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理解黎曼猜想(四)得救之道,就在其中 精选

已有 4904 次阅读 2018-12-10 11:52 |个人分类:理解黎曼猜想|系统分类:科研笔记| 黎曼猜想



——导读——

假如非平凡零点的实部是在0到1之间随机取值,那么它刚好取到1/2的概率应该等于0。黎曼却认为这个概率是100%!这件事如果是真的,就说明它一点都不随机,在这背后肯定有深刻的原因。人们已经计算了十万亿个非平凡零点,然后你猜怎么着?它们都躺在临界线上!


在前三期节目(文章见理解黎曼猜想(一)背景 | 袁岚峰理解黎曼猜想(二)两个自然数互质的概率是多少? | 袁岚峰理解黎曼猜想(三)你真的相信全体自然数的和等于-1/12吗? | 袁岚峰,视频见https://www.bilibili.com/video/av34580488、https://www.bilibili.com/video/av35082418和https://www.bilibili.com/video/av35623705)中,我们介绍了黎曼猜想的背景,即质数分布问题,以及研究质数分布的基本工具,即欧拉乘积公式。我们还说到,黎曼通过解析延拓,把欧拉ζ函数升级成了黎曼ζ函数。顺便说一句,令许多人惊愕万分的所谓“全体自然数的和等于-1/12”,其实不是字面上的意思,而是说黎曼ζ函数在自变量为-1时的取值等于-1/12。那么,黎曼具体做了些什么呢?




黎曼


黎曼是一位德国数学家,生于1826年,可惜天不与寿,只享年40岁,去世于1866年。黎曼从小就显示出了超群的数学天才,得到过数学王子高斯(Johann CarlFriedrich Gauss,1777 - 1855)的赞赏,这是极其少见的。在黎曼去世五十多年后,爱因斯坦在发展广义相对论的过程中,又受到了黎曼极大的启发,可见黎曼的洞察力多么超越时空!


1859年,黎曼33岁时被选为柏林科学院(Berlin Academy)的通讯院士(corresponding member)。为了答谢这个荣誉,黎曼向柏林科学院提交了一篇论文,标题叫做《论小于给定数值的质数个数》(Ueber  die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse,英文翻译为On the  Number of Primes Less Than a Given  Magnitude)。此文的篇幅虽然只有短短的8页纸,内容却非常丰富,语言极其精炼,直到现在都在不断给数学家们提供启发和挑战,堪称整个数学史上最深邃和最难啃的论文之一。此文的要点包括:


一,我们应该把ζ(s)中的自变量s理解为复数(complex number),而不只是实数;


二,我们可以通过解析延拓(analytic continuation),让ζ(s)在s < 1的地方也获得定义;


三,通过对ζ(s)的研究,我们可以对小于等于某个数x的质数的个数给出一个明确的表达式,在这个表达式中唯一未知的就是ζ(s)的零点的位置;


四,黎曼猜测,ζ(s)的零点都位于某些地方,这个猜测就是黎曼猜想


现在我们来解释一下。欧拉ζ函数是这样一个对所有自然数求和的级数:






需要注意的是,这个级数只在s > 1时收敛,在s ≤ 1是发散的,因此没有意义。但是黎曼提出了一种通过ζ(s)来定义ζ(1 - s)的方法,硬是把这个函数扩展到了s ≤ 1的区域。


黎曼是怎么做的呢?在s > 1的情况下,黎曼经过一番巧妙的变换,证明了下面这个等式:



这里的Γ是欧拉Gamma函数,是阶乘的扩展。如果你看不懂细节,这并不重要。真正重要的,是看右边这个关于s的表达式:把s换成1 - s,答案不变


为什么呢?因为这时前面的分式中的分母s(s  - 1)变成了(1 - s) (-s),你看,确实不变。而后面的积分当中的两个指数,-(s + 1)变成了-(2 - s) = s -  2,而s - 2变成了-(s + 1),你看,刚好是互换了一下,所以还是不变。结论是:右边的表达式,在s换成1 - s时,保持不变!


因此黎曼指出,左边的表达式在把s换成1 - s时,也保持不变。也就是说:





这个等式叫做黎曼的函数方程。根据这个等式,如果你知道了ζ(s),你就可以算出ζ(1 - s)。就这样,黎曼对ζ函数做出了解析延拓,从它已知的在s > 1时的值,就可以定义它在s < 1时的值!


