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力学教学笔记之量纲分析 精选

已有 12121 次阅读 2016-12-6 21:28 |个人分类:大众物理学|系统分类:教学心得


一法度衡石丈尺,车同轨,书同文字。

物理量与数学量最大的不同在于,物理量不仅仅是数字,它还有单位。描述物理量的单位就是某个基准,而描述物理量的数字就是该物理量与这个基准的比值,比如说,3米、5千克和9秒。即使角度这样的“无量纲”量,也有单位,碰巧约掉了而已:单位长度的圆弧所对应的圆心角就是1弧度,其单位就是“米/米”,所以就约掉了。

对物理这么课程不太熟悉的人,往往忽视了“物理量都有单位”的重要性,套公式的时候就会出现“驴唇不对马嘴”的情况。检验公式两端的单位是否相符,是发现错误的重要步骤。单位的换算就更不用说了,很多惊人的结论都是因为用错了换算系数。现在的大学普通物理教学都采用国际单位制(SI),力学中就是用千克、米、秒作为基本物理单位,以前的克、厘米、秒已经用得不多了,更别说相关的导出单位了——比如说,你再也不用记住1牛顿等于$10^5$达因这样的力学换算关系了。($1N=1Kg \cdot m/s^2 =10^5 dyn$

“物理量都有单位”,不仅可以用来检验公式的对错,还可以用来分析物理问题,这就是所谓的量纲法(或者量纲分析)。找出物理问题所依赖的主要参量,把它们组合起来表示你感兴趣的物理量,往往有助于理解和分析问题。


这么说有些太抽象,还是举几个例子吧。

量纲法可以猜测三角形的面积。三角形ABC的边长为$a$$b$$c$,内角为$\alpha$$\beta$$\gamma$。因为面积的单位为$m^2$,而长度的单位为$m$,那么就可以猜测三角形的面积为$S=a\cdot b \cdot f(\gamma)$(边角边)或者$S=a^2  \cdot f(\alpha,\beta)$(角边角)。碰到了海伦公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (其中,$p=(a+b+c)/2$),你也会知道,至少从量纲上来看,这个公式没什么问题。

勾股定理太重要了,可是很多人都不会证明——某年高考就出了这样的一道证明题,据说难倒了95%以上的考生。如果说勾股定理有一百种证明方法,那么量纲法就是第一百零一种。从直角三角形ABC的直角顶点向斜边做垂线,这样就得到了三个直角三角形,它们的斜边边长分别是ABC的三个边长为$a$$b$$c$,两个小三角形的面积正好等于大三角形的面积,所以,根据上面的角边角公式,就可以得到,$a^2  \cdot f(\alpha,\beta)+b^2  \cdot f(\alpha,\beta)=c^2  \cdot f(\alpha,\beta)$ (其中,$\alpha+\beta=\pi/2$),约去公因数,就得到了勾股定理$a^2+b^2=c^2 $


这些都是数学问题,再说几个力学问题吧。浮力$F$是个力,单位为N,涉及到重力加速度$g$、液体的密度$\rho$和物体的体积$V$,这三个因素组成力的单位,只能是$(\rho \cdot V) \cdot g$,碰巧就是浮力的公式$F=\rho g V$。同样的方法可以得到流体压强的公式$P=\rho g h$。高空落物的速度$v$(单位为“米/秒”),涉及到的因素有重力加速度$g$(单位为“米/秒平方”)和高度$h$(单位为“米”),$gh$组合起来的单位正好是“米平方/秒平方”,所以,可以猜测$v=a\sqrt{gh}$。当然,确定系数$a$等于$\sqrt{2}$这件事,量纲法是无能为力了。

这些例子都太简单了,还是举个单摆的例子吧。单摆的周期$T$(单位为“秒”),依赖于重力加速度$g$(单位为“米/秒平方”)和单摆的长度$L$(单位为“米”),也许还依赖于摆锤的质量$m$(单位为“千克”)、最大摆动角度$\theta$(单位为“1”,也就是无量纲)和单摆的总机械能$E$(单位为“焦耳”)。$L/g$组合起来的单位是“秒平方”,所以,可以猜测$T=a\sqrt{L/g}$——中学物理告诉我们,$a=2\pi$正好对应着小角度摆动的单摆周期。对于角度$\theta$比较大的时候,我们可以猜测$a=2\pi(1+b\theta^2+c\theta^4+\cdots)$,没有奇数幂的原因在于单摆无所谓左右。另一种考虑方式是猜测$a$依赖于能量,那么$E/mgl$是我们需要的无量纲量,$a=2\pi(1+d(E/mgl)+e(E/mgl)^2+\cdots)==2\pi(1+d\cos\theta+e \cos^2\theta+\cdots)$。显然,这不过是前面那个式子的变种而已。


利用量纲法,还可以求解细杆的转动惯量、水波的性质、圆棒弯曲时的应力分布,乃至利用开普勒第三定律推断万有引力的性质。这些还都是小儿科,展示量纲法威力有个最著名的例子:泰勒(G. I. Taylor)推断了第一颗原子弹的爆炸威力。

原子弹爆炸时,瞬间释放了大量的能量$E$,从而加热了周围的气体,使之膨胀、形成了冲击波(也就是巨大火球的边界)。涉及到的参数有火球半径$r$、时间$t$(爆炸时刻为时间零点)、空气的密度$\rho$,还有气体的定压比热和定容比热(实际上只依赖于这两者的比值$\gamma$)。做些排列组合,可以发现$E=mv^2=(\rho V)(r/t)^2=\rho r^5/t^2$(这里不是等式,只是为了演示量纲的传递),也就是说,$E=f(\gamma)\rho r^5/t^2$。美国军方于1947年公布了原子弹爆炸后火球随时间扩散的一系列照片,泰勒就利用这个公式,立刻推算出了原子弹的爆炸当量——这是完全没有公布的核心军事机密!


上面这些例子不过是量纲分析的皮毛,只能让你感受一下它的能力。不仅是力学,物理学的各个学科分支都会用到量纲分析,在流体力学中尤为突出,马赫数、雷诺数、普朗特数,都是描述体系性质的重要参数,这里就不详细说明了。

关于量纲法的更加严格的分析和处理(比如说,其理论基础$\Pi$定理”的具体陈述和证明),请参阅赵凯华《定性和半定量物理学》的第二章“量纲分析和标度律”,或者谈庆明《量纲分析》,他们还给出了很多的应用例子。




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