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《时间之问18》“宫商角徵羽”还是“Do Re Mi Fa So La Si”? 精选

已有 5049 次阅读 2017-11-18 08:37 |系统分类:科普集锦

《时间之问》是一部作者和学生对话交流的“记录”,选取“时间”作为跨学科讨论的媒介,联接起数学、天文、历史、集成电路、中国古代文化等不同学科,这些话题像一颗颗散落的珍珠,被“时间”这根主线串联起来。这里既可以遇到祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price等大科学家,也会发现庄子、博尔赫兹、史铁生、柏拉图等文哲大家。


《时间之问18》“宫商角徵羽”还是“Do Re Mi Fa So La Si”?

引子:中国人常说“五音不全”,指的是“宫商角徵羽”五个音,可是现代西方音乐却是“Do Re Mi Fa So La Si”,七个音。到底是五个音还是七个音?


一周后,学生和老师在餐厅碰面了。他们在门口点完餐,往里面的座位走去。

“咦,这首背景音乐好熟悉!” 老师回头和学生说道。

“嗯,是啊,旋律很优美。” 学生放慢脚步听了一下。

“我好像很久以前听过,不过记不起名字了,你记得它的名字吗?” 老师走到了桌子旁边,坐下了。

“让我想想,”学生坐下来又听了一会说道,“好像是《春江花月夜》吧?”

“嗯,我想起来了,确实是这首!你是怎么想起来的?”

春江花月夜 pixabay

“我很喜欢这首曲子:春夜,潮水涨起,月亮在水中冉冉升起,美妙的月色下花朵散发出幽香,荡一叶扁舟于水上,感觉很有意境!”学生说道。

“嗯,在这绝美的月夜里,却有一对恋人不得相见。”

“是啊,美景中平添了一份浓浓的离愁。”

“我想起另外一种更加悲凉的离愁。”老师说道。

“比恋人不能相见更加悲凉的离愁?恐怕只有生死之别了?”

“对,正是。”

“谁和谁的生死之别呢?”

“燕国的太子丹和他的爱卿荆轲之间的生死离别。”

“哦,你说的是荆轲刺秦王的故事吧?”学生问道。

“你猜对了。荆轲你一定听说过,但是他一开始并不是燕国人。”

“哦,是吗?”

“荆轲据说是齐国后裔,他特别喜欢游历天下、读书击剑、结交四方豪杰。后迁他居燕国,改姓荆,遇到了一个屠夫高渐离,两人成为好朋友。”

“荆轲这个豪士怎么会结交一个低贱的屠夫?”

“荆轲素喜酒,一天他在街上酒至半酣,忽然听到一阵音乐,原来是高渐离在击筑,荆轲颇有感慨,和着乐曲唱了起来,越唱越激动,七尺男儿竟不禁泪湿衣衫,后来两人引为知己。”

“哇,这个屠夫不一般!拿得起杀猪刀,也弹得了高雅音乐。对了,筑是什么乐器?”

“筑是中国最早的击弦乐器,在战国时非常流行,到了汉朝刘邦亲自作《大风歌》时,还亲自击筑伴奏。可惜宋朝以后逐渐失传了。”

“燕国太子丹是怎么找到荆轲的?”

“当时,秦嬴政相继灭掉了战国七雄的魏国和赵国,下一步虎视眈眈,准备一举灭掉燕国。”

“赵国这么强大的国家都被秦国灭了,燕国一定极度担心吧?”

“对,燕国不仅弱小、还失去了赵国的缓冲,太子丹非常着急,但是要想联合其它国家一起抵抗秦国时间来不及,只能另谋它策。”

“有什么办法呢?”

“太子丹的忠臣田光向他推荐了荆轲,之后为了保守秘密田光咬舌自尽。太子丹无比悲痛,找到荆轲后,二人都痛恨强秦,但是弱不胜强,商议之后认为只有一条绝路:行刺秦王!秦国群龙无首必自乱,燕国方可自保。”

荆轲刺秦王 from Wikipidia

“但秦国宫殿戒备森严,行刺谈何容易?”

“是啊,所以他们要想接近秦王,只能以举国投降的方式向秦国示好,换来秦王亲自受降。在受降仪式上要献上燕国的全国地图,表示臣服。”

“这能打动秦王呢?”

“荆轲这认为还不够打动秦王。荆轲向太子丹提出要秦国叛逃到燕国的将领樊於期的人头,献给秦王,秦王必喜。但是太子丹不忍心,于是荆轲亲自找到樊於期对说报秦王仇的时机到了,只缺一样东西:你的人头。樊於期二话不说,引颈自刎。”

“哇,为了抗秦,身家性命都豁出去了!”