由于时间关系,在这里我们只能讲这个证明的大略。真正惊人的是,你如果照着他的证明一路推下去,你就会看到他的结论是正确的,但他是怎么想到这个做法的?这就完全是“一剑西来,天外飞仙”!即使在专业数学家看来,黎曼的思路也非常神奇,远远不是显而易见的。




一剑西来,天外飞仙


在这样神乎其神的洞察力和创造力面前,我们感到深深的震惊和敬佩。就像周星驰的电影《国产凌凌漆》里的台词:


“你那忧郁的眼神,唏嘘的胡碴子,神乎其技的刀法,还有那杯Dry Martine,都深深的迷住了我……”




《国产凌凌漆》


黎曼表现出来的,就是真正的神乎其技。我们应该感谢,有如此伟大的头脑引领人类前进!


细心的同学可能会问:从s变换到1 - s,只能把大于1的变换到小于0,那么0和1之间的怎么办呢?对此的回答是,早在黎曼之前,数学家已经对这个区域做出了解析延拓。


回顾一下我们这个系列的第一篇(理解黎曼猜想(一)背景 | 袁岚峰),把n的-s次方记作f(n),把所有的f(n)的和即f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + …记作A。把f(2)乘到A上,会得到所有的偶数项。当时我们做的是,从A中减去f(2)A,就消去了所有的偶数项,只剩下奇数项。大家还记得吧?


现在我们要做另一件事,从A中减去二倍的f(2)A。这样会得到什么呢?显然就是:



右边这个表达式的特点是,不再全是正号,而是正负号交替出现。这个级数叫做狄利克雷级数(Dirichlet  series),狄利克雷(Johann Peter GustavLejeune Dirichlet,1805 -  1859)是另一位伟大的德国数学家,黎曼就是继承了他在哥廷根大学的职位。由于正负号交替出现,狄利克雷级数的收敛范围扩大了,从s >  1扩大到了s > 0。因此,在0和1之间,ζ(s)就可以用狄利克雷级数除以1 - 2f(2)来定义。






狄利克雷


好,在黎曼的解析延拓之后,我们可以对全部的实数s画出ζ(s)的图像如下:




如果把解析延拓比作抢救一个函数的话,那么我们对ζ函数的抢救确实获得了巨大的成功!只有s = 1这一点救不回来,在这里它仍然是无穷大。ICU也不能包治百病啊!




我觉得我可以再抢救一下


顺便说一句,在s < 1的区域,如果我们假装不知道ζ函数的定义已经改变了,把s > 1时候的级数代进去,就会得到下面的形式结果:



以及很多诸如此类的形式上的等式。我们在每一个等号后面都加了个问号,是为了强调这些并不是真的相等,只是一种联想。所谓“全体自然数的和等于-1/12”,“无穷多个1加起来等于-1/2”,以及“全体自然数的平方和等于0”等等,都是这么来的,绝不是真的相等。如果你要问这些无穷级数实际上等于什么,那当然是无穷大。


下一点要解释的是,黎曼ζ函数的定义域不只是实数,而是复数。如果你不知道复数是什么,那么我们可以稍微解释一下:复数就是所有的x  +  yi,其中x和y是两个实数,而i是-1的平方根,即i的平方等于-1,x叫做这个复数的实部,常用Re来表示,y叫做这个复数的虚部,常用Im来表示。全体的实数可以用一根数轴来表示,而全体的复数需要用一个平面来表示,这个平面的x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,在这个平面上坐标为(x,  y)的一个点就对应于x + yi,这个平面叫做复平面。我们也经常把复数理解为一个矢量,这个矢量的起点是原点,终点是(x,  y)。在这些意义上,实数是一维的数,而复数是二维的数。


把ζ函数的自变量s扩展为复数后,很容易证明,原来的级数在s的实部(即Re(s))大于1时是收敛的,而在Re(s)小于1时是发散的。经过黎曼的解析延拓后,ζ函数最终变成了这样:


在整个复平面上,黎曼ζ函数只在s = 1这一点没有定义,而在其他所有的点都有定义。你也许会问,指数为复数的乘方怎么计算?回答是,看一下高中数学课本就知道了,关键全都在这个欧拉公式里:



因此,指数如果是纯虚数,乘方的结果就是给原来的复数矢量做了一个旋转。指数如果是实数,乘方的结果就是改变了原来的复数矢量的长度,而方向不变。指数的实部和虚部如果都不等于0,乘方的结果就是既改变大小,也改变方向。


黎曼把ζ函数的自变量s从实数扩展到了复数,也就是说把ζ函数从实变函数变成了复变函数,这样做有什么好处呢?


