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我不是黄蓉:如果把幻方看成矩阵,会发生什么? 精选

已有 8012 次阅读 2016-4-12 09:15 |系统分类:科普集锦


作者:张轩 中来源:蝌蚪五线谱发布时间:2016-04-12
蝌蚪君建议有数学才华的年轻人能象拉玛努扬那样,从这里找到神喻。

  幻方,这个玩意十分有趣,在中国古代又叫做“九宫格”。

  如果您对“九宫格”不熟悉,建议您看看《射雕英雄传》,情况是这样的:1983版的电视剧《射雕英雄传》的主演是翁美玲,她演的黄蓉深入人心。请看第三部《射雕英雄传之华山论剑》第五集22分42秒,黄蓉曾破解“九宫格”的填写方法,其口诀跟九阴真经的口诀也差不多,仔细读还是可以读懂的:“九宫之义,法以灵龟,二四为肩,六八为足,右三左七,戴九履一,五居中央。

12345

  然后呢,最后填好的“九宫格”是这样的:

123456

  可以说,这个场景刻画了在宋朝历史上很重要的数学成就(另外一个成就是杨辉三角形,这里就不说了,有的人可能说这个在河图洛书里就出现了,我们在这里不考证河图洛书最早成书在什么时候了),也说明了黄姑娘是一个很smart的女孩。

  如何才能把1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字填写在一个九宫格里,然后使得每行每列每条对角线的和加起来都等于15呢?这就是幻方的基本含义。当然还可以推广到更高的阶数,比如4阶幻方就是把1,2,3,4……一直到16这16个数字都放在4乘4的“十六宫格”里,然后让每行每列每条对角线的和加起来都等于34。

  这幻方问题可不简单,如果不掌握一定技巧的话,完全用穷举的话一般人是很难一下子做出来的(对于很高阶的幻方需要阿尔法狗那样的利器了)。一般来说,填写幻方需要一些《组合数学》的知识,当然了,蝌蚪君认为,幻方背后的秘密还没有被深入发掘出来,可能因为我们中国还没有象印度的拉玛努扬那样的数学家,可以从本土数学文化中得到神喻。

  蝌蚪君不是黄蓉,但其实在千年之下也一直在研究九宫格,直到有一天,蝌蚪君有了一个惊人的发现:如果把幻方看成是一个矩阵,那么这个矩阵的最大本征值就等于这个矩阵的迹。

  什么是矩阵?

  这个玩意呀,其实就是一堆数字,一般来说上过大学的同学都清楚,有一门课程叫”线性代数”,就是专门研究矩阵的。矩阵也可以用到量子力学中,就是海森堡的矩阵力学。    

  矩阵,是有本征值的,如果你把矩阵看成是一个物理系统的哈密顿量,那么本征值就给出了这个系统的各个能量——量子力学中这被称为“能级”。

  本征值的英文是eigen  value。

  我们可以用一个数学软件matlab来计算一下幻方作为矩阵时候的eigen  value。

QQ图片20160411200639

  把“九宫格”的本征值(eig)与迹(trace)算出来:

幻方定理.tmp

       看到上图中出现了两个15了吧?看到了,说明你懂这个文章在说什么了。

  把“十六宫格”的本征值(eig)与迹(trace)也算出来:

zhangxuanzhong.tmp

 

  看到上图中出现了两个34了吧?看到了,说明你真懂这个文章在说什么了。

  所以,继续做下去,我们可以发现一个规律。对幻方矩阵来说,存在“最大本征值——迹对应”:如果把幻方看成是矩阵,那么这个幻方矩阵的最大本征值与迹相等。(又被民间称为张轩中幻方定理)。

  为什么会这样的?

  原来,我们可以把幻方矩阵除上它的迹,得到一个概率密度矩阵,这个矩阵就是一个马可夫矩阵,每一列的和都等于1。这种马可夫矩阵有一个特点,就是他的本征值一定是小于等于1 的,而且这种马可夫矩阵一定有一个最大特征值就是1。  

  黄蓉生活在宋朝,而现在我们这个互联网时代已经是1000年以后了,九阴真经对我们来说已经没有什么用,但幻方可能对我们还有用。1000年以后,我们必须有超越黄蓉的眼光来看待幻方这个问题,上述发现就是一个新发现。

  幻方是中国古代的数学精华,也是我们的传统文化,蝌蚪君建议有数学才华的年轻人能象拉玛努扬那样,继续从这里找到神喻。




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