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几何题中的“同一”

已有 1297 次阅读 2019-9-17 14:02 |个人分类:教学|系统分类:科普集锦| 几何, 同一, 三角形, 九点圆

单博士解答了李斐老师的题目:三维空间有界几何体,若任意平面对其截面为圆面,则该几何体为球。http://blog.sciencenet.cn/blog-401820-1197885.html  

因觉得单博士的证明似可略作简化而参与讨论。经单博士数次置疑后最终修改为:

取一平面A与几何体截成圆面,圆心为O,任取其内一条直径MN

作平面B,使过MN且垂直于平面A,与几何体交线为圆面H

在圆H内作过O点且垂直于弦MN的弦PQ,其垂直平分MN而必为圆H直径;

PQO点且垂直于平面A,与圆O内直径MN的具体位置无关;或者说,

旋转圆O内直径MN,可得到垂直于平面A、与几何体相交的其他圆,皆与圆H 具有“同一”直径PQ,因而几何体为球。

 

“同一”的概念在几何题中是常见的。例如ΔABC3边之垂直平分线交于外心O3条中线交于重心M且分中线长为21。这是容易证明的;其后可以

 

延长OM 与高AE 相交于H,因OD//AE,有ΔMODΔMHA;又因AM = 2MD,有MH = 2 MO 以及AH = 2 DO;请注意, OM 延长2倍的点H 在高AE上,“同一” 一定在另外2条高上,即三角形的三高相交于垂心H

AH 中点P,则AP //= DO //= PH 皆为平行四边形;因而有PDAO 即外接圆半径R,以及PDOH平分于N;请注意,RtΔPDE 之顶点在直径R 、圆心的圆上;另两边相应的6个点也一定在 “同一” 上。 

利用“同一”的概念说明了:在ΔABC中,(1) 三高相交于垂心H(2) 外心O、重心M和垂心H共线,且间距为 12,即Euler 线(3) 三边之中点、垂足以及顶点与垂心之中点总计九点共圆,其圆心NOH 之中点而直径为外接圆之半径。

真是简单啊,如此的证明!古往今来“发现者”想必不少呢,将来肯定还会有许多吧。

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