“虽然人头和地图都有了,太子丹却认为还要更周全一些。他寻找到了最锋利的徐夫人匕首,萃上剧毒,沾血即死。为了防备万一,还给荆轲配备了一个勇士秦舞阳。”

“这下万事俱备,只欠东风了。”

“太子及宾客知其事者,皆白衣冠以送之。至易水上,既祖,取道。高渐离击筑,荆轲和而歌,为变徵之声,士皆垂泪涕泣。又前而为歌曰:“风萧萧兮易水寒,壮士一去兮不复还!”复为慷慨声,士皆瞋目,发尽上指冠。于是荆轲遂就车而去,终已不顾。” ---《战国策·荆轲刺秦王》

“出发的日子到了,太子和宾客穿白衣戴白帽,在易水河边列队为荆轲送行。祭祀完毕就要上路了,荆轲的好友高渐离也来送行,他击着筑,荆轲和着曲子高歌一曲,歌声里有悲凉的变徵之声。想着此行有去无回,一行人站在瑟瑟的寒风中听了这哀伤的曲子,不禁相互垂泪而泣。”

“是啊,秦国虎狼之地,凶多吉少,真是生离死别!”

“荆轲上前唱道:“风萧萧兮易水寒,壮士一去兮不复还!”

“这两句已经传唱千古。”

“荆轲越唱越激昂,声音又变成了高昂慷慨的羽声,众人听了士气昂扬,怒发冲冠。于是荆轲驾车绝尘而去,头也不回。”

雄发指危冠,猛气冲长缨。
饮饯易水上,四座列群英。
渐离击悲筑,宋意唱高声。
萧萧哀风逝,淡淡寒波生。
商音更流涕,羽奏壮士惊。
心知去不归,且有后世名。
登车何时顾,飞盖入秦庭。
--- 晋陶渊明《咏荆轲》节选

“这里面提到了羽声变徵之声,都是中国古代的音名吧?”

“对。”

“我突然想起一个成语,中国人形容一个人唱歌弹琴跑调说“五音不全”。对了,是哪五个音呢?”

宫、商、角、徵、羽!” 老师说道。

“哦,是啊,我有印象。”

“其实早在战国时期的《管子·地员篇》里,把这五个音和家畜的鸣叫声做了比拟。”

凡听徵,如负猪豕觉而骇。
凡听羽,如鸣马在野。
凡听宫,如牛鸣窌中。
凡听商,如离群羊。
凡听角,如雉登木以鸣,音疾以清。

“啊,怎么这么奇怪,现在通行的音符是do-1,re-2,mi-3,fa-4,so-5,la-6,si-7七个音,可是古代中国却说五音,这是怎么回事?”

“嗯,还记得上次我们提到的音符的回归吗?” 老师问道。

“嗯,记得。我们上次先从过年回家开始聊起,聊到了苏武的十九年归乡路,接着聊到了数字的回归,所有的数字都可以回归到质数,最后我们聊到了音乐和音符的回归。”(《时间之问17》音乐的回归与数字

“是的,上次我们提出要创建一套规则来产生新的音符,接下来我们看看用这套规则,到底可以产生五个音符还是七个音符?”

“好啊,我迫不及待地想知道宫、商、角、徵、羽是怎么来的!”

“我先卖个关子吧,”老师说道,“借用《道德经》上的一句话:道生一,一生二,二生三,三生万物。”

“此话怎讲?”

“从中音1到高音1,频率变高2倍,音调提高了八度。同理,把任何一个中音提高八度,变为对应的高音,都是频率提高2倍。我们把这个称作“一生二”,你同意吧?”

“同意。”

“反之,把中音1的频率乘以3再除以2,相当于琴弦长度变为原来的2/3,音阶提高了五度。我们把这个叫做二生三。”

“同意,不过”,学生说道:“一生二,二生三,可以理解,可是从三却直接产生了万物,而不是三生四、四生五,这样是不是太快了点?”

“别急,这只是一个比喻,帮助我们理解音符的产生。”

“哦,那怎么从“三”一下子产生许许多多的音符呢?”

“和牛顿同时发明微积分的大数学家莱布尼兹曾说过,“音乐是心灵的算术运动”,要想知道音乐的产生就要考察一下数学和音乐的关系。音符虽然繁多,但是规则却只有一条:就是反复利用三倍频率(五度关系)同时辅以二倍频(八度关系),就可以创造出许多新的音符来。”

“这也有点简单得不可思议了!请举个例子好吗?”

“好,不过我先解释一下上次没有说的五度的意思。”

“好啊?为什么从do-1到so-5是五度呢?”