好处在于,在某种意义上,复变函数比实变函数简单。是的,你没听错,二维的复变函数比一维的实变函数简单


为什么呢?因为在数轴上接近一个点,只有两个方向,左和右,而在复平面上接近一个点,却有无穷多个方向,例如左边、右边、上边、下边以及任意倾斜的方向。如果对无穷多个方向做计算都能得到同一个结果,那么这是一个非常强的限制条件,能通过这样的限制条件的复变函数就很容易处理,比实变函数容易处理得多。例如,复变函数的解析延拓就比实变函数的解析延拓容易得多。因此数学界有这样的笑谈:实变函数处理的都是性质非常恶劣的函数,复变函数处理的都是性质非常良好的函数


现在我们可以理解黎曼的做法了。用《三体》的语言说,黎曼对ζ函数发动了“降维打击”!




二向箔


复变函数的一个特点是,许多性质是由它的零点(zero)决定的。所谓零点,就是使得这个函数取值为0的点,例如正负i就是复变函数f(z) = z2 + 1的两个零点。


如果你在复平面上围着一个零点做一条曲线,好比扔一个套索套住这个零点,然后求函数在这条曲线上的积分,那么你会发现积分结果完全由零点的性质决定,跟曲线的具体情况没有关系。你可以把这条曲线扩大一点或者缩小一点,拉长一点或者压扁一点,都对结果完全没有影响,你只需要知道函数在零点附近的行为就够了。


来,让我们为复变函数献上一首《套马杆》!套马的数学家,你威武雄壮!




套马杆


黎曼对ζ函数套了一通马之后,套出了下面这个惊人的等式:



这个等式说的是什么呢?左边的J(x)是一个阶梯函数,它在x  =  0的地方取值为0,然后每经过一个质数(例如2、3、5)就增加1,每经过一个质数的平方(例如4、9、25)就增加1/2,每经过一个质数的三次方(例如8、27、125)就增加1/3,如此等等,每经过一个质数的n次方就增加1/n。你可以把它理解为,一个质数的n次方被算作了1/n个质数。显然,这个函数跟质数的分布密切相关。


来看等式的右边。第一项Li(x)叫做对数积分函数(logarithmic integral function),它的定义是:



对数积分函数的图像是这个样子:





在x很大的时候,Li(x)就约等于x/lnx。


再来看第二项,这里的函数形式仍然是对数积分函数,但自变量却变得非常有意思,是所有的x的ρ次方。这些ρ是什么呢?回答是:黎曼ζ函数的非平凡零点(non-trivial zeroes)。


零点我们知道了,就是使函数取值为0的那些点。为什么又加个“非平凡”呢?因为黎曼证明了,s等于-2、-4、-6、-8等负的偶数值的时候,ζ(s)必然等于0。如果用类似于“全体自然数的和等于-1/12”那样的开玩笑不嫌事儿大的语言,就可以说“全体自然数的平方和等于0”,“全体自然数的四次方和等于0”,“全体自然数的六次方和等于0”,以至于“全体自然数的偶数次方和等于0”。在数学家们看来,这是一目了然的,于是他们把ζ函数的这些零点叫做平凡零点(trivial zeroes)。好吧,数学家的“一目了然”和我们真是两个概念!


但是除了负的偶数之外,黎曼ζ函数还有其他的零点。这些零点的位置就远远不是一目了然的了,即使对黎曼都不是,因此被称为非平凡零点。上面提到的ρ就是这些非平凡零点。可以确认的是,非平凡零点肯定不在实轴上。在实轴上除了负的偶数,没有其他的零点了。


你也许会问,既然非平凡零点ρ不是实数,那么x的ρ次方也不是实数,对这样一个虚数自变量的对数积分函数是怎么计算的?回答是:数学家又做了一个解析延拓,把对数积分函数的定义域扩展到了复数。


总而言之,黎曼套马杆的结果,就是对一个与质数分布密切相关的函数J(x)给出了一个表达式,其中唯一不清楚的部分来自黎曼ζ函数的非平凡零点。


然后,让我们回顾一下,黎曼这篇论文的标题叫做《论小于给定数值的质数个数》。有一个函数叫做质数计数函数(prime-counting function),意思是小于等于给定数值x的质数个数,数学家经常把它写成π(x)。这个名字有点杯具,因为它跟圆周率π毫无关系。


让我们来举个例子,小于等于1的质数有多少个?回答是没有,所以π(1)  = 0。小于等于2的质数有多少个?回答是1个,就是最小的质数2,所以π(2) = 1。小于等于3的质数有多少个?增加了一个质数3,所以π(3)  = 2。类似地,π(5)= 3,π(7) = 4,π(11) = 5等等。对于前60个自然数,质数计数函数的图像如下:



显然,如果我们对质数计数函数知道了一个简便的计算公式,那么对第n个质数也就有了快速的算法。如我们在本系列中第一篇所说的,这将造成惊人的后果,对理论和应用都产生巨大的影响。


你也许会叹息,黎曼得到的并不是π(x),而是J(x)。没关系,这两个函数包含的信息是等价的,从它们中的一个就可以推出另一个。在这个意义上,质数分布的全部信息都包含在黎曼ζ函数非平凡零点的位置当中。用《肖申克的救赎》中的台词说:“得救之道,就在其中!”




