉字写下这串数字都要好几分钟，别说算了。精确到小数点后24位，这称得上算学上的奇迹了。”

“24位小数，那他用的算盘得有多大？”

“总共九九八十一档！连起来有几米长。”

“前无古人，恐怕后来人也寥寥无几。”

“为了穷经音律的秘密，朱载堉可谓煞费苦心。用算盘计算的时候，朱载堉还发现了一个快速计算的诀窍。”

“计算什么？”

“九进制小数和十进制小数的转换。”

“进制转换？这不是计算机里常用的操作吗？”

“对，不过计算机是在二进制和十进制之间转换，朱载堉却是在九进制和十进制之间转换，但是基本的原理却是一样的。西方的进制转换是德国的莱布尼兹于1701年发明的，但朱载堉的进制转换比莱布尼兹提早了百余年。”

“那朱载堉是为什么要做进制转换的？”

“因为三分损益法以九寸作为黄钟，而朱载堉自己提出的十二等程律以一尺也就是十寸作为黄钟，所以二者之间需要频繁转换。”

“哦，朱载堉如何转换呢？”

“朱载堉所做的转换，不是整数的转换，而是小数的转换，非常复杂。例如，九进制的0.8376转换为十进制就是0.936442。”

“我的头有点大，朱载堉想到了什么好办法？”学生问道。

“朱载堉用算盘计算，例如从九进制转换为十进制，他从低位算起，用九除一遍，移位再用九除一遍，以此类推。因为每次总有一些数位不参与计算，计算变得简单；而且在算盘上移位非常简单，每一步计算的结果都保留在算盘上，所以敲打几次算盘之后，计算结果就跃然而出。”

九除第一遍：8.376/0.9=8.37666 (8.37不参与计算)
九除第二遍：8.3666/0.9=8.38518 (8.3不参与计算)
九除第三遍：8.38518/0.9=8.42798 (8不参与计算)
九除第四遍：8.42798/0.9=9.36442

“真是奇思妙想。”

“有了这巨型算盘和朱载堉自创的开方口诀和进制转换妙法，朱载堉实际上拥有了当时世界上最先进的计算工具。这套工具一旦开动起来，世界为之震颤。”

“我的心也在震颤。”

“最后，朱载堉终于计算除了2的12次方等于1.059463094359295264561825。”

“佩服得不行了。”

朱载堉得到的2的12次方的数值：1.059463094359295264561825

“因为相邻音律之间都是这个比值，所以从1出发，逐个乘以2的12次方，就得到了每个音律的数值。”

律名 比率
正黄钟 1.000000000000000000000000
倍应锺 1.059463094359295264561825
倍无射 1.122462048309372981433533
倍南吕 1.189207115002721066717500
倍夷则 1.259921049894873164767211
倍林锺 1.334839854170034364830832
倍蕤宾 1.414213562373095048801689
倍仲吕 1.498307076876681498799281
倍姑洗 1.587401051968199474751706
倍夹锺 1.681792830507429086062251
倍太蔟 1.781797436280678609480452
倍大吕 1.887748625363386993283826
倍黄钟 2.000000000000000000000000

“哇，大功告成！”

“嗯，看着这组奇妙的数字，朱载堉不禁自嘲。”

“自嘲什么？”

“他说自己不过是在搞那种无用的“屠龙”之术，有其巧而无其用。”

全同相马，有其巧而无其用。殆似屠龙，一以自喜，一以自笑。安知来世读吾书者，不喜吾之所喜，而笑吾之所笑哉。

“那可不一定，有时候无用之用，堪称大用。”

“嗯。不过他接着说：谁能料到后世之人再读到我的书，不会欢喜我所欢喜的？不会像我一样发出会心之笑？！”老师说道。

“嗯，何其自信！”

“有了这个神奇的数字，朱载堉的十二等程律还差最后一步就可以完工了。”

“哦，是吗？我以为已经完工了，还差哪一步呢？”学生问道。

“生律方法！”

“这是什么意思？”

“就是如何从任一律出发产生出所有其它音律。我们对比一下十二等程律和三分损益法的生律方法，就会发现朱载堉的十二等程律的优点了。”

“好的。那三分损益法是如何生律的？”

五度相生.png

“三分损益法的生律法叫隔八相生 。”

“是什么意思？”

“举一个例子你就明白了。从do音升高五度，频率增大3/2倍，就得到了so音。从do到so，在钢琴上是八个等距的半音，所以叫隔八相生。”

“为什么是八个呢？”

“你看，从do出发，算上黑键，也算上起始的do和结束的so，总共是do, do#, re, re#, mi, fa, fa#和so八个音。”

“原来如此。那继续升高五度呢？还是隔八相生吗？”

“我们可以继续验证一下。从so出发升高五度，得到了高音re，超过了八度范围，所以降低八度回到re，这时频率又增大了3/2倍后降低了2倍，变成了9/8倍。”

“怎么找到八个半音呢？”

“我们仍按照刚才的方法，从so出发，有so, so#, la, la#, si，之后就回到do, 因为降低了八度，接下来是do#和re，总共还是八个半音。”

“有点意思，有点像我以前玩的打怪游戏，当怪物从屏幕右边消失的时候，它又会从屏幕左边回来。移动到琴键最右边的si之后，又从键盘的最左边的do回来了。”学生说道。

“你比喻得很恰当，确实如此。三分损益法只能单向从左向右生律。”

