第三章：古典希腊数学的产生。本篇记录亚里士多德学派。

亚里士多德学派

“亚里士多德（公元前384—前332）生于马其顿的一个城市史太其拉（Stageira）。他是柏拉图的学生和同事，相处二十年之久，并从公元前343年到前340年当亚历山大大帝的老师。公元前335年他成立了自己的学派学园学派。学园里有个花园、一个课堂和一所艺神（Muses）的祭坛。亚里士多德的著作涉及机械学（力学）、物理学、数学、逻辑、气象学、植物学、心理学、动物学、伦理学、文学、形而上学、经济学和其它许多领域。”按：小时候觉得亚里士多德很弱，错误百出，每门学科几乎都从批判他的错误开始。现在才知道提出一个问题、建立一个理论是多么不容易，多少人想在史书上留下一个即使是错误的理论都不可得。亚里士多德这个默认的靶子，是多么伟大啊！更厉害的是，亚里士多德并不总是错的。他提出的一些思想十分深刻，即使现在看来都比大多数人高明得多。

“他认为科学可分三类：理论性的、生产性的和实务性的。理论性科学是探求真理的，包括数学、物理学（光学和声学以及天文学）以及形而上学，其中数学是最精确的科学；生产性科学是各项工艺；而实务性科学，例如伦理学和政治学，则是为了摆正人的行为动作。”按：用现代的语言，理论性科学是基础科学，生产性科学是生产技术，实务性科学是伦理规范。

“在理论科学中，逻辑是其中各门科学的先行学科，而形而上学家则要讨论并解释数学家和自然哲学家（科学家）认为不言而喻的东西，例如研究对象的存在性或真实性问题以及公理的本性问题。”按：亚里士多德对逻辑学和形上学的定位非常准确，思维非常超前。中国古代哲学家根本不做这些分类，把哲学、自然规律、伦理道德和治国方法一股脑儿都塞到一个“道”里，造成无数混淆和误解。典型例子是王阳明格竹子格不出名堂来，就走到唯心主义的道路上，一领悟“致良知”就宣布自己成圣了。基督教的“太初有道，道成肉身”也是同样的错误。跟亚里士多德一比，都弱爆了。

跟柏拉图的理念论不同，亚里士多德“认为物理对象有其一些普遍性的本质，诸如硬、软、重、轻、球状性、冷和暖。数及几何形状也是实物的属性；它们是通过抽象思维为人所认识的，但它们是从属于实物的。所以数学是研究抽象概念的，而抽象概念则来自实物的属性。”按：亚里士多德的这个思想跟现代分析哲学完全一致，比柏拉图不知高到哪里去了。从实物出发定义属性，开启了自然科学之门。

亚里士多德“对定义的想法是合乎现代精神的；他说定义只不过是给一批文字定个名。”按：正如罗素所指出的，定义一个性质等于指出具有这个性质的事物的集合，动物就是所有动物的集合，2就是所有二元组的集合。

“他又指出定义必须用先存在于所定义事项的某种东西来表述。因此他批评‘点是没有部分的那种东西’这一定义，因为‘那种东西’这几个字没有说出所指的究竟是什么，除非所指的可能就是‘点’，因而这定义并不合适。他承认未经定义的名词是需要的，因为在一系列的定义里总得有个开头，但其后的数学家漠视这一需要，直到19世纪末。”按：完全正确！这就叫洞察力！在这一点上，亚里士多德是领先两千多年的先知！

亚里士多德指出（据普鲁塔克说柏拉图较早指出过）“一个定义只能告诉我们一件事物是什么，并不说明它一定存在。定义了的东西是否存在有待于证明，除非是少数几点第一性的东西诸如点和直线，它们的存在是同公理（第一性原理）一起事先为人们接受的。”莱布尼茨举出正十面体的例子：我们可以定义这样一个图形，但它并不存在。如果有人并未意识到这图形不存在就着手去证明有关这图形的定理，那他得出的结果将是胡说一气。按：深邃的洞察力！即使现在也深具启发性。

“亚里士多德和欧几里得所采取的用以证明存在性的方法是构造（construction）。欧几里得《原本》中头三个公理承认直线和圆的构造；所有其他数学概念则必须构造出来以证明其存在，例如角的三等分线虽可定义，但不能用直线和圆构造出来，所以在希腊几何学里不能加以考虑。”按：重视构造是中国古代数学的传统，在这一点上中国对数学的过去和未来有很大的贡献。然而把构造作为唯一的证明存在性的方法是过分的，再把尺规作图作为唯一的构造方法就更过分。在这个意义上，解析几何极大地解放了数学，因为角的三等分线等尺规作图无法解决的问题都可以用代数来精确定义，现在不会有人质疑它的存在性与合法性了。

