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月球一面示人之量纲分析
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神舟飞船在轨道上，想保持某个窗户总是对着地球，这样好让宇航员欣赏地球美景，需要有一个装置使飞船在绕地球转时，不断调整飞船姿态，使飞船自身也相应的旋转。那月球为什么总是一面对着地球呢？这是因为它绕地球转的角速度与自转的速度一样。这是潮汐力作用的结果。
我在之前关于潮汐力的科普中介绍过，由于天体的中心相当于做自由落体运动，而引力随距离变小的，潮汐力相当于在两头拉伸。如下图（夸张了），月球不是一个完美的球，而是有点鸡蛋状，那么潮汐力在两头拉，产生一个力矩试图是鸡蛋的长轴处于地月连线方向。可以想象，经过很长很长的时间后，月球就被锁定，一面对着地球了。现在我们要做的事情是，估算一下月球被一面锁定的需要的时间。但我们不准备用动力学方程，而是用量纲分析，看能不能凑单位，凑出个结果。
月球一面朝地的详细解释参见张天蓉《月亮为何半遮面？》。量纲分析的介绍参见姬扬的《力学教学笔记之量纲分析》
设月球自转角速度变化为 $\Omega$ , 月球半径为 R，月球密度为 $\rho$ , 月地距离为 D，地球质量为Me，万有引力常数 为 G。那么月球发生Omega 角速度变化的时间 t 与这些变量是什么关系呢？
用量纲分析，我们根本不管物理，假设
$t = \Omega ^\omega G^g {M_e}^m D^d R^r \rho^x$
上面各项的指数都是待定的未知数。量纲分析通俗的来说是凑单位。万有引力常数 G 的量纲是 $L^3 T^{-2} M^{-1}$ 。列出上面的量纲方程，我们有
$-\omega - 2\ g =1\\ 3 \ g + d + r - 3 \ x =0\\ -g + m + x =0$
先看 G，G 应该只出现一次。如果 G=0 ，也就是没有万有引力，也就没有潮汐力，潮汐锁定的时间应该是无穷大，所以，我们不妨假定锁定时间与 G 成反比：g=-1, 则 omega = 1，这也合理。
上面后两个个方程变成了
d + r - 3x = 3
m + x = -1
还是有四个未知，才两个方程，怎么办？ 先看看对月球半径 R 的依赖。月球质量正比于半径的三次方，转动惯量正比于半径两次方，一共是5次。潮汐力大小正比于月球质量，也正比于半径，力矩又正比于力臂，总共也是 R 的 5次。这么说，潮汐锁定时间与月球大小无关。r=0. 我们的方程缩减为
d-3x =3
m+x = -1
看来还得努力。让我们看看能否把 x 确定下来。根据我之前推导出来的潮汐高度公式，潮汐高度正比于被潮汐作用星体的半径的四次方，反比于星体的质量。对于月球来说，它被地球潮汐力作用的变形正比于月球半径的4次方，反比于其质量。因此其相对变形的比例 Delta R/R 正比于半径三次方，反比于质量。显而易见的是（遇到需要多解释的往往这样带过），月球转动速度的因潮汐产生的变化率正比于这个变形比例。反而言之，月球被潮汐锁定的时间反比于这个变形比例，或者说月球被锁定的时间正比于其质量除以半径的三次方，也就是正比于月球的密度。x =1.
于是乎， m = -2, d = 6.
最终，我们得出如下公式
$t = \Omega G^{-1}{M_e}^{-2} D^6 R^0 \rho$
写好看点，
$t \propto \frac{ \rho D^6 \Omega}{G\ {M}^2}$
也就是说，一个星体A被星体B潮汐锁定需要的时间正比于A 角速度的变化量，正比于星体A密度，正比于AB 距离的6次方，反比于 星体B质量的平方。当然了，这前面有个未知系数，取决于星体的“硬度”，星体越不容易变形，被锁定也越难。。。
现在大家可以从物理上思考一下，这个距离六次方，与质量的平方是怎么回事。
这个距离的6次方是个重大因素。木星是气体行星，我代入数据得出 10^12 年，也就是1万亿年。
https://blog.sciencenet.cn/blog-684007-1019820.html
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