“哦，是啊。那十二等程律呢？也是单向的吗？”

“不，它突破了隔八相生的单一方法，可以正向也可以反向，总共四种方法生律。”老师说道。

新法不拘隔八相生，而相生有四法，或左旋或右旋，皆循环无端也，以证三分损益往而不返之误。

“哇，是哪四种呢？”

“朱载堉的著作里花了四段文字描述这这四种方法，不过我们不需要那么麻烦，只需做一个跳棋的小游戏就可以找到这四种方法。”

“哦，是吗？六角跳棋吗？”

“不，是我发明的一个小游戏。拿一个石英钟，平放。拿一颗跳棋放在12点位置。”

“如果没有石英钟呢？在纸上画一个可以吗？”

“当然可以。这个游戏的规则是，如果以12点的位置作为黄钟音，其余11个小时作为其余的十一个音律。那么从12点出发，每次跳的步数一样，怎样跳可以把所有的小时数字都跳一遍，不多不少。”

“哦，这不是很简单吗？我立刻就想到两种。第一种就是顺时针，从12点到1点，然后2点，最后回到11和12点。第二种是逆时针，从12点到11点、10点，然后回到1点和12点。”学生说道。

顺时针-隔二相生产生十二律

“嗯，正解。你的步长是1，分别用正向和反向旋转，或者说步长分别是1和11的正向旋转。可是还有两种方法，就不是一眼能看出来了。”老师说道。

“哦，我再试试。如果步长是2，那么从12出发，就是2、4、6、8、10、12，只能跳到偶数，而没法到达奇数。如果步数是3，只能到达3、6、9、12这四个数字。如果步长是4，只能到达4、8、12这三个数字。都没法产生十二个音律。”学生说道。

步长为2，只能生成六律，无法产生十二律

“对，再试试其它的步长。”

“如果步长是5，可以到达5、10、3（15）、8（20）、1、6、11、4（16）、9（21）、2、7、12点，回到了12点。刚好每一个数字都跳过了，不重复也不少。这算一种生律方法吧？” 学生问道。

“对，算上跳棋的起始数字和结束数字，例如从5到10总共6个数字，所以叫隔六相生。跳12次回到出发点，完美返宫。”

步长为5，隔六相生，可以生成十二律

“有意思。如果一次跳6步、8步、9步和10步，都没法把每一个点跳到。如果一次跳11步，拿就和逆时针一次跳一步一样。”

“现在，只剩下跳7步了。” 老师说道。

“好，最后再试一次：从12出发，分别是7、2（14）、9、4（16）、11、6（18）、1（13）、8、3（15）、10、5（17）、12。回到12，不多不少刚好12次，没有重复也没有遗漏。这是第四种生律方法吧？” 学生问道。

步长为7，隔八相生，可以生成十二律

“对，因为每次的步数是7，加上首尾两步，所以是八步，也就是隔八相生，这其实就是三分损益法。”

“哦，看来三分损益法的生律只是十二等程律的一种情况而已。”

“对，三分损益法只能隔八相生。”

“如果做一个逆时针的隔八相生会怎样呢？”

“那就刚好是隔六相生了。”老师补充道。

“哦，是啊，隔八相生和隔六相生刚好是顺时针和逆时针关系。”

“这后两种方法正是朱载堉的父亲朱厚烷教导他的：仲吕顺生黄钟，返本还元；黄钟逆生仲吕，循环无端。无论正旋还是反旋，都能生律，十二等程律都能顺利返宫。” 老师说道。

“哇，真有先见之明！这对父子真是奇人！”

“嗯，有其父必有其子。”

“对了，我有一个问题，这样得到十二等程律与三分损益法相比有什么不同？”

“其实，如果在有限的几个八度内，二者差别不大。用耳朵很难区分出来，这其实是好事。”

“为什么呢？”

“比如用三分损益法得到的五度，音律比值是1.5，而用十二等程律得到的音律比值是2的7/12次方，等于1.4983，二者差别如此之小，以至于一般人很难察觉出来。”

平均律

“哦，所以等程律得到的第七个音律和三分损益法得到的五度没有什么区别？”学生问道。

“对，听起来非常和谐。”

“那如果在很宽广的音域内呢？”

“那十二等程律的优势就体现出来了，例如在一些现代电子音乐中，它可以随意转调。”

“哦，既和谐又随意转调，十二等程律集悦耳和转调优点于一身。” 学生赞叹道。

“总结一下，朱载堉的十二等程律解决了历代律法的三大误区和缺陷：黄钟之长定为九寸；三分损益不能返宫；只能隔八相生。”

“我在想，这么优雅而精准的音律，朱载堉之前的人为什么没有想到呢？”

“今天时间不多了，我们下次再聊吧！”

“好的！老师再见！”

“再见！”

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参考文献

• 刘半农《十二等程律发明者朱载堉》 1933

• 李约瑟 主编，《中国科学技术史》第四卷第一分册，科学出版社，上海古籍出版社

• 程贞一 《黄钟大吕---中国古代和十六世纪声学成就》，上海科技教育出版社 2007年8月

• 戴念祖 《朱载堉---明代的科学和艺术巨星》人民出版社 2011

• 卓仁祥《东西方文化视野中的朱载堉及其学术成就》，中央音乐学院出版社 2009年5月第一版，隆玉麟译

*****《时间之问》已由清华大学出版社2019.3出版 *****

《时间之问》出版了