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潮汐科普之殊途同归 精选

已有 5391 次阅读 2016-7-29 07:04 |个人分类:物理|系统分类:科普集锦

我在这篇《潮汐的科普与计算(更新)》中重新计算了潮汐高度随角度的变化。计算思路是,先计算潮汐力,也就是外天体引力在地心外一点的引力与在地心处引力的差,然后计算这个潮汐的势。由于水平面是等势的(否则水会从高势流向低势),整个水面的形状也就计算出来了。

科学网的徐教授邀请我查看他的一个系列《看潮汐奇观,读趣味物理 》博文,我拜读之后,觉得非常精彩。其中关于地球上潮汐的成因。他写道:【潮汐作用力沿地球径向的分量是全部被地球的地心引力相抵消...月球的潮汐作用力对海水的切向分量...它作用在海水的每一处,分别推动前后半球上的海水从上、下两个方向朝中间赤道方向涌挤,这两股海水流动各不相让,因而推高了海平面,这才是引起潮汐的真正原因。】( 粗体为我加上)。
也就是说,徐教授的科普中,潮汐力的径向分量不起作用,起作用的是切向分量,把水挤推高了。而我的计算中,则似乎恰恰相反,在我的潮汐势的计算中,切向分量没有贡献,径向才有贡献 --- 因为势的计算是从地心算到地面一点,力点乘位移。从物理上看,徐教授的观点很直观、很有道理。两者是不是矛盾呢?我们不妨先按照他的思路进行计算。

tide.jpg

我计算出的潮汐力为,这个应该都是一样的:


$\frac{\vec{f}(\vec{r})}{Gm} =\frac{r}{D^3} \left(2\cos\theta \hat{x} - \sin\theta\hat{y}\right)$


单位径向矢量为


$\hat{r} = \cos\theta \hspace{1mm} \hat{ x} + \sin\theta \hspace{1mm} \hat{y}$


单位切矢量为


$\hat{\theta} = - \sin\theta \hspace{1mm} \hat{ x} + \cos\theta \hspace{1mm} \hat{y}$


1. 先回顾我的计算

潮汐势:

$V(\vec{r}) =- \int_{0}^{r} \vec{f} \cdot d\vec{r} = - Gm\frac{2 \cos^2\theta - \sin^2\theta}{D^3}\int_0^r r \hspace{1mm}dr \\ = -Gm\frac{r^2}{4D^3} \left(3\cos 2\theta+1\right)$

显然上面的势的计算中,潮汐力的切向分量没有贡献。由此计算出潮汐高度:

$H_{tide}(\vec{R}) =\frac{m R^4}{4M_e D^3} (3\cos 2\theta+1)$

其中是造成潮汐的天体质量,为地球质量,为地球半径,为地球到天体的距离,是该地点与地心的连线与地心--天体连线的夹角。由此公式计算出月球产生的最大潮汐高度为40厘米,太阳引发的潮汐高度为16厘米。


其随位置(角度)变化图示如下

tideplot.jpg

由上可见,在角度为0处(也就是正对月球)潮汐高度为 1,但在90度处,潮汐高度不是零,而是 -1/2。两者相差 3/2.

2. 现在我们用徐教授的概念进行计算

由于潮汐力的切向分量(也就是海面的水平分量),在力的方向水要高出一点,这样高出的水的部分产生的压力才能抵消水平潮汐力。考虑一块面积为 A、厚度 为 $R d\theta$ 的水 (因为地球半径远大于水深、扇梯形可近似为长方形),令水涨 dh 压力抵消潮汐力,我们有(左边是水块受到 潮汐力,右边是初中物理的水压强公式乘以面积):


$\rho A R d\theta f_{\theta} = A \rho g dh$


两边的水的密度rho 与面积A消去了。因此,

$dh = R f_{\theta} d\theta /g$

因此,从90度到 theta 度,水总共涨高量为:


$\Delta H= \int dh = R/g \int_{\pi/2}^\theta f_{\theta} d\theta \\ =\frac{Gm R^2}{gD^3} \int_{\pi/2}^\theta (-2\cos\theta\sin\theta - \sin\theta\cos\theta) d\theta\\ = \frac{3mR^4}{4M D^3} (\cos 2\theta+1)$

显然,我的计算与用徐教授的概念进行计算,两者得出的水面高度差完全一致:比如0度处与90度处高度差,两个结果都是  3/2 。不同的是,用势的计算中得出了水的绝对高度变化,而不只是高度差。


3. 为什么两种方法会得到同样的结果

为什么两个计算会得到同样的结果呢? 稍微想想发现道理非常简单。在我的潮汐势计算中,是直接从地心到地表一点计算,一条直路。但我也可以走一条弯路:先从地心垂直往上到地球表面,然后沿着表面转到角度的一点,两条路计算出来的势应该是一样的。这就是所谓保守力,势只与位置有关与路径无关。但在后一条路中,第一部分垂直向上潮汐力做功是固定的,与角度无关,全部与角度有关的贡献来自后半部分切向力的贡献。换言之,以90度处为零点沿着地球表面计算切向潮汐力的势,与以地心为零点用径向潮汐力计算势,两条路是一样的,只是势能零点不同

殊途同归!
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