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《时间之问18》“宫商角徵羽”还是“Do Re Mi Fa So La Si”？
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《时间之问》是一部作者和学生对话交流的“记录”，选取“时间”作为跨学科讨论的媒介，联接起数学、天文、历史、集成电路、中国古代文化等不同学科，这些话题像一颗颗散落的珍珠，被“时间”这根主线串联起来。这里既可以遇到祖冲之、郭守敬、庞加莱、Price等大科学家，也会发现庄子、博尔赫兹、史铁生、柏拉图等文哲大家。
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《时间之问18》“宫商角徵羽”还是“Do Re Mi Fa So La Si”？
引子：中国人常说“五音不全”，指的是“宫商角徵羽”五个音，可是现代西方音乐却是“Do Re Mi Fa So La Si”，七个音。到底是五个音还是七个音？
一周后，学生和老师在餐厅碰面了。他们在门口点完餐，往里面的座位走去。
“咦，这首背景音乐好熟悉！” 老师回头和学生说道。
“嗯，是啊，旋律很优美。” 学生放慢脚步听了一下。
“我好像很久以前听过，不过记不起名字了，你记得它的名字吗？” 老师走到了桌子旁边，坐下了。
“让我想想，”学生坐下来又听了一会说道，“好像是《春江花月夜》吧？”
“嗯，我想起来了，确实是这首！你是怎么想起来的？”
春江花月夜 pixabay
“我很喜欢这首曲子：春夜，潮水涨起，月亮在水中冉冉升起，美妙的月色下花朵散发出幽香，荡一叶扁舟于水上，感觉很有意境！”学生说道。
“嗯，在这绝美的月夜里，却有一对恋人不得相见。”
“是啊，美景中平添了一份浓浓的离愁。”
“我想起另外一种更加悲凉的离愁。”老师说道。
“比恋人不能相见更加悲凉的离愁？恐怕只有生死之别了？”
“对，正是。”
“谁和谁的生死之别呢？”
“燕国的太子丹和他的爱卿荆轲之间的生死离别。”
“哦，你说的是荆轲刺秦王的故事吧？”学生问道。
“你猜对了。荆轲你一定听说过，但是他一开始并不是燕国人。”
“哦，是吗？”
“荆轲据说是齐国后裔，他特别喜欢游历天下、读书击剑、结交四方豪杰。后迁他居燕国，改姓荆，遇到了一个屠夫高渐离，两人成为好朋友。”
“荆轲这个豪士怎么会结交一个低贱的屠夫？”
“荆轲素喜酒，一天他在街上酒至半酣，忽然听到一阵音乐，原来是高渐离在击筑，荆轲颇有感慨，和着乐曲唱了起来，越唱越激动，七尺男儿竟不禁泪湿衣衫，后来两人引为知己。”
“哇，这个屠夫不一般！拿得起杀猪刀，也弹得了高雅音乐。对了，筑是什么乐器？”
“筑是中国最早的击弦乐器，在战国时非常流行，到了汉朝刘邦亲自作《大风歌》时，还亲自击筑伴奏。可惜宋朝以后逐渐失传了。”
“燕国太子丹是怎么找到荆轲的？”
“当时，秦嬴政相继灭掉了战国七雄的魏国和赵国，下一步虎视眈眈，准备一举灭掉燕国。”
“赵国这么强大的国家都被秦国灭了，燕国一定极度担心吧？”
“对，燕国不仅弱小、还失去了赵国的缓冲，太子丹非常着急，但是要想联合其它国家一起抵抗秦国时间来不及，只能另谋它策。”
“有什么办法呢？”
“太子丹的忠臣田光向他推荐了荆轲，之后为了保守秘密田光咬舌自尽。太子丹无比悲痛，找到荆轲后，二人都痛恨强秦，但是弱不胜强，商议之后认为只有一条绝路：行刺秦王！秦国群龙无首必自乱，燕国方可自保。”