得救之道,就在其中


具体地说,π(x)和J(x)之间的关系是:



这里的μ(n)叫做莫比乌斯函数(Möbius function)。没错,就是莫比乌斯带的那个莫比乌斯(August Ferdinand Möbius,1790 - 1868),这又是一位伟大的德国数学家。




莫比乌斯带


比乌斯函数的取值只有三种可能:0和正负1。如果n可以被任何一个质数的平方整除,也就是说在它的质因数分解中有一个质因数出现了二次或更高次方,那么μ(n)  =  0。如果n不能被任何一个质数的平方整除,也就是说n的任何一个质因数都只出现一次,那么我们来数质因数的个数。假如质因数有偶数个,那么μ(n)=  1。在这里还包括了n = 1的情况,因为它没有质因数,0算作偶数,所以μ(1) = 1。而假如质因数有奇数个,那么μ(n) = -1。


由此可见,μ(1) = 1,μ(2) = -1,μ(3)= -1,μ(4) = 0,μ(5) = -1,μ(6) = 1等等。这正是上面的展开式中用到的前几项。


很显然,J(x)是一个增函数。在上面的展开式中,随着n的增加,x的1/n次方变得越来越小,相应的第n项也变得越来越小。因此,对π(x)贡献最大的就是第一项,J(x)。而对J(x)贡献最大的来自哪一项呢?这就涉及到黎曼ζ函数非平凡零点的位置了。


一个非平凡零点ρ的实部和虚部经常被记为σ和t,即ρ  = σ + it。黎曼很快就证明了,ρ不可能出现在σ > 1或者σ < 0的地方。也就是说,非平凡零点只可能出现在0 ≤ σ ≤  1的区域里。在复平面上,这对应于一条宽度为1的竖直条带,人们把它称为临界带(critical strip)。


然后,根据黎曼ζ函数的形式,很容易发现零点对于实轴是对称的。也就是说,如果σ  + it是一个零点,那么它的共轭复数σ -  it也是一个零点。因此,非平凡零点总是上下成对出现的。当我们说第n个非平凡零点的时候,指的总是第n个虚部为正数的非平凡零点,而虚部为负数的那些你自动地就知道了。


再然后,根据黎曼的函数方程,即ζ(s)与ζ(1 – s)之间的联系,又很容易发现,非平凡零点对于σ = 1/2这条竖线是对称的。也就是说,如果σ + it是一个零点,那么1 - σ + it也是一个零点。


黎曼计算了几个非平凡零点的位置,发现它们的实部都等于1/2。例如第一、二、三个非平凡零点,实部都等于1/2,而虚部分别约等于14.1347、21.0220和25.0109。然后,他就做出了一个惊天动地的猜想:


黎曼ζ函数所有的非平凡零点,实部都等于1/2!


这就是黎曼猜想,数学中最大的未解之谜之一。


我们把σ = 1/2的这条竖线称为临界线(critical line),也就是临界带的中心线。前面我们已经知道了,所有的非平凡零点都在临界带里。但黎曼猜想却大大地加强了这个结论,它说的是:所有的非平凡零点都在临界线上!



临界线与临界带


这是一个非常令人惊讶的结论。假如非平凡零点的实部是在0到1之间随机取值,那么它刚好取到1/2的概率应该等于0。而现在黎曼却认为这个概率是100%!这件事如果是真的,就说明它一点都不随机,在这背后肯定有深刻的原因。


黎曼猜想到底对不对呢?目前还没有被普遍接受的证明或证伪。但数值计算的结果,已经为这个猜想提供了强有力的支持。


到目前为止,人们已经计算了十万亿个非平凡零点。然后你猜怎么着?这十万亿个非平凡零点都整齐划一地躺在临界线上。十万亿!因此,绝大多数数学家都相信黎曼猜想是正确的。


黎曼猜想有什么用呢?我们可以举一个容易理解、也意义重大的例子,这是一个在探索黎曼猜想的过程中得到的中间结果。


来问你一个问题:在1到10的100次方的范围内,大约有多少个质数?


