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月球一面示人之量纲分析

已有 3139 次阅读 2016-12-10 08:43 |个人分类:物理|系统分类:教学心得

神舟飞船在轨道上,想保持某个窗户总是对着地球,这样好让宇航员欣赏地球美景,需要有一个装置使飞船在绕地球转时,不断调整飞船姿态,使飞船自身也相应的旋转。那月球为什么总是一面对着地球呢?这是因为它绕地球转的角速度与自转的速度一样。这是潮汐力作用的结果。


我在之前关于潮汐力的科普中介绍过,由于天体的中心相当于做自由落体运动,而引力随距离变小的,潮汐力相当于在两头拉伸。如下图(夸张了),月球不是一个完美的球,而是有点鸡蛋状,那么潮汐力在两头拉,产生一个力矩试图是鸡蛋的长轴处于地月连线方向。可以想象,经过很长很长的时间后,月球就被锁定,一面对着地球了。现在我们要做的事情是,估算一下月球被一面锁定的需要的时间。但我们不准备用动力学方程,而是用量纲分析,看能不能凑单位,凑出个结果。

月球一面朝地的详细解释参见张天蓉月亮为何半遮面?》。量纲分析的介绍参见姬扬的《力学教学笔记之量纲分析
earth-moon.jpg

设月球自转角速度变化为 $\Omega$ , 月球半径为 R,月球密度为 $\rho$ , 月地距离为 D,地球质量为Me,万有引力常数 为 G。那么月球发生Omega 角速度变化的时间 t 与这些变量是什么关系呢?


用量纲分析,我们根本不管物理,假设


$t = \Omega ^\omega G^g {M_e}^m D^d R^r \rho^x$


上面各项的指数都是待定的未知数。量纲分析通俗的来说是凑单位。万有引力常数 G 的量纲是 $L^3 T^{-2} M^{-1}$ 。列出上面的量纲方程,我们有


$-\omega - 2\ g =1\\ 3 \ g + d + r - 3 \ x =0\\ -g + m + x =0$

先看 G,G 应该只出现一次。如果 G=0 ,也就是没有万有引力,也就没有潮汐力,潮汐锁定的时间应该是无穷大,所以,我们不妨假定锁定时间与  G 成反比:g=-1, 则 omega = 1,这也合理。
上面后两个个方程变成了

d + r - 3x = 3
m + x =  -1

还是有四个未知,才两个方程,怎么办? 先看看对月球半径 R 的依赖。月球质量正比于半径的三次方,转动惯量正比于半径两次方,一共是5次。潮汐力大小正比于月球质量,也正比于半径,力矩又正比于力臂,总共也是 R 的 5次。这么说,潮汐锁定时间与月球大小无关。r=0. 我们的方程缩减为

d-3x =3
m+x = -1

看来还得努力。让我们看看能否把 x 确定下来。根据我之前推导出来的潮汐高度公式,潮汐高度正比于被潮汐作用星体的半径的四次方,反比于星体的质量。对于月球来说,它被地球潮汐力作用的变形正比于月球半径的4次方,反比于其质量。因此其相对变形的比例 Delta R/R 正比于半径三次方,反比于质量。显而易见的是(遇到需要多解释的往往这样带过),月球转动速度的因潮汐产生的变化率正比于这个变形比例。反而言之,月球被潮汐锁定的时间反比于这个变形比例,或者说月球被锁定的时间正比于其质量除以半径的三次方,也就是正比于月球的密度。x =1.

于是乎, m = -2, d = 6.

最终,我们得出如下公式


$t = \Omega G^{-1}{M_e}^{-2} D^6 R^0 \rho$

写好看点,


$t \propto \frac{ \rho D^6 \Omega}{G\ {M}^2}$


也就是说,一个星体A被星体B潮汐锁定需要的时间正比于A 角速度的变化量,正比于星体A密度,正比于AB 距离的6次方,反比于 星体B质量的平方。当然了,这前面有个未知系数,取决于星体的“硬度”,星体越不容易变形,被锁定也越难。。。

现在大家可以从物理上思考一下,这个距离六次方,与质量的平方是怎么回事。


这个距离的6次方是个重大因素。木星是气体行星,我代入数据得出 10^12 年,也就是1万亿年。



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