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你真的相信全体自然数的和等于-1/12吗? 精选

已有 9314 次阅读 2018-11-12 10:33 |系统分类:科普集锦

 

全体自然数的和是-(1/12),也就是1+2+3+4+5+……= -1/12


这个说法听上去就很唬人,那么到底是不是真的呢?又怎么会流传出这种说法的呢?


这一集里面我们都能找到答案。



视频链接

腾讯视频:

https://v.qq.com/x/page/z0788uf5fg7.html

哔哩哔哩:

https://www.bilibili.com/video/av35623705



秒拍:

http://gslb.miaopai.com/stream/prZ31l8udwoXwoMT5LniXTOlnU0AjhM0oR~~VA__.mp4



部分评论

枪林弹幕雨:

课程要点:黎曼猜想的内容(字认识就行,本章结束后才能理解),自然数之和悖论的理解(大概了解,不至于被伪科学忽悠),解析和幂级数,解析延拓
难点:解析延拓的定义和运用
难点解析:主要举了两个栗子①y=x(–1<x<1)首先这个函数在其定义域内的趋势很容易延伸定义域外即直线y=x,这个过程可以换个方法理解,在定义域内原函数很容易表示成幂级数y=x0+(x–x0),这个幂级数总是收敛的,因此原函数在定义域外通过解析延拓得到的表达式为y=x②等比级数f(x)=1+x+x²+x³+…根据等比数列求和前k项S(k)=1+x+x²+…+x^(k-1)=(1-x^k)/(1-x),(x≠1)考虑-1<x<1时k→∞,S(k)→1/(1-x)S(k)是收敛的;x>1或 x<-1时k→∞,S(k)→∞S(k)是发散的,即f(x)的收敛半径是(-1,1)收敛于1/(1-x),通过解析延拓在x≤-1或x>1时f(x)得到的表达式为y=1/(1-x)


反应不可逆:

(持续更新)建议了解的概念:
1.极限/收敛/发散
2.函数的定义域/值域
3.虚数/复数,复变函数
4.解析/解析函数/解析延拓
5.幂级数
开始增加难度了,对数学感兴趣的同学们,一定要自信地坚持学习啊(°∀°)ノ

Sybil_H:

风云之声会提前几天先发文字版,建议看不懂的同学可以先看文章预习一下,因为看文章的进度可以自己掌控,不像看视频反复回退那样有挫败感。
为了坚持下去,我也是很拼了。


原文参考:理解黎曼猜想(三)你真的相信全体自然数的和等于-1/12吗? | 袁岚峰


在前两期节目(文章见理解黎曼猜想(一)背景 | 袁岚峰理解黎曼猜想(二)两个自然数互质的概率是多少? | 袁岚峰,视频见https://www.bilibili.com/video/av34580488和https://www.bilibili.com/video/av35082418)中,我们介绍了黎曼猜想的背景,即质数分布问题,以及研究质数分布的基本工具,即欧拉乘积公式。到目前为止,我们讲的都是欧拉的工作,正主黎曼还没出来呢!


那么黎曼究竟做了些什么呢?黎曼做了很多事情,他的基本目标就是对质数的分布获得一个明确的表达式。在这个过程中他做出了一个著名的猜想,就是黎曼猜想。与此同时,他的推导过程有一个副产品也变得非常著名,在普通公众中的名气甚至比黎曼猜想还要大得多。这个副产品是什么呢?就是下面这个式子:

      

01-公式1.jpg

               


全体自然数的和等于-1/12,你八成听说过这个说法,对不对?!


实际上,我的不少朋友不但是听说过这个说法,而且是真的相信了,真的是按照字面上理解这个说法。这样一来,就造成了严重的矛盾:自然数依次相加,不是应该越来越大,超过任何限制吗?怎么可能得到一个有限的值?更不可思议的是,怎么还能得到一个负值?正数加正数只可能得到正数,怎么会变成负数?