荆轲刺秦王 from Wikipidia
“但秦国宫殿戒备森严，行刺谈何容易？”
“是啊，所以他们要想接近秦王，只能以举国投降的方式向秦国示好，换来秦王亲自受降。在受降仪式上要献上燕国的全国地图，表示臣服。”
“这能打动秦王呢？”
“荆轲这认为还不够打动秦王。荆轲向太子丹提出要秦国叛逃到燕国的将领樊於期的人头，献给秦王，秦王必喜。但是太子丹不忍心，于是荆轲亲自找到樊於期对说报秦王仇的时机到了，只缺一样东西：你的人头。樊於期二话不说，引颈自刎。”
“哇，为了抗秦，身家性命都豁出去了！”
“虽然人头和地图都有了，太子丹却认为还要更周全一些。他寻找到了最锋利的徐夫人匕首，萃上剧毒，沾血即死。为了防备万一，还给荆轲配备了一个勇士秦舞阳。”
“这下万事俱备，只欠东风了。”
“太子及宾客知其事者，皆白衣冠以送之。至易水上，既祖，取道。高渐离击筑，荆轲和而歌，为变徵之声，士皆垂泪涕泣。又前而为歌曰：“风萧萧兮易水寒，壮士一去兮不复还！”复为慷慨羽声，士皆瞋目，发尽上指冠。于是荆轲遂就车而去，终已不顾。” ---《战国策·荆轲刺秦王》
“出发的日子到了，太子和宾客穿白衣戴白帽，在易水河边列队为荆轲送行。祭祀完毕就要上路了，荆轲的好友高渐离也来送行，他击着筑，荆轲和着曲子高歌一曲，歌声里有悲凉的变徵之声。想着此行有去无回，一行人站在瑟瑟的寒风中听了这哀伤的曲子，不禁相互垂泪而泣。”
“是啊，秦国虎狼之地，凶多吉少，真是生离死别！”
“荆轲上前唱道：“风萧萧兮易水寒，壮士一去兮不复还！”
“这两句已经传唱千古。”
“荆轲越唱越激昂，声音又变成了高昂慷慨的羽声，众人听了士气昂扬，怒发冲冠。于是荆轲驾车绝尘而去，头也不回。”
雄发指危冠，猛气冲长缨。
饮饯易水上，四座列群英。
渐离击悲筑，宋意唱高声。
萧萧哀风逝，淡淡寒波生。
商音更流涕，羽奏壮士惊。
心知去不归，且有后世名。
登车何时顾，飞盖入秦庭。
--- 晋陶渊明《咏荆轲》节选
“这里面提到了羽声和变徵之声，都是中国古代的音名吧？”
“对。”
“我突然想起一个成语，中国人形容一个人唱歌弹琴跑调说“五音不全”。对了，是哪五个音呢？”
“宫、商、角、徵、羽！” 老师说道。
“哦，是啊，我有印象。”
“其实早在战国时期的《管子·地员篇》里，把这五个音和家畜的鸣叫声做了比拟。”
凡听徵，如负猪豕觉而骇。
凡听羽，如鸣马在野。
凡听宫，如牛鸣窌中。
凡听商，如离群羊。
凡听角，如雉登木以鸣，音疾以清。
“啊，怎么这么奇怪，现在通行的音符是do-1，re-2，mi-3，fa-4，so-5，la-6，si-7七个音，可是古代中国却说五音，这是怎么回事？”
“嗯，还记得上次我们提到的音符的回归吗？” 老师问道。
“嗯，记得。我们上次先从过年回家开始聊起，聊到了苏武的十九年归乡路，接着聊到了数字的回归，所有的数字都可以回归到质数，最后我们聊到了音乐和音符的回归。”（《时间之问17》音乐的回归与数字）
“是的，上次我们提出要创建一套规则来产生新的音符，接下来我们看看用这套规则，到底可以产生五个音符还是七个音符？”
“好啊，我迫不及待地想知道宫、商、角、徵、羽是怎么来的！”
“我先卖个关子吧，”老师说道，“借用《道德经》上的一句话：道生一，一生二，二生三，三生万物。”
“此话怎讲？”
“从中音1到高音1，频率变高2倍，音调提高了八度。同理，把任何一个中音提高八度，变为对应的高音，都是频率提高2倍。我们把这个称作“一生二”，你同意吧？”