“在音乐里,如果从一个音出发到相邻的第二个全音叫做二度,从中音1到中音2就是二度;以此类推,从中音1到中音5就是五度。”

“啊哈,原来这么简单。”

“我们从do-1出发,提高五度,相当于频率乘以3/2。”

“明白了,现在我们有了do-1和so-5。”

音名do-1so-5
频率倍数13/2=1.5

“哪我们继续?”

“好!”

五音

“我们继续从so-5(就是3/2倍频)出发向上,提高3/2倍,就变成了9/4,因为超出了八度(二倍频)范围,所以和它最相似的音就是减去八度,也就是频率减半,变成9/8。这就是re-2。”

“那总结一下这三个音的频率倍数如下。” 学生拿来一张餐巾纸,在上面写道。

音名do-1re-2so-5
频率倍数19/8=1.1113/2=1.5

学生盯着这个表看了一会,“等一下!”

“怎么了?”

“啊,我明白啦!” 学生大声大声叫道,引得邻桌的人侧目。

“你明白什么了?”

“我终于明白毕达哥拉斯为什么从数学中研究音乐。原来它们都是比例!有理数是两个整数的比值,而音符是两个频率的比值,这比值也是两个整数之比,例如八度就是2:1,而五度是3:2!同样,从质数出发,乘以一定的比例就可以构造出所有的数,而从一个固定的音出发,乘以一定的比例就可以构造出所有的音符!”

“你说得很对!”

“可是,为什么音符是和频率的比值有关呢?难道这和人的听觉有很大关系吗?”

“对,生物学里有一个著名的韦伯-费希纳定理(Weber-Fechner law),说的就是这个意思,人的听觉、视觉等等对比值关系更敏感。韦伯-费希纳定理是普遍存在的一个原理,以后你要是学了生物学以及电子学,都会发现类似的规律。”

“哦,是吗?不妨说来听听。”

“举一个视觉的例子吧。在一个黑暗的房间里有一支蜡烛,如果再点一支蜡烛,立刻觉得比原来亮了很多,这是因为两根蜡烛的亮度翻倍了。但是,如果一个房间里有10支蜡烛,再多加一支蜡烛,感觉会明亮很多吗?”

“不会觉得比之前更亮多少。”

“那如果还想达到亮度增大很多的效果,你猜需要添加多少支蜡烛?”

“按照这种逻辑,还应该再添加10支蜡烛。”

“对,要让蜡烛数量翻倍才可以。”

“啊,我明白了,所人耳听到的音差主要体现在频率比,而不是频率差。要让耳朵识别出一系列的不同音符的差别,就要让它们符合一致的比例关系。”

“也就是让不同的音符频率尽量满足一个等比数列 ?”

“对,如果要让音符均匀分布,就需要让声音的频率呈现固定的比例关系。”


韦伯-费希纳定理在视觉上的例子:上面一行圆形等差变大,看起来变大的趋势越来越缓慢;而下面一行圆形等比变大(40%),所以看起来是均匀增加。from Wikimedia


“明白了,看来只要反复利用3/2的关系,就可以把剩下的音符全部确定下来。”

“你说的很对,看来你已经发现创造音符的秘诀了。”

“那我们继续找第四个音!继续增加五度?”

“对,从9/8出发,继续升高3/2倍,变成27/16=1.6875。这个音叫做la-6. ”

音名do1re2so5la6
频率倍数19/8=1.1113/2=1.527/16=1.687

“嗯,看来,这个方法确实简单,现在我们已经有四个音符了。”

“对,再用一次五度,就凑齐古代中国的五音了。”

“真不错,我们继续。”

“la-6音继续向上,频率27/16乘以3/2,得到81/32。”

“这个数字介于2和3之间,也就是超过了8度。” 学生说道。

“对,我们找和它最接近的音,也就是频率减半,变成81/64=1.265625。这就是mi-3。”

“哇!我们终于找全了五个音!”

五音Do-1Re-2Mi-3so-5la-6
频率倍数19/8=1.11181/64=1.26593/2 =1.527/16=1.6875
中国五律

“嗯,这五个音就是五代中国的五律:宫、商、角、徵、羽!”

“太棒了,宫、商、角、徵、羽,我要牢牢记住它们。”

“这种每隔五度产生新音符的方法叫五度相生法。”

“我很好奇,中国古代是用这种方法来产生五个音符吗?”

“其实,中国古代产生音符的方法不是五度相生法,却比五度相生法更容易计算!”

“哦,是吗?是什么方法?”

“叫三分损益法!最早记载在战国时期的《管子·地员篇》里。”

“三分损益?怎么损益呢?”