按照这样想下去,就越想越可怕了。难道常识都是靠不住的?难道数学是一门违反常识的学科?难道数学家是一群阴谋家,他们向大众隐瞒了许多可怕的秘密?……

02-呐喊.jpg


爱德华·蒙克《呐喊》


更加令公众恐慌的的是,还有不少所谓的科普节目沿着这个调调搞了不少大新闻。他们典型的说法就像这样:


“这个计算是数学中隐藏得最好的秘密之一,数学家之外没人知道这件事。”


“这是一个惊悚的结果。”


“这确实有悖常识,因为你内心总想让这个序列停下来,而一旦序列停止,你就再也没法理解这个结果。”


“在数轴的无穷远处,蕴藏着崭新的数学体系等待我们建立。”……


于是乎,我的不少朋友就来忧心忡忡地问我。用他们的话说,简直是世界观都要崩溃了!


好吧,我们就借这个机会,向大家讲清楚这个所谓“全体自然数的和等于-1/12”是怎么回事。还有许多跟它类似的说法,例如所谓“无穷多个1加起来等于-1/2”,“全体自然数的平方和等于0”,都是同样的道理,我们顺便可以一网打尽。


首先,来告诉大家基本的答案:你的常识是正确的,这些说法都是错误的,数学并没有推翻常识。数学家也不是阴谋家,数学家没有向你隐瞒任何东西。你完全不需要害怕,完全可以保全你的世界观和安全感。


然后,这些说法虽然是错误的,但也并不是毫无意义的胡说八道。只要改造一下,它们都可以变成有意义的。正如那句俗话所说:我觉得我还可以再抢救一下!


03-抢救.jpg

我觉得我可以再抢救一下


抢救什么呢?就是抢救这些说法中的“和”的定义。也就是说,如果按照最基本的加和方法,1加2等于3,3加4等于7等等,那么这些说法都是胡扯。但如果定义一些其他的加和方法,那么这些说法可以变成正确的。


下面,我们就来讲黎曼是在什么意义上,算出了全体自然数的和等于-1/12。


在前两期中,我们已经讲过,研究质数分布的基本出发点是欧拉乘积公式:


04-公式2.jpg




这个公式左边的n指的是所有的自然数,1、2、3、4、5等等,右边的p指的是所有的质数,2、3、5、7、11等等。公式两端都出现的s是一个变量,当且仅当s > 1的时候,欧拉乘积公式成立。


数学家经常用大写的希腊字母Σ来表示求和,用大写的希腊字母Π来表示连乘。用这种表达方式,我们可以把欧拉乘积公式简写成下面这样:


05-公式3.jpg




让我们把欧拉乘积公式左边的这个无穷级数记为ζ(s)(ζ是一个希腊字母,发音zeta)。我们再次强调一下,欧拉乘积公式只在s > 1的时候成立,在s ≤ 1的时候是不成立的。为什么呢?原因我们在上一期节目中解释了,ζ(1),也就是全体自然数的倒数和,等于无穷大。全体自然数的倒数和又被称作调和级数(harmonic series),它等于无穷大,换句话说就是,调和级数是发散的。而当s < 1的时候,n的-s次方会变得更大,ζ(s)会变得更大,当然就更是发散的了。因此,欧拉乘积公式只能在s > 1的范围内使用。


按照欧拉的路线走下去,到这里基本就结束了,翻不出什么大浪了。让我们欢送大神欧拉~


06-欧拉.jpg

欧拉


山重水复疑无路,柳暗花明又一村,我们新一代的大神黎曼出场了!


07-黎曼.jpg

黎曼


黎曼一出来,就指出了几个要点:


一,我们应该把ζ(s)中的自变量s理解为复数(complex number),而不只是实数;


二,我们可以通过解析延拓(analytic continuation),让ζ(s)在s < 1的地方也获得定义;


三,通过对ζ(s)的研究,我们可以对小于等于某个数x的质数的个数给出一个明确的表达式,在这个表达式中唯一未知的就是ζ(s)的零点的位置;


四,黎曼猜测,ζ(s)的零点都位于某些地方,这个猜测就是黎曼猜想


也许你对这四条不能完全听懂,甚至是完全听不懂。没关系,如果你一上来就完全听懂了,那只有一种可能,就是你本来就知道黎曼猜想是什么,那么你也就没有必要听我在这里讲了。如果你对黎曼猜想不甚了然,那么我可以告诉你,以上就是黎曼提出这个猜想的基本脉络。至于这四条具体的意思,我们可以循序渐进地讲述。