“同意。”
“反之，把中音1的频率乘以3再除以2，相当于琴弦长度变为原来的2/3，音阶提高了五度。我们把这个叫做二生三。”
“同意，不过”，学生说道：“一生二，二生三，可以理解，可是从三却直接产生了万物，而不是三生四、四生五，这样是不是太快了点？”
“别急，这只是一个比喻，帮助我们理解音符的产生。”
“哦，那怎么从“三”一下子产生许许多多的音符呢？”
“和牛顿同时发明微积分的大数学家莱布尼兹曾说过，“音乐是心灵的算术运动”，要想知道音乐的产生就要考察一下数学和音乐的关系。音符虽然繁多，但是规则却只有一条：就是反复利用三倍频率（五度关系）同时辅以二倍频（八度关系），就可以创造出许多新的音符来。”
“这也有点简单得不可思议了！请举个例子好吗？”
“好，不过我先解释一下上次没有说的五度的意思。”
“好啊？为什么从do-1到so-5是五度呢？”
“在音乐里，如果从一个音出发到相邻的第二个全音叫做二度，从中音1到中音2就是二度；以此类推，从中音1到中音5就是五度。”
“啊哈，原来这么简单。”
“我们从do-1出发，提高五度，相当于频率乘以3/2。”
“明白了，现在我们有了do-1和so-5。”
| 音名 | do-1 | so-5 |
|---|---|---|
| 频率倍数 | 1 | 3/2=1.5 |
“哪我们继续？”
“好！”
五音
“我们继续从so-5（就是3/2倍频）出发向上，提高3/2倍，就变成了9/4，因为超出了八度（二倍频）范围，所以和它最相似的音就是减去八度，也就是频率减半，变成9/8。这就是re-2。”
“那总结一下这三个音的频率倍数如下。” 学生拿来一张餐巾纸，在上面写道。
| 音名 | do-1 | re-2 | so-5 |
|---|---|---|---|
| 频率倍数 | 1 | 9/8=1.111 | 3/2=1.5 |
学生盯着这个表看了一会，“等一下！”
“怎么了？”
“啊，我明白啦！” 学生大声大声叫道，引得邻桌的人侧目。
“你明白什么了？”
“我终于明白毕达哥拉斯为什么从数学中研究音乐。原来它们都是比例！有理数是两个整数的比值，而音符是两个频率的比值，这比值也是两个整数之比，例如八度就是2：1，而五度是3：2！同样，从质数出发，乘以一定的比例就可以构造出所有的数，而从一个固定的音出发，乘以一定的比例就可以构造出所有的音符！”
“你说得很对！”
“可是，为什么音符是和频率的比值有关呢？难道这和人的听觉有很大关系吗？”
“对，生物学里有一个著名的韦伯-费希纳定理（Weber-Fechner law），说的就是这个意思，人的听觉、视觉等等对比值关系更敏感。韦伯-费希纳定理是普遍存在的一个原理，以后你要是学了生物学以及电子学，都会发现类似的规律。”
“哦，是吗？不妨说来听听。”
“举一个视觉的例子吧。在一个黑暗的房间里有一支蜡烛，如果再点一支蜡烛，立刻觉得比原来亮了很多，这是因为两根蜡烛的亮度翻倍了。但是，如果一个房间里有10支蜡烛，再多加一支蜡烛，感觉会明亮很多吗？”
“不会觉得比之前更亮多少。”
“那如果还想达到亮度增大很多的效果，你猜需要添加多少支蜡烛？”
“按照这种逻辑，还应该再添加10支蜡烛。”
“对，要让蜡烛数量翻倍才可以。”
“啊，我明白了，所人耳听到的音差主要体现在频率比，而不是频率差。要让耳朵识别出一系列的不同音符的差别，就要让它们符合一致的比例关系。”
“也就是让不同的音符频率尽量满足一个等比数列 ？”