“损是减少,益是增加。”

“三分是什么意思呢?像魏蜀吴三分天下那样吗?”

“嗯,所以我刚才说三生万物。”

“啊,原来你在这里等着我呢!那具体怎么三分呢?”

“把一根琴弦等分成三段,减去其中一段,长度变为原来的2/3,中国古代称之为 ,于是就音调增加了五度。”

“哦,听起来有道理,那呢?就是把琴弦增加吗?”

“对,增加1/3,变成原来的4/3倍。”

“这样音调就降低到原来的3/4?”

“对。只要反复利用3/2和3/4,就可以创造出五个音符。”

“让我试试看?”

“好啊!”

“从do-1出发,先损1/3,频率比变为3/2,得到了so-5。然后再益1/3,频率比乘以3/4,也就是3/2x3/4=9/8,就是re-2。之后再来一次损,就是9/8x3/2=27/16,得到了la-6,最后再来一次益1/3,就是27/16x3/4=81/64,得到了mi-3。哇,和上面的结果一样。”

凡将起五音凡首,先主一而三之,四开以合九九,以是生黄钟小素之首,以成宫。三分而益之以一,为百有八,为徵。不无有三分而去其乘,适足,以是生商。有三分,而复于其所,以是成羽。有三分,去其乘,适足,以是成角。--《管子·地员篇》解释如何从黄清宫音开始通过三分损益法得到其它四个音。

“对,但是三分损益法更简便。”

“为什么呢?”

“因为频率比始终没有超出2,所以不需要像五度相生法那样如果超出范围要降八度。”

“哦,果然如此。中国古代就这五个音吗?”

“五音只是俗称,其实早在战国时期,中国的曾侯乙编钟就有了十二个音,它是一套双音编钟,人们可以在五个半八度的宽广音域内进行演奏和创作,而欧洲直到18世纪初才在钢琴上达到同一水平。”老师说道。

“真是没想到,编钟不只是大,而且音域如此宽广。那既然中国古代远不止五个音,为什么还俗称五音呢?”

“那是因为五音中两两之间都是全音,而多加的两个音和相邻的音出现的半音。全音听起来更加和谐。以五音谱的曲子有一种独特的韵味,历史上称为中国音阶 。”

“那加上变徵和变宫就变成了七音,这和西方的do-re-mi-fa-so-la-si是一样的吗?”

“嗯,可以这么说,因为西方有一种音律是用五度相生法产生的。”

“让我看看,宫商角徵羽分别对应于1-2-3-5-6,只剩下4和7没有确定,应该就是变徵和变宫了,怎么找到这两个音呢?”

“你猜猜!”

“继续用五度法确定?”

“对,要求是一样的,新产生的音符频率必须介于1倍和2倍之间。”老师说道。

“好,那我们从刚才最后一个音mi-3出发。”

“从mi-3向上,找五度音,也就是频率81/64乘以3/2,得到243/128=1.8984,命名为si-7。”

“嗯,胜利在望,就剩最后一个音了!继续增加五度吗?”

“不,正好相反,而是从高音1减小五度,也就是频率降低3/2倍,或者从中音1来一个益1/3。”

“哦,好,我看看,高音1的频率倍数如果是2,那么除以3/2就等于4/3=1.333,是这样的吗?”

“嗯,如果用三分损益法,就是对中音1益三分,得到4/3,结果和五度相生发一样,得到了最后一个音,命名为fa-4.”

“哇,这七个音终于找全了!”

七音

“我们把最后得到的这两个音插入到之前的五音里,变徵就是把徵降低半音,也就是so-5降低半音变成了fa-4,而变宫则是在清宫的基础上降低半音。”

七音do-1re-2mi-3fa-4so-5la-6si-7
频率倍数19/881/644/33/227/16243/128
频率倍数11.1111.26561.3331.51.68751.8984

“太棒了,我觉得最赞地方是,这种方法保证了很多音符之间是很纯的五度关系,而五度音听起来是很和谐的。”

“对,你说的没错,不过...” 老师犹豫地说道。

“不过... 什么?”

“有些音的频率比值看起来还是挺复杂的。”

“你说的是哪些音?”

“比如mi-3频率是81/16。”

“哦,是啊,分子和分母都很大。”

“而si-7的频率就更绝了,是令人绝望的一个比值:243/128!”

“嗯,这样的音和其他音符一起弹奏,听起来和谐性要差一些吧?”

“对。”

“哪怎么提高和谐性同时又不偏离原来的音调呢?”学生问道。

“这是个好问题!人们想到了用分数来近似的方法。”

“近似?怎么近似法?”