更有意思的是,考虑到读者之间数学水平的巨大差异,我会提供若干种不同分辨率层次的描述,先讲简略的,再讲精细的。就像对前面讲过的蓝眼睛岛问题从蓝眼睛问题,看群众理解能力的巨大差异 | 袁岚峰,我分成了十个层次来解读。如果你缺乏基础,那么你只看那些简略的描述就够了。这至少足以让你获得一个正确的大图景,不会再被那些危言耸听的伪科普咋呼得世界观崩溃。而如果你的数学基础不错,而且你很有好奇心,那么欢迎继续去看精细的描述,这会让你获得更多数学的快乐。


当前我们的目的,是理解所谓“全体自然数的和等于-1/12”。这里的关键在于黎曼的第二条,也就是通过解析延拓,可以让ζ(s)在s < 1的地方也获得定义。也就是说,


08-公式4.jpg

这就是我们在上一期中说过的,欧拉ζ函数升级为黎曼ζ函数


假如仍然用s > 1时的定义,那么ζ(-1)就是全体自然数的和,因为这时n的-s次方就是n的1次方,也就是n。但实际上,ζ(-1)已经不是这么定义的了,它换了一个定义,在新的定义下,它等于-1/12。所谓“全体自然数的和等于-1/12”,如果要有意义的话,就是这个意思,它说的其实是黎曼的ζ(-1) = -1/12


如果你问:就其本身而言,全体自然数的和等于多少?答案当然是无穷大了!所以这里没有任何矛盾或者阴谋,数学家从来没有欺骗过你


有人说,物理学家经常会用到“全体自然数的和等于-1/12”。没错,物理学家确实会在量子场论、超弦理论等地方用到这个命题,但在用的时候他们当然知道这话是什么意思,是解析延拓的意思,而绝不是字面的意思。只有一些一瓶子不满半瓶子晃荡的伪科普,喜欢在这里咋咋呼呼,制造大新闻,吓唬那些听风就是雨的naïve的听众。报道出了偏差,你们也有责任的好吧!


如果你不打算探究更多有趣的细节,那么了解到这个程度也就够了。如果你思考得多一点,你就会问了:解析延拓是什么意思?


作为一个最简略、最直观的理解,解析延拓就是扩大一个函数的定义域,使得它在一些原本没有定义的地方也有了定义,而在原本有定义的地方跟原来一样。


具体怎么做呢?举一个最平凡、最没有技术含量的例子,你在-1 < x < 1的区间里定义了一个函数y = x。它的函数图像是一条线段,从(-1, -1)连到(1, 1)。任何人一看这个图像,都会感到它意犹未尽。显然,你可以把这条线段向两边延伸,而且可以延伸得任意远。这样一来,你就把这个函数的定义域从(-1, 1)这个区间扩展到了整个数轴。这就是一个最简单的解析延拓。


如果你不打算探究更多有趣的细节,那么了解到这个程度也就够了。如果你思考得多一点,你可能就会问了:一条线段向外延伸,并不见得一定要按照直线来延伸,也可以延伸成折线、或者圆、或者椭圆、或者抛物线、或者双曲线、或者任何其他的曲线,这些也都是解析延拓吗?


回答是:不是!请注意在“延拓”前面的那两个字,“解析”。什么叫做解析呢?在直觉层面,可以认为就是延续原始函数的自然趋势,自然地过渡到新的区域。从直觉就能理解,如果你不是把一条线段扩展到它的延长线,而是扩展到其他的任何曲线,这样的扩展方法都很生硬,没有延续那条线段的自然趋势,因此这些都不是解析延拓。


实际上,解析延拓的一个惊人的要点就是:一个函数的解析延拓是唯一的!也就是说,在一个比较小的定义域内给定一个函数,那么在它解析延拓之后,在更大的定义域里的任何一点都只可能有一个取值,这个取值完全由这个函数在原始定义域里的表现决定。比如说我们上面那个例子,这条线段解析延拓之后,在x = 3的地方必然得到y = 3,而不可能得到2或者4或者任何其他的值。


如果你不打算探究更多有趣的细节,那么了解到这个程度也就够了。如果你思考得多一点,你可能又会问了:对于不像y = x这么简单的函数,如何进行解析延拓?


