第四章：欧几里得和阿波罗尼斯。本篇记录此章的前三节。

题词是普罗克洛斯的：“这门科学的先驱者本人的教导使我们懂得，在碰到要不要把推理列入我们的几何原理时，不要对那些仅仅是颇为可信的设想稍有顾惜。”

1、引言

“古典时期学者们的数学工作的精华，幸运地在欧几里得和阿波罗尼斯两个人的著作中流传到今天。……欧几里得在公元前300年左右生活在亚历山大城并在该处授徒，这一点是很肯定的，虽然他本人的教育可能得自柏拉图的学院。……阿波罗尼斯死于公元前190年……欧几里得的著作实际是古希腊时期一些个别发现的整理，这只要把他书里的内容和我们所知道的较早的数学工作比较一下就可以清楚。特别是《原本》一书，不仅是对这门学科作逻辑讲解的书，同样也是刚过去的那个时代的一本数学史。阿波罗尼斯的工作一般归入亚历山大时期，但其主要著作《圆锥曲线》的内容和精神是属于古典时期的。事实上，阿波罗尼斯承认在他那本有八篇的书中，前四篇只是欧几里得所写关于圆锥曲线的那本失传了的著作的修订本。帕普斯提到阿波罗尼斯曾在亚历山大城同欧几里得的门徒相处很久，这就立即可以说明他同欧几里得的学术关系。”按：就像孟子受业于子思之门人。看来这条学术谱系是柏拉图—欧几里得—阿波罗尼斯，多么高大上！

2、欧几里得《原本》的背景

欧几里得的《几何原本》取用了前人的许多材料，那么他自己的贡献是什么呢？“对公理的特定的选择，把定理排列起来以及一些定理的证明，这些是属于他的，正如论证之精彩和严密应归功于他一样。……欧几里得无疑是个大数学家。他的其他著作也可以证明这个判断不错……或许因欧几里得的书写得那么好，所以它才取代了相传开奥斯的希波克拉底和柏拉图派学者利昂（Leon）及托伊迪乌斯（Theudius）所写的书。”

“欧几里得本人写的手稿现已无存。所以他的著作只能参考其他作者的许多修订本、评注本和简评，整理出来。欧几里得《原本》的所有英文版和拉丁文版都来源于希腊人的手稿。这些来源是亚历山大城的泰奥恩（4世纪末）对欧几里得《原本》的修订本，泰奥恩修订本的抄本，泰奥恩讲课的记录，以及佩拉尔（François Peyrard，1760-1822）在梵蒂冈图书馆里发现的一本希腊手稿。这本10世纪的手稿是泰奥恩以前出版的一本欧几里得著作的抄本。……此外还有希腊著作的阿拉伯文译本以及阿拉伯文评注，这些可能是根据业已失传的希腊手稿译出的。……阿拉伯文译本和修订本总的说来不如希腊手稿。由于有这么多的材料来源，所以重新整理出来的东西自然留有一些存疑之处。欧几里得写《原本》的目的也成问题。有人说是写给数学家看的学术论著，有人说是写给学生用的课本。”按：即使按照有些人认为的那样，古希腊史纯属伪造，《几何原本》仍然是不世出的伟大著作，人类文明最核心的成就之一。即使它是文艺复兴时人写的，仍然具有振聋发聩之功，这从徐光启在《几何原本杂议》中对它的评价可以看出来：“此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更置之不可得。有三至、三能：似至晦，实至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，实至简，故能以其简简他物之至繁；似至难，实至易，故能以其易易他物之至难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已。……窃意百年之后必人人习之，即又以为习之晚也，而谬谓余先识，余何先识之有？”

“因今日还在学欧几里得几何，所以我们看了《原本》的内容后可能会感到有点奇怪。今天广泛流传的中学课本里的写法是仿照勒让德（Adrien-Marie Legendre）对欧几里得著作的改写本的。勒让德所用的一些代数在《原本》里没有，不过相应的几何材料是有的。”按：《几何原本》是不是唯一的普遍在现代学校里讲授的古代科学著作？这真是一个令人惊叹的成就！

3、《原本》里的定义和公理

“《原本》共含十三篇。”按：跟《孙子兵法》相同。“第一篇先给出书中第一部分所用概念的定义。”

“定义：1、点是没有部分的那种东西。2、线是没有宽度的长度。线这个字指曲线。3、一线的两端是点。”这定义明确指出一线或一曲线总是有限长度的。《原本》里没有伸展到无穷远的一根曲线。“4、直线是同其中各点看齐的线。”欧几里得的直线即我们所说的线段。“5、面是只有长度和宽度的那种东西。6、面的边缘是线。”所以面也是有界的图形。“7、平面是与其上直线看齐的那种面。15、圆是包含在一（曲）线里的那种平面图形，使从其内某一点连到该线的所有直线都彼此相等。16、于是那个点便叫圆的中心（简称圆心）。17、圆的一直径是通过圆心且两端终于圆周[没有明确定义]的任一直线，而且这样的直线也把圆平分。23、平行直线是这样的一些直线，它们在同一平面内，而且往两个方向无限延长后在两个方向上都不会相交。”开头几个定义是用未经定义的概念来讲的，因此不起逻辑作用。按：亚里士多德承认未经定义的名词是需要的，因为在一系列的定义里总得有个开头，但其后的数学家漠视这一需要，直到19世纪末。由此可见亚里士多德多么具有洞察力！

“接着欧几里得就列出五个公设和五个公理。他采纳亚里士多德对公设和公理的区别，即公理是适用于一切科学的真理，而公设则只应用于几何。”

“公设：1、从任一点到任一点作直线[是可能的]。2、把有限直线不断循直线延长[是可能的]。3、以任一点为中心和任一距离[为半径]作一圆[是可能的]。4、所有直角彼此相等。5、若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线延长后必相交于该侧的一点。”

“公理：1、跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。2、等量加等量，总量仍相等。3、等量减等量，总量仍相等。4、彼此重合的东西是相等的。5、整体大于部分。”

“公设5是欧几里得自己得出的；他能认识其需要，足以显出他的天才。许多希腊人反对这一公设，因它不那么一望而知，从而不像别的公设那样容易被人一下子接受。想用其他公理和公设来证明它的种种尝试（据普罗克洛斯说在欧几里得时代就已开始），结果都归失败。这些努力的全部历史文明将在讨论非欧几何时加以叙述。”按：围绕第五公设的智力斗争，是人类文明的壮丽史诗。问题的提出者欧几里得，问题的解决者罗巴切夫斯基、鲍耶、高斯、黎曼，以及中间两千多年中无数失败的尝试者，都值得我们崇高的纪念。