“对，如果要让音符均匀分布，就需要让声音的频率呈现固定的比例关系。”
韦伯-费希纳定理在视觉上的例子：上面一行圆形等差变大，看起来变大的趋势越来越缓慢；而下面一行圆形等比变大（40%），所以看起来是均匀增加。from Wikimedia
“明白了，看来只要反复利用3/2的关系，就可以把剩下的音符全部确定下来。”
“你说的很对，看来你已经发现创造音符的秘诀了。”
“那我们继续找第四个音！继续增加五度？”
“对，从9/8出发，继续升高3/2倍，变成27/16=1.6875。这个音叫做la-6. ”
| 音名 | do1 | re2 | so5 | la6 |
|---|---|---|---|---|
| 频率倍数 | 1 | 9/8=1.111 | 3/2=1.5 | 27/16=1.687 |
“嗯，看来，这个方法确实简单，现在我们已经有四个音符了。”
“对，再用一次五度，就凑齐古代中国的五音了。”
“真不错，我们继续。”
“la-6音继续向上，频率27/16乘以3/2，得到81/32。”
“这个数字介于2和3之间，也就是超过了8度。” 学生说道。
“对，我们找和它最接近的音，也就是频率减半，变成81/64=1.265625。这就是mi-3。”
“哇！我们终于找全了五个音！”
| 五音 | Do-1 | Re-2 | Mi-3 | so-5 | la-6 |
|---|---|---|---|---|---|
| 频率倍数 | 1 | 9/8=1.111 | 81/64=1.2659 | 3/2 =1.5 | 27/16=1.6875 |
| 中国五律 | 宫 | 商 | 角 | 徵 | 羽 |
“嗯，这五个音就是五代中国的五律：宫、商、角、徵、羽！”
“太棒了，宫、商、角、徵、羽，我要牢牢记住它们。”
“这种每隔五度产生新音符的方法叫五度相生法。”
“我很好奇，中国古代是用这种方法来产生五个音符吗？”
“其实，中国古代产生音符的方法不是五度相生法，却比五度相生法更容易计算！”
“哦，是吗？是什么方法？”
“叫三分损益法！最早记载在战国时期的《管子·地员篇》里。”
“三分损益？怎么损益呢？”
“损是减少，益是增加。”
“三分是什么意思呢？像魏蜀吴三分天下那样吗？”
“嗯，所以我刚才说三生万物。”
“啊，原来你在这里等着我呢！那具体怎么三分呢？”
“把一根琴弦等分成三段，减去其中一段，长度变为原来的2/3，中国古代称之为损 ，于是就音调增加了五度。”
“哦，听起来有道理，那益呢？就是把琴弦增加吗？”
“对，增加1/3，变成原来的4/3倍。”
“这样音调就降低到原来的3/4？”
“对。只要反复利用3/2和3/4，就可以创造出五个音符。”
“让我试试看？”
“好啊！”
“从do-1出发，先损1/3，频率比变为3/2，得到了so-5。然后再益1/3，频率比乘以3/4，也就是3/2x3/4=9/8，就是re-2。之后再来一次损，就是9/8x3/2=27/16，得到了la-6，最后再来一次益1/3，就是27/16x3/4=81/64，得到了mi-3。哇，和上面的结果一样。”
凡将起五音凡首，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分而益之以一，为百有八，为徵。不无有三分而去其乘，适足，以是生商。有三分，而复于其所，以是成羽。有三分，去其乘，适足，以是成角。--《管子·地员篇》解释如何从黄清宫音开始通过三分损益法得到其它四个音。