亚里士多德“把公理和公设加以区别，认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则只是为某一门科学接受的第一性原理。他把逻辑原理（诸如矛盾律、排中律、等量加减等量后结果相等的公理以及其他这类原理）都列为公理。公设无需是不言自明的，但其是否属真应受所推出结果的检验。”按：这个思想惊人的先进，正是现代自然科学的基本结构。每一门科学，如经典力学、量子力学、相对论、统计力学都有自己的基本原理。这些基本原理的可靠性不是由它们自己，而是由它们推出的结论跟实验符合来证明的。所以这些基本原理完全可以远离直观，如量子力学的叠加原理、相对论的光速不变、统计力学的所有微观态出现几率相等。而在推理的过程中，无论哪一门学科都是完全遵守矛盾律、排中律等逻辑原理的。

“所列出的一批公理或公设，数目应该愈少愈好，只要它们能用以证明所有结果。”按：非常高明的见解。埋下了一代又一代数学家力图证明欧几里得第五公设、最终导致非欧几何的种子。

“虽然欧几里得也采用亚里士多德之说，把公理和公设区别开来（从下章可知），但直到19世纪末为止的所有数学家都漠视这一区别，把公理和公设都当作是同样不言自明的。”按：亚里士多德真神人也！有人认为现存所谓柏拉图、亚里士多德的著作都是文艺复兴时期伪造的。好，即使确实是伪造的，那伪造这些超前观念的人仍然是神人，因为他远远超越了文艺复兴时期的认识水平，其内涵直到19世纪末才被理解。如果真有这样的作伪，那这水平比伪造古文《尚书》什么的要高太多了！

亚里士多德说点不可分，不论聚集起多少点来，总是聚不成能分的东西，因此点不能形成线段。“一点可能是一线的末端、开端或其上的分界线，但它不能是线的一部分，也不成其为量。一点只有通过运动才能产生一线从而成为量的本原。他又论证说点没有长度，因此若一线由点组成，它将没有长度。……亚里士多德讲过许多次关于连续量的话，讲法都不一致。”按：离散与连续、静止与运动的关系对古人是个大难题，即使是亚里士多德这样的智者也抓不住要点，说了一大堆似是而非的话。由此可见，把微积分的基本概念理清的柯西、维尔斯特拉斯等人是多么伟大。

亚里士多德“提出要把潜在的无穷（大）和真实的无穷（大）加以区别（这在今日有重要意义）。……亚里士多德认为只存在潜在的无穷（大）。他承认正整数是潜在无穷的，因给任何数加上1后总能得一新数，但无穷集合这类集合是不存在的。其次，大多数的量甚至不能是潜在无穷的，因它们若不断增加，就会超出宇宙范围。但空间是潜在无穷的，因它能反复往下细分，而时间则在两个方向上都是潜在无穷的。”按：区分潜无穷和实无穷，的确是高见！

“亚里士多德的一个重大贡献是创立逻辑学。希腊人在研究出正确的数学推理规律时就已奠定了逻辑的基础，但要等到有亚里士多德这样的学者才能把这些规律典范化和系统化，使之形成一门独立学科。从亚里士多德的著作中，可以十分清楚地看出，他是从数学得出逻辑来的。他的基本逻辑原理——矛盾律，指出一个命题不能既是真的又是假的；排中律，指出一个命题必然是真的或者是假的——就是数学里间接证法的核心。亚里士多德用当时课本中的数学例子来说明他的推理原则。亚里士多德的逻辑一直到19世纪无人能挑出它的毛病。”按：后来谁挑出了亚里士多德逻辑的什么毛病？是罗素悖论？哥德尔不完全定理？

“逻辑这门科学虽来自数学，但其后却被人们认为是独立于并且先行于数学的，而且能应用于一切推理过程。若前所述，甚至亚里士多德自己也认为逻辑先行于科学和哲学。在数学里他强调演绎证明，认为这是确定事实的唯一基础。就柏拉图而论，他相信数学真理早先存在于或独立于物质的世界，故认为推理不足以保证定理正确；他认为逻辑的作用是第二位的。逻辑无非是把我们已知其为真的命题明白说出来罢了。”按：又一次，亚里士多德的观点完全正确，跟现代一致，而柏拉图的唯心主义完全被抛弃。

“亚里士多德学派中有一人特别值得一提，这就是罗德岛的欧德摩斯。此人生活于公元前4世纪后期……写过算术、几何及天文学方面的历史。他是有案可查的第一位科学史家。”按：中国最早的科学史家是谁？