第三章：古典希腊数学的产生。本篇记录欧多克索斯学派。

欧多克索斯学派

“欧多克索斯是古希腊时代最大的数学家，并且在整个古代仅次于阿基米德。埃拉托斯特尼说他是‘神明似的’人。他在公元前408年左右生于小亚细亚的尼多斯（Cnidos）……公元前368年左右他和他的门徒加入柏拉图学派。几年之后他回到尼多斯并于公元前355年左右死于该地。他是一位天文学家、医生、几何学家、立法家和地理学家。他最出名的工作是创立了天体运动的第一个天文学说（见第7章）。”

“他在数学上的第一个大贡献是关于比例的一个新理论。”这是为了处理无理数（不可公度比），古希腊人不把无理数当作数。“欧多克索斯引入了变量（或简称为量）这个概念（第4章第5节）。它不是数，而是代表诸如线段、角、面积、体积、时间这些能够（用我们的语言来说）连续变动的东西。量跟数不同，数是从一个跳到另一个，例如从4跳到5。对于量是不指定数值的。然后欧多克索斯定义两个量之比并定义比例（即两个量相等的关系），把可公度比和不可公度比都包括在内。但他仍不用数表达这种比。比和比例的概念是同几何学分不开的。”按：古希腊人没有想到数也是连续变化的。他们总是觉得离散的数和连续的量根本不同，所以为了描述连续现象绞尽脑汁，绕了很多弯子，效果还不够好，造成不少副作用。

“欧多克索斯的这个理论诚然给不可公度比提供了逻辑依据，从而使希腊数学家大大推进了几何学，但也产生了一些不幸的后果。这种后果之一是它硬把数同几何截然分开，因为只有几何能处理不可公度比。它也把数学家赶到几何学家的队伍里去，因为在此后两千年间几何学变成几乎是全部严密数学的基础。我们如今仍把x^2读作x平方，把x^3读作x立方，而不把它们读作x二次或x三次，因为对希腊人来说，x^2和x^3这些量只有几何意义。”按：中文中的平方和立方是固有词汇还是译名？

“欧多克索斯处理不可公度比或无理数问题的办法实际上把以前希腊数学的重点颠倒了过来。早期毕达哥拉斯派肯定是重视数，把它当作基本概念的……古希腊数学家虽把几何搞得能够处理无理数，却因此放弃了真正的代数和无理数。……用几何来表示无理数和无理数的运算当然是不合实用的，把sqrt(2)*sqrt(3)当作矩形面积来设想，这在逻辑上可能是足够令人满意的，但若为了想买地板漆布而需要知道乘积究竟等于多少，你就得不出结果。”按：古希腊人轻视实践的倾向终于造成了恶果，古希腊的衰亡可能也与此有关。

“古希腊人在科学工作中以及在商业和其他实务中需要用到数的时候怎么办呢？我们以后能知道，古希腊时代的科学仅仅是定性的。……有教养的人不关心实际问题，他们可以在几何学里考察所有的矩形而不去关心哪怕是一个矩形的实际大小。”按：中世纪经院哲学的苗头，在这里已经能够看到。

“希腊人确定曲边形面积和曲面体体积的得力方法——现今称为穷竭法，也属于欧多克索斯。……这确实是微积分的第一步……欧多克索斯用这方法证明两圆面积之比等于其半径平方之比，两球体积之比等于其半径立方之比，棱锥体积是同底同高棱柱体积的三分之一，以及圆锥体积是其相应的圆柱体积的三分之一。”按：即使到现在，椎体的体积是相应柱体体积的1/3这一点都远不是显而易见的事。欧多克索斯公元前4世纪就能得到，真是天才！即使像有些人说的那样古希腊历史都是伪造，那么无论谁第一个发现这一点，谁仍然是天才。

“从泰勒斯起的每个学派，都曾被某个权威说成是用演绎法整理过数学的。但欧多克索斯的工作建立了数学上以明确公理为依据的演绎整理，这一点是无可怀疑的。对不可公度比进行了解和运算的需要，无疑是促使他做这步工作的原因。由于欧多克索斯要着手给这些比提供逻辑依据，他很可能就此认识到有必要列出公理，并逐一推出结果，以保证在处理这些不熟悉而麻烦的量时不致出错。处理不可公度比的这一需要，无疑又增强了此前只凭演绎来作证明的决心。”按：这样看来，以前的演绎法还有很大的随意性，因为演绎的基础并不明确。只有到欧多克索斯才建立了公理体系的思维方式，这是人类历史上意义最深远的成就之一。