“对，但是三分损益法更简便。”
“为什么呢？”
“因为频率比始终没有超出2，所以不需要像五度相生法那样如果超出范围要降八度。”
“哦，果然如此。中国古代就这五个音吗？”
“五音只是俗称，其实早在战国时期，中国的曾侯乙编钟就有了十二个音，它是一套双音编钟，人们可以在五个半八度的宽广音域内进行演奏和创作，而欧洲直到18世纪初才在钢琴上达到同一水平。”老师说道。
“真是没想到，编钟不只是大，而且音域如此宽广。那既然中国古代远不止五个音，为什么还俗称五音呢？”
“那是因为五音中两两之间都是全音，而多加的两个音和相邻的音出现的半音。全音听起来更加和谐。以五音谱的曲子有一种独特的韵味，历史上称为中国音阶 。”
“那加上变徵和变宫就变成了七音，这和西方的do-re-mi-fa-so-la-si是一样的吗？”
“嗯，可以这么说，因为西方有一种音律是用五度相生法产生的。”
“让我看看，宫商角徵羽分别对应于1-2-3-5-6，只剩下4和7没有确定，应该就是变徵和变宫了，怎么找到这两个音呢？”
“你猜猜！”
“继续用五度法确定？”
“对，要求是一样的，新产生的音符频率必须介于1倍和2倍之间。”老师说道。
“好，那我们从刚才最后一个音mi-3出发。”
“从mi-3向上，找五度音，也就是频率81/64乘以3/2，得到243/128=1.8984，命名为si-7。”
“嗯，胜利在望，就剩最后一个音了！继续增加五度吗？”
“不，正好相反，而是从高音1减小五度，也就是频率降低3/2倍，或者从中音1来一个益1/3。”
“哦，好，我看看，高音1的频率倍数如果是2，那么除以3/2就等于4/3=1.333，是这样的吗？”
“嗯，如果用三分损益法，就是对中音1益三分，得到4/3，结果和五度相生发一样，得到了最后一个音，命名为fa-4.”
“哇，这七个音终于找全了！”
七音
“我们把最后得到的这两个音插入到之前的五音里，变徵就是把徵降低半音，也就是so-5降低半音变成了fa-4，而变宫则是在清宫的基础上降低半音。”
| 七音 | do-1 | re-2 | mi-3 | fa-4 | so-5 | la-6 | si-7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 频率倍数 | 1 | 9/8 | 81/64 | 4/3 | 3/2 | 27/16 | 243/128 |
| 频率倍数 | 1 | 1.111 | 1.2656 | 1.333 | 1.5 | 1.6875 | 1.8984 |
“太棒了，我觉得最赞地方是，这种方法保证了很多音符之间是很纯的五度关系，而五度音听起来是很和谐的。”
“对，你说的没错，不过...” 老师犹豫地说道。
“不过... 什么？”
“有些音的频率比值看起来还是挺复杂的。”
“你说的是哪些音？”
“比如mi-3频率是81/16。”
“哦，是啊，分子和分母都很大。”
“而si-7的频率就更绝了，是令人绝望的一个比值：243/128！”
“嗯，这样的音和其他音符一起弹奏，听起来和谐性要差一些吧？”
“对。”
“哪怎么提高和谐性同时又不偏离原来的音调呢？”学生问道。
“这是个好问题！人们想到了用分数来近似的方法。”
“近似？怎么近似法？”
“比如mi的频率1.2656，可以近似于1.2，1.3或者1.25.”
“嗯，1.2是6/5，1.3是10/13，而1.25则是5/4.”
