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《几何小吃》的简约美 精选

已有 4679 次阅读 2018-12-15 08:46 |个人分类:谈数学|系统分类:教学心得| 数学, 几何

作者:蒋迅

本文发表在《数学通报》2018年9月号上。

英国哈德斯菲尔德大学的一位数学教师培训师爱德窗·索撒尔(Edward Southall)和一位法国中学数学教师文森特·潘塔罗尼(Vincent Pantaloni)最近合作出了一本书《几何小吃》(Geometry Snack)。作者把数学问题制作成一看就懂、并让读者立即产生跃跃一试的智力题。这些题目里没有复杂的概念,甚至都不需要多少描述。但是当你真正开始动手去做的时候,你又发现其实它并不那么简单。而当你真的得到了最后的结果时,你会有一种成就感。这样的数学问题具有的是简约之美。在我看来,简约之美是大多数人喜欢数学的原动力。

我没有读过这本书。但我在上一直是索撒尔的粉丝。除了培训以外,他还是一位具有14年教龄的中学数学老师并有自己的数学网站。从这本书的介绍来看,他书中的几类几何题都在上发布过。现用他公布的一些例子来体验一下他的教书理念。

例1.   如图。求阴影部分的面积。

这道题的描述不多,但看到图片后一目了然。现在你有一个正方形和一个几乎嵌入到里面的等边三角形。当然这个三角形不可能嵌入到正方形里面。於是问题出来了:有多少面积露在了外面。

这道题公布以后,的网友们各显神通。有人用给出了答案;还有人用Javascript写了一段程序,用计算概率的方法给出了一个近似值。更多的人则是老老实实地用手计算。

这道题用到的都是平面几何里的最基本性质。答案是:(7√3 - 12)/2 ,读者可以自行验证。

例2.   如图。给两个单位圆,求正三角形的面积。

作者仍然省去了精确的题目表述。这就像是在咖啡店里要一份甜甜圈一样,你不会说要一个圆环形的外径为多少厘米的甜甜圈。从图我们知道两个圆相切,并上下叠落在三角形的(垂直)中线上。上面的一个单位圆则与正三角形在两个点上相切。试想一下,真地把这些条件都叙述出来的话,题目就显得过於累赘。

解这道题的第一步是在两圆切点处做切线,於是得到上面与一个单位圆相切的正三角形。容易知道,这个正三角形的高是3,从而大的正三角形的高为5。最后的面积为52/√3。也有人求助于,用解析几何的方法来完成。

例3.   如图。阴影的面积是多少?

我们把这个题的完整描述和解答留给读者。注意这个题目(以及许多题目)都可以推广。比如,我们可以有下面的一些变形。

看完这些推广之后,请读者自己回想一下,刚才在读前两个例子的时候,你有没有想到推广一下呢?如果没有的话,那么现在再回过头去想一下,你会如何推广?

例4.   求角度(假定正则性)。

所谓正则性,是指我们有三个正五边形和一个正方形。索撒尔喜欢在正则图形上做文章。他有时候干脆说,你看著是正方形的话,它就是正方形;你看著是直角,那它就是直角。下图的解法虽然不严格,但挺奇妙的。

正五边形的每个顶点是108o 。所求之角是它的一半,即 54o。欧美国家的数学竞赛中,几何题目常常是这种计算角度、长度、面积等问题。如果你有捷径可走,未尝不可呢?当然竞赛过后,还是应该把完整的解答补上。

例5.   一个直角三角形和三个等边三角形。求两角之和。

粉丝们这次用了。他们发现,其实这个直角的条件是多余的。答案是180o。这道题并不在《几何小吃》这本书中,但书中的第16题可以帮助读者给出严格的证明。

例6.   证明两个阴影部分面积相等。

在《几何小吃》里也有几何证明题。上面这道题非常类似于中国课本中的证明题。证明可以用切割线定理(弦切线定理)来做的。也有粉丝用给出证明。我们把细节忽略。

例7.   证明两个阴影部分面积相等。

从图形看,我们有一个正七边形。中间水平的一条连线上被上面的四边形的一个顶点分成了相等的两段。其实这最后的条件是故意用来迷惑读者的。这道题的证明思路都在下面的图中。有粉丝在上制作了一个证明。就是这个截图。

例8.   三个正七边形如图连接。如果连接他们的顶点的话,这里面隐含有若干个直角。你能把它们找出来吗?

在我看到的索撒尔题目中,这道题的叙述是最繁琐的了。我想像著,《几何小吃》这本书的题目不过如此。这道题的答案在下面的图中。我很好奇,中学生能观察到多少直角?另外,这个题目里给出的是三个七边形。那么对其他正则多边形我们能得到多少多少直角?如果有四个七边形结果又会如何?你看,题中有题。如果这道题放到《几何小吃》里,一定不会是就事论事。

下面再给出几道题目。现在我把问题和条件全部略去。大家一定都知道该做什么了。这四道题代表了《几何小吃》中的四类题型。还有一个题型是日本的算额。我希望有机会时另文写出来。


我相信《几何小吃》是一本不错的书。正如上面的这些题一样,作者试图通过每一道题来揭示一个奇妙的现象。很多题目都有多种解法,有些连身经百战的老师们都不曾想到。於是当你解决了一个问题后又得到了惊喜和挑战。然而这样的题目又显得那么简单易懂,因而容易让哪怕最没有自信的学生都能说上几句,课堂就成了一个讨论的空间。在讨论中,学生们发现,这些题目其实是棘手的。於是他们需要相互讨论,一起来解决问题。

在我和王淑红教授合作出版了《数学都知道》丛书后,有一篇书评说道:“数学是唯美的。《数学都知道》所表达的是‘如何艺术地传播数学’。”但是只有美的东西才让人能艺术地传播。爱因斯坦说:“美,本质上终究是简单性。”我相信索撒尔正是持有这个理念的。几何题里也有很多表述复杂的题目。但其深层都是简洁之叠加。数学老师的职责就是将简约之美一层一层呈现给学生。今天这篇小文算是我们在《数学都知道》之后的一个补充吧。




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