数学王子高斯小时候就研究过质数分布的问题。怎么研究呢?每当他有空的时候,就挑出几个长度为1000的自然数区间,算出这些区间中的质数个数。你看,这就是高斯的消遣!



高斯


显然,随着数字的增大,质数一般而言会变得越来越稀疏。但具体是怎么个稀疏法呢?在做了大量的计算和比较之后,高斯发现质数分布的密度大约是对数函数的倒数,也就是说,在x附近的一个数是质数的概率大约是1/lnx。你看,数学家的消遣能够结出什么样的果实!后来,法国数学家勒让德(Adrien-Marie Legendre,1752 - 1833)也得到了同样的结果。



勒让德(没错,就是这么一副怒发冲冠的样子)


高斯和勒让德的结果,只是来自数值实验,没有严格证明,因此只能算作猜想,跟黎曼猜想属于同一层面。


在高斯和勒让德的猜想困惑了人们100多年后,1896年,法国数学家阿达马(Jacques Salomon Hadamard,1865 - 1963)和比利时数学家德·拉·瓦·布桑(Charles Jean de la Vallée Poussin,1866 -1962)终于证明了它。从此之后,这个命题被人们称为质数定理(prime number theorem)!看这个名字就知道,它的分量有多重了。


但在方法论上,质数定理却只是研究黎曼猜想的一个中间产物。黎曼一上来就证明了,黎曼ζ函数的非平凡零点只能出现在0  ≤ σ ≤ 1的临界带里。对于质数定理而言,讨厌的就是那两个等于号。如果能去掉等于号,也就是说把临界带去掉两条σ = 0和σ =  1的边界,让非平凡零点只能出现在临界带的内部而不是左右边界上,那么质数定理立刻就获得证明了。因为这时你就很容易证明,对质数计数函数π(x)的主要贡献来自对数积分函数Li(x),次要贡献来自黎曼ζ函数的所有非平凡零点。


所以让我们再次感谢,有如此伟大的头脑引领人类前进!


在1896年,也就是在黎曼1859年的论文发表37年之后,阿达马和德·拉·瓦·布桑终于去掉了这两条边,从而证明了质数定理。我们前面说过,蓝眼睛岛问题(从蓝眼睛问题,看群众理解能力的巨大差异 | 袁岚峰)跟黎曼猜想相比,就好像新手村送经验的小怪跟终极大boss的对比。现在你能体会到了吧?


质数定理的内容,其实就是小于等于x的质数个数π(x)约等于Li(x)。说得严格一点,就是当x趋于无穷时,π(x)与Li(x)的比值趋于1。前面我们说过,在x很大的时候,Li(x)约等于x/lnx。因此质数定理也可以表述成,π(x)约等于x/lnx





从上面这个图可以看到,随着x增大,π(x)与这两种近似表达式的比例都趋近于1。不过,π(x)除以x/lnx趋近于1的速度很慢,而π(x)除以Li(x)趋近于1的速度就快得多。也就是说,作为对π(x)的近似,Li(x)比x/lnx要好得多。不过这只是定量的区别,不是定性的区别。


用密度的语言说,在x附近的一个自然数是质数的概率,大约是1/lnx。与此同时,在小于等于x的自然数中任选一个是质数的概率,也大约是1/lnx


因此,在从1到10的100次方的范围内,大约有多少个质数呢?现在x等于10的100次方,对它取自然对数,得到lnx  = 100ln10 ≈  230.26。从1到10的100次方中的质数个数,大约就是x除以230.26,约等于4.3924乘以10的97次方。以后,你就可以去考别人类似的问题了。你看,这是多么重大的进展!


由此可见,质数定理构成了我们对质数分布的基础描述,而黎曼猜想表征的就是对这个基础描述的修正。下面这个动图,就表现了用0到200个非平凡零点来计算质数计数函数时,效果的逐渐改善。再次重复一下,质数分布的全部信息都包含在黎曼ζ函数非平凡零点的位置当中。得救之道,就在其中!

 


最后顺便说一句,请注意证明了质数定理的这两位数学家的寿命:德·拉·瓦·布桑活到96岁,阿达马活到98岁!



德·拉·瓦·布桑



阿达马


因此数学界有一个说法:如果有人证明了黎曼猜想,他就会不朽。不仅仅是精神层面的不朽,那是理所当然的,而且还是物质层面的不朽,即长生不老!理由是:你看,这两位还没有证明黎曼猜想,仅仅是取得了一点进展,就活到了近一百岁。如果是证明了黎曼猜想的,那还得了吗?嗯,从这个角度看起来,最有希望证明黎曼猜想的人就是……




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