“我们需要找一个比值，分子和分母比较小，而且接近1.2656。”
“那就非1.25=5/4莫属了！”
“对，实际上人们也是这样近似的。”
“可是分子里面的5意味着什么呢？”
“频率要先变大5倍，也就是5倍频，然后降低八度（二倍频）之后再降低八度（二倍频）就可以了。”
“嗯，虽然是近似值，不过这倒也简便，更容易产生和声。那si-7呢？”
“si7就简单了，因为它和mi3之间刚好相隔五度，所以只需把mi-3的频率比（5/4）升高3/2倍就可以，这样就得到了15/8。”
“嗯，这样分子和分母的数值简单多了！”
“这种音律听起来很纯，所以又叫纯律。”
| 纯律 | do1 | re2 | mi3 | fa4 | so5 | la6 | si7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 频率倍数 | 1 | 9/8 | 5/4 | 4/3 | 3/2 | 27/16 | 15/8 |
| 频率倍数 | 1 | 1.111 | 1.25 | 1.333 | 1.5 | 1.6875 | 1.875 |
纯律
“很好听的名字，因为mi和si的频率比值更简单，所以这种纯律应该听起来更和谐了。”
“嗯，是的。”
“可是无论是五度相生律、三分损益法、还是纯律，都有个无法解决的棘手难题。”
“哦，什么问题？”
“无论做完五次五度还是七次五度，最终的音都没法实现完美的转调。”
“为什么要实现完美的转调？”
“比如唱一首歌，如果一开始用中音唱一遍，到高潮时会用高音唱一遍，那么从中音转到更高的音调时，要让中间所有的音听起来不跑调。传统的五音和七音在转调时总有一些误差，听起来不太和谐。”
“哦，这背后的原因是什么呢？”
“是因为音符没办法完美回归！”
“回归，又是回归！！”
“对，要完美的回归才行。”
“此话怎讲？”
“因为第一个音是宫，所以经过数次五度相生之后，如果音调能够回到宫音的整数倍，那就是完美返宫。如果能够完美返宫，那就又可以开始一轮新的循环，从而可以实现完美的转调。比如哥伦布环球航行，如果他没有回到起点，他就没法证明地球是圆的。如果一套音律没法完美返宫，也就没法重新开始新的音调。”
“但是五度相生并不能实现这个目的，为什么呢？”
“比如从中音do-1开始，每次乘以3/2，五次之后我们得到了(3/2)5=7.594，这个数值近似等于8，也就是23，但还差一点点。因为超出了1-2的范围，所以我们把它除以4，相当于做了两次降八度，于是得到了1.898，可惜这个数离2差了一点点。所以没法完美的回归。”
“嗯，虽然很多音之间是五度，但是转了一圈回来发现不能回到最初的起点，这对音乐演奏有什么影响吗？”
“当然有了，你会发现转调时有点麻烦，因为没法完美回归，所以下次再出发时就产生了音差，如果经过多次转调，那音就跑得很远了。”
“那西方的七音解决了这个问题吗？”
“没有解决，西方固守五度相生法，一直受到转调问题困扰。”
“那这个问题有人已经解决了？”
“经过数千年的中外无数音乐家、数学家的不懈探索，这个问题终于在500年前解决了。”
“是谁呢？”
“是明朝的一个王子。”
“不会吧，这么厉害，敢问他的尊姓大名？”
“哦，说来话长，今天时间不多了，我们下次再聊吧！”
“好的，老师再见！”
“再见！”
感谢：写作过程中受到武际可、张伟伟、张华容三位老师博文的启发，特此感谢。
科学网—律学和十二平均律 - 武际可的博文
科学网—音律之旅 - 张华容的博文
科学网—借助力学概念学一点音乐知识:调式 - 张伟伟的博文
后记：收笔之后，觉惴惴不安，因文中内容跨越多个学科，虽尽力修订，但必有纰漏，如蒙指正，幸甚幸甚！
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关于作者：笔名偶遇科学，微电子学博士，喜欢探求事物背后的原因和不同学科的联系，寻求科学与人文的融合。求学和教学的经历让他收获了严谨的思辨精神，更让他明白了科学背后温情和人文不可或缺。每周他和学生在餐厅的固定约会，话题无所不包，一起发现科学、并享受思考的乐趣。
参考文献：
管仲，《管子·地员篇》
周明儒，《数学与音乐》，高等教育出版社 ,2015
程贞一著，王翼勋译，《黄钟大吕-中国古代和十六世纪声学成就》，上海科技教育出版社，2007
武际可，《音乐中的科学》，高等教育出版社，2012
*****《时间之问》已由清华大学出版社2019.3出版 *****
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