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【心路23】窈窕淑女
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越是靠近，越要放慢...
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周日*留了尾巴，今天要完成它。现在是16:21，我最好拿出一张空白的A4纸，先对照着原著（中译）演算一番（哈，有点剑拔弩张的味道）。。。好了，刚到17:00，居然花了40分钟（还是有一点点小技巧的）。
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先列出上回得到的那四个“算式”：
τ=ϕ(v)·β·(t-v/V^2·x),
ξ=ϕ(v)·β·(x-vt),
η=ϕ(v)·y,
ζ=ϕ(v)·z.
其中，ϕ(v)为待定量，β=1/sqrt(1-v^2/V^2)。
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原著作者注释道，“如果对于动系的初始位置和 τ的零点不作任何假定，那末这些方程的右边都必须加上一个附加常量。” 这里暂时不去探究它。
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作者另起一段写道，“我们现在必须证明，如果像我们假定的那样，在静系中任何光线均以速度V传播，那末在动系中量度时任何光线亦以速度V传播；因为我们还未证明光速不变原理同相对性原理是相容的。” 这里讲的“相容”是什么意思？回头再仔细推敲，下面先完成推导。作者仍然设在t=τ=0，动系和静系的原点重合，从这个重合点发射出一个球面波。接着他的这个起点出发，即光在静系（K）以速度V传播，列出相应的运动方程，然后用上述四个算式对该运动方程进行变换，得到动系（k）中对应的运动方程，它在形式上与静系中的运动方程一致，从而在动系中看光速仍然为V。作者的推导体现了两个事情，一则，“物理体系的状态据以变化的定律，同描述这些状态变化时所参照的坐标系究竟是两个在互相匀速平行移动着的坐标系中的哪一个并无关系”，即“相对性原理”的表述（光的传播的运动方程在两个坐标系都取同一形式）；二则，两个坐标系中运动方程的（同一）形式表明，光速是不变的，这正是“光速不变原理”。两个原理有融为一体的意味（即没有矛盾）。
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作者是从静系观点出发，推导或许稍繁琐。我姑且偷个懒，从动系观点出发来推导。在动系的原点发射出一个球面波，其传播速度为V，在某个时刻τ到达动系中的一点（ξ, η, ζ），则光的运动方程为：
ξ^2+η^2+ζ^2 = (Vτ)^2.
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把那四个算式代入该运动方程，得到：
左边=ϕ^2·β^2·(x-vt)^2+ϕ^2·y^2+ϕ^2·z^2
=ϕ^2·β^2·(x^2-2xvt+v^2t^2)+ϕ^2·y^2+ϕ^2·z^2
=ϕ^2·β^2·x^2-2ϕ^2·β^2·xvt+ϕ^2·β^2·v^2·t^2+ϕ^2·y^2+ϕ^2·z^2;
右边=V^2·ϕ^2·β^2·(t-v/V^2·x)^2
=V^2·ϕ^2·β^2·(t^2-2xvt/V^2+v^2/V^4·x^2)
=ϕ^2·β^2·V^2·t^2-2ϕ^2·β^2·xvt+ϕ^2·β^2·v^2/V^2·x^2;
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以上的“左边”和“右边”，蓝色部分抵消，并可约去ϕ^2，得到：
新的左边=β^2·x^2+β^2·v^2·t^2+y^2+z^2;
新的右边=β^2·V^2·t^2+β^2·v^2/V^2·x^2.
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以上新的左边和右边的表达式，猛一看好像没办法了！其实，两边需要移项（即两边互相交换红色项的位置）：
移项后的左边=β^2·x^2-β^2·v^2/V^2·x^2+y^2+z^2
=β^2·(1-v^2/V^2)·x^2+y^2+z^2
=β^2·β^{-2}·x^2+y^2+z^2
=x^2+y^2+z^2;
移项后的右边=β^2·V^2·t^2-β^2·v^2·t^2
=β^2·t^2·(V^2-v^2)
=V^2·t^2·β^2·(1-v^2/V^2)
=V^2·t^2·β^2·β^{-2}
=(Vt)^2
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以上推导中，左右两边始终相等，即：
x^2+y^2+z^2=(Vt)^2.
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最后，拿最后这个式子对比变换前的式子，发现两者在形式上等同。（最后的推导中绿色部分的“变身”值得玩味）。
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注释：伟大的运算中往往伴随着戏剧化的抵消及或约分。
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回想起来，“惯性物质Ж”（在惯性系）的相对运动服从伽利略相对性原理，体现为运动方程在伽利略变换下具有同一形式；而当把“无惯物质И”（如光）引入惯性系，考察有它参与的相对运动，则伽利略相对性原理不再适用，须以新的相对性原理取代之，体现为运动方程在洛伦兹变换下具有同一形式。这里的“无惯物质И”有个奇特的“性质”，即其运动速度不受惯性系的“拖带”（从静系发射的光，在动系中观测的速度值，跟在静系中观测的速度值等同；从动系发射的光，在静系中观测的速度值，跟在动系中观测的速度值等同），这对惯性物质是不可想象的（由此必然要求找出伽利略变换的替代物）；另一方面，从一个惯性系观察，“无惯物质И”相对于另一惯性系（或绑定的有惯物质Ж），又可以有相对速度 —— 这个事情在原著中是个默认的假定（或规定）。可是，只有“无惯物质И”的这些“性质”还不足以得到什么结果。尽管当初已经有了洛伦兹变换，但整个事情处于某种脱节的状态。由此可见，正是时间“同步”的光信号定义，以及由此导出的“同时的相对性”，让整个事情贯穿在了一起，成为铁板一块；这个事情在数学上的体现，就是那个“狭义相对论基本方程”了 —— 由它出发得到一微分方程，并通过求解该微分方程来得到洛伦兹变换（当然求解过程中反复用到了“无惯物质И”的性质）。其实，有了那个“同步”的光信号定义，就会导致“同时的相对性”（从而得到那个基本方程等一系列后果）；只不过“同时的相对性”引起了“认知冲突”，从而给人以更深刻的印象。（这里“无惯物质”的性质在原著中是作为原理规定的，而“无惯物质”的概念则是我从“光”引申出来的，原著里没有“无惯物质”这种说法 —— 也许其它地方已经提出了，目前不知道）。爱因斯坦为何会注意到时间？这是一个谜（待解）。
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现在是22:05，中间有吃饭，最后这段是正式推导前写的，为了不影响主题，放到末尾了。看来，ϕ(v)得明天来定了：千呼万唤半遮面*。嘿嘿，这叫悬念美~
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注：本文首发于群邮件[Graduate Gate..Tuesday] ，原标题“论悬念”。
https://blog.sciencenet.cn/blog-315774-1084225.html
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