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浮体平衡等价于重心与浮心的距离达到极值 精选

已有 1794 次阅读 2019-9-23 11:22 |个人分类:力学科普|系统分类:科普集锦| 浮力, 浮心, 平衡, 逆命题

0  一位前辈看了博文“圆柱浮体的平衡姿态及其稳定性 ”觉得有趣而来信要拙稿。9月19日来信问“稳定平衡时重心与浮心距离达极小”这一命题的原始出处和严格证明。我查了几本书都没有找到,只得略作解释后呈上若干提及该命题的文献。承蒙前辈多次来信讨论,因而写出下面几段文字以向前辈致敬,并请大家批评指正。 

1   物体的重量小于等体积的水重,可以浮在水中;其姿态变化时水面之下体定,而形心为浮力作用点,即浮心。浮心的全体构成浮心曲面。

物体平衡时外力势能达到极值,稳定平衡时势能达到极小。浮体仅受重力和浮力,平衡时浮心-重心的连线必定垂直于水面,因而势能达到极值意味着两者距离达到极值。

不过,讨论立方体、圆柱体在水中的姿态依赖于“重心与浮心的距离达到极值则浮体平衡”,是上述命题的逆命题,似乎尚需要一个数学证明。

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3   浮心曲面是有界的移动确定法向的一个截平面,必有两个位置使物体在其两侧的体积分别为V,对应于两个形心。这就是说,浮心曲面上平行的切平面成对出现且法向相反。又因截平面的法向可以在空间遍历,浮心曲面必然是封闭且外凸的。这里没有考虑物体内部容积进水对浮力的影响,如船体倾覆进水则浮力发生的突变。

物体重心W到浮心曲面的距离一定存在极值点。若在S 点达到极值,则以W为球心、以WS 为半径的球必然与浮心曲面相切于S 点,WS垂直于S 处的切平面 (文后扫描平面曲线的若干命题以供参考);基于杜宾第二定理知道,作用于S点的浮力垂直于过该点的切平面,因而通过重心W即浮体处于平衡位置。当然,浮体平衡则重心与浮心的连线WS 垂直于水面,也就垂直于过S 点的切平面,因而重心到浮心的距离WS达到极值。

物体未必是均质,因而重心位置与外轮廓并没有关联。可以分成两种情形讨论。

(1)  重心在浮心曲面之外,则到该凸曲面的距离仅有最大和最小的两个极值点。后者重心在浮心下方,也就是在支承点的下方,是稳定的;而前者重心在浮心上方,势能最大,因而是不稳定的。请注意,浮心提供的浮力指向浮心曲面的内部

(2)  重心在浮心曲面之内,则重心到该曲面的距离可有多个极值点,以极小值为稳定位置。距离WS 为极小值,等价于WS 小于 S处曲率半径;反之亦然。

不同姿态的浮体在浮心曲面上获得浮力的支承,可以将浮心曲面看成刚体的轮廓线,浮力垂直于过作用点的切平面,正与水平地面支承刚体的特征相同——支承点处法线通过重心、重心高度达到极值以及重心与支承点距离达到极值,三者完全等价;稳定平衡时重心到支承点距离必定为极小值。这些都是力平衡和势能极值原理的不同表述而已。

4   浮体平衡等价于重心与浮心的距离达到极值,距离达到极小意味着稳定平衡。这样的命题容易理解,而所包含逆命题重心与浮心的距离达到极值则浮体平衡”的严格证明却有些繁琐,正如前篇博文所说“三维空间有界几何体,若任意平面对其截面为圆面,则该几何体为球”。或许,最著名的逆命题该是“若三角形的两条角平分线相等则为等腰三角形”吧。


以下内容扫描自 科朗 R,罗宾 H. 什么是数学. 左平,张饴慈译. 复旦大学出版社. 2008. P349

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