回答是:解析延拓的一般方法,是通过幂级数(power series)来进行的。


什么叫做幂级数?就是幂次越来越高的多项式相加形式的级数,即


09-公式5.jpg


假如一个函数y = f(x)在某个点x0附近等于一个幂级数,那么我们就说这个函数在这一点是解析(analytic)的。这其实就是“解析”这个词的严格定义。


对于前面那个最简单的例子,y = x这个表达式本身就是一个幂级数,其中的x0 = 0,也就是说它在原点附近等于一个幂级数,其中只有一次项的系数等于1,其他项的系数都等于0。而在原点之外的某个x0附近,你可以把它写成y = x0 +(x-x0),这仍然是一个幂级数,一次项的系数仍然是1,二次及更高次项的系数仍然是0,只是零次项也就是常数项从0变成了x0。所以在x0附近,这个函数也是解析的。


对于一个幂级数,一个很重要的性质是它的收敛半径(radius of convergence)。也就是说,一个幂级数并不见得总是收敛的,或者说总是能算出一个有限值。如果离中心点x0太远,幂级数就可能变成无穷大,也就是说发散了。对于y = x,它的收敛半径是无穷大,也就是说在任何地方都收敛,这当然是最简单的情况。让我们来看一个稍微复杂一点的情况,一个由等比数列组成的幂级数:


10-公式6.jpg



请问,这个等比级数等于什么?


学过等比数列求和的同学,立刻就知道它的前k项加起来等于


11-公式7.jpg




现在我们要求的不是前k项的和,而是无穷多项的和。如果x的绝对值小于1,也就是说-1 < x < 1,那么你立刻可以看出当k趋于无穷的时候,x的k次方趋于0,所以这整个求和Sk会趋于1/(1-x)。而如果x的绝对值大于1,也就是说x > 1或者x < -1,那么当k趋于无穷的时候,x的k次方趋于无穷大,所以求和Sk也趋于无穷大。很好,这样我们就知道了原来那个等比级数的收敛半径等于1,在这个收敛半径之内它等于1/(1-x),而在收敛半径之外它发散,所以这个等比级数的定义域最大只能到(-1, 1)这个区间。


有了这些基础知识的准备之后,这个等比级数的解析延拓就呼之欲出了。在收敛半径之外,我们就定义它等于1/(1-x)。这样一来,我们获得了一个定义域更大的函数,定义域扩大到了除x = 1之外的所有的点,而在原来的定义域(-1, 1)之内跟原来的函数相等。


为什么要除掉x = 1这一点呢?因为x如果等于1,分母1 - x就等于0,整个式子就会变成1/0,没有意义。如果把解析延拓比喻成抢救一个函数,那么“我觉得我还可以再抢救一下”,——确实在其他各处都抢救回来了,只有x = 1这一个点不行!


03-抢救.jpg

我觉得我可以再抢救一下


不过对于收敛半径上另外一端的点,即x = -1,我们的抢救确实成功了,在这一点可以算出1/(1-x) = 1/2。在这里我们可以做一件有趣的事,就是把x = -1代回到等比级数里,假装不知道这时函数的定义已经改变了,那么就会在形式上得到:


公式8.png





在这里出现的1之后交错减1和加1的级数,叫做格兰迪级数(Grandi’s series),格兰迪(GuidoGrandi,1671 - 1742)是一位十七世纪和十八世纪的意大利数学家。格兰迪级数在历史上曾经引起热烈的讨论。你觉得,这个级数应该等于什么呀?等于0?还是1?还是1/2?还是别的什么?


13-格蓝迪.jpg

格兰迪


实际上,就最基本的意义而言,应该说格兰迪级数不等于任何一个数,因为它的前k项的和交替地取值1和0,并不趋于一个极限。但在若干种推广的意义上,可以说它等于1/2。这里给出的就是一种推广的意义,即等比级数的解析延拓。所谓全体自然数的和等于-1/12,也只是在像这样的推广的意义上才能成立。


如果你不打算探究更多有趣的细节,那么了解到这个程度也就够了。如果你思考得多一点,你可能又会问了:黎曼是如何对ζ函数进行解析延拓的?他为什么对ζ(-1)得出了-1/12这个结果?


很好的问题!鉴于许多同学们需要时间来消化这堂课的内容,黎曼的具体做法,我们放到下次来讲。




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