“比如mi的频率1.2656,可以近似于1.2,1.3或者1.25.”

“嗯,1.2是6/5,1.3是10/13,而1.25则是5/4.”

“我们需要找一个比值,分子和分母比较小,而且接近1.2656。”

“那就非1.25=5/4莫属了!”

“对,实际上人们也是这样近似的。”

“可是分子里面的5意味着什么呢?”

“频率要先变大5倍,也就是5倍频,然后降低八度(二倍频)之后再降低八度(二倍频)就可以了。”

“嗯,虽然是近似值,不过这倒也简便,更容易产生和声。那si-7呢?”

“si7就简单了,因为它和mi3之间刚好相隔五度,所以只需把mi-3的频率比(5/4)升高3/2倍就可以,这样就得到了15/8。”

“嗯,这样分子和分母的数值简单多了!”

“这种音律听起来很纯,所以又叫纯律。”

纯律do1re2mi3fa4so5la6si7
频率倍数19/85/44/33/227/1615/8
频率倍数11.1111.251.3331.51.68751.875
纯律

“很好听的名字,因为mi和si的频率比值更简单,所以这种纯律应该听起来更和谐了。”

“嗯,是的。”

“可是无论是五度相生律、三分损益法、还是纯律,都有个无法解决的棘手难题。”

“哦,什么问题?”

“无论做完五次五度还是七次五度,最终的音都没法实现完美的转调。”

“为什么要实现完美的转调?”

“比如唱一首歌,如果一开始用中音唱一遍,到高潮时会用高音唱一遍,那么从中音转到更高的音调时,要让中间所有的音听起来不跑调。传统的五音和七音在转调时总有一些误差,听起来不太和谐。”

“哦,这背后的原因是什么呢?”

“是因为音符没办法完美回归!”

回归,又是回归!!”

“对,要完美的回归才行。”

“此话怎讲?”

“因为第一个音是宫,所以经过数次五度相生之后,如果音调能够回到宫音的整数倍,那就是完美返宫。如果能够完美返宫,那就又可以开始一轮新的循环,从而可以实现完美的转调。比如哥伦布环球航行,如果他没有回到起点,他就没法证明地球是圆的。如果一套音律没法完美返宫,也就没法重新开始新的音调。”

“但是五度相生并不能实现这个目的,为什么呢?”

“比如从中音do-1开始,每次乘以3/2,五次之后我们得到了(3/2)5=7.594,这个数值近似等于8,也就是23,但还差一点点。因为超出了1-2的范围,所以我们把它除以4,相当于做了两次降八度,于是得到了1.898,可惜这个数离2差了一点点。所以没法完美的回归。”

“嗯,虽然很多音之间是五度,但是转了一圈回来发现不能回到最初的起点,这对音乐演奏有什么影响吗?”

“当然有了,你会发现转调时有点麻烦,因为没法完美回归,所以下次再出发时就产生了音差,如果经过多次转调,那音就跑得很远了。”

“那西方的七音解决了这个问题吗?”

“没有解决,西方固守五度相生法,一直受到转调问题困扰。”

“那这个问题有人已经解决了?”

“经过数千年的中外无数音乐家、数学家的不懈探索,这个问题终于在500年前解决了。”

“是谁呢?”

“是明朝的一个王子。”

“不会吧,这么厉害,敢问他的尊姓大名?”

“哦,说来话长,今天时间不多了,我们下次再聊吧!”

“好的,老师再见!”

“再见!”


感谢:写作过程中受到武际可、张伟伟、张华容三位老师博文的启发,特此感谢。

科学网—律学和十二平均律 - 武际可的博文

科学网—音律之旅 - 张华容的博文
科学网—借助力学概念学一点音乐知识:调式 - 张伟伟的博文

后记:收笔之后,觉惴惴不安,因文中内容跨越多个学科,虽尽力修订,但必有纰漏,如蒙指正,幸甚幸甚!



关于作者:笔名偶遇科学,微电子学博士,喜欢探求事物背后的原因和不同学科的联系,寻求科学与人文的融合。求学和教学的经历让他收获了严谨的思辨精神,更让他明白了科学背后温情和人文不可或缺。每周他和学生在餐厅的固定约会,话题无所不包,一起发现科学、并享受思考的乐趣。


参考文献:

  • 管仲,《管子·地员篇》

  • 周明儒,《数学与音乐》,高等教育出版社 ,2015

  • 程贞一著,王翼勋译,《黄钟大吕-中国古代和十六世纪声学成就》,上海科技教育出版社,2007

  • 武际可,《音乐中的科学》,高等教育出版社,2012




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