0    在学院工作群看到教师选岗的条件，真是有趣呢；又想到选麦穗问题：从100个麦穗中选取一个，逐个观察而决定是否选取；选后不得更换！

我曾在博文说了，“观察前37个确定极大值而选取其后出现的更大者(37% 规则)，有37%的可能会落空。……. 倘若看了75个都不能满意，看到第76个时知道已过了3/4、只剩下1/4的历程。您想，既然麦穗随机排列，最好的或许已不能取得；眼前的这个若能进入前三名，大约就是剩余的25个中最好的。在可选中选出可能的最好，才是切实可行的生活态度。怎能说不比前面的都好就不要呢，那是贪婪啊！”

改完两门课程的试卷，离放假还有几天，也就再说几句。 

1   计算机可以模拟选择过程。利用Qbasic 程序在100个（0, 1）之间的随机数进行相应试验。其中B 表示前37个中最大，D 是选取，C 是100 个中的最大；J 是在总计100个数中的大小排序，L 是出现的序号；0 表示未能选取。下表是前30次的试验结果。 

容易知道，只要排序第一不出现在前37个，则选择总能完成，但未必能选到最佳者；若前37个出现的极大值总排序第二，则一定能取得最佳者。从上表还可以看到，数据较少时并无统计规律可言，如排序第一出现在99和100 位各两次，且各有一次被取到呢。 

2  考察数M 当然可以调整，下图是M =15~45时各进行10000 次试验取得的排序1~4 数量；排序5以上的次数较少，以实心圆点●合并给出。蓝线是选取到最佳者的近似期望值 10000* (M/100)*Ln (100/M) ；弃取的期望值 10000*(M/100)。

就取到最佳者的次数而言，考察数M在 25~45 之间差别不大，或者说概率函数 –xlnx 在x = 1/e 达到极大值 1/e =0.3679，但极值点附近变化并不显著—— x = 0.25和0.5 时概率均为0.3466，与极值1/e之差为0.0213，即仅降低了5.8%。从上图看到，该差别与试验10000次的数据波动相当；另一方面，采用较小的M 可以有更多的成功机会，且M = 25时取得前三的几率是70%，而M = 37时只有62%。

据此可以做出判断：仅能选择一次且以最优者为目标，可以先考察25% 而后选择出现的更好者。若以排序前三为目标可采取其他策略，如观察前M1确定极大值B1，其后选择出现的更大者至M2；确定前M2 已出现的次大者B2，以后优于B2 即可选取。下图是M1=20~35时的结果。M1=25~30 时的结果较好，考虑到弃选的数量，M2 在50左右较好。

 最佳者在前M1 且次佳者在前 M2，则上述过程将出现弃选，概率为(M1/100)* (M2/100)。对于M1=25、M2=50 弃选的概率为12.5%，取得前三的概率约为68%；若考察25个后仅选更好者，则前三的概率约70%，但弃选则高达25%。

 3   当然可以考察M1 个后分3个层次选取：选择优于已出现的第一、第二、第三者。下表是总计10000次试验的选取者在100个麦穗中的排序情况。表中给出观察 25或37后选取更大者的结果作为参考。

4  通常所说的37% 规则并不是实际的最优策略：获得最优的期望确实达到最大的37% ，但也有37% 的可能一直等到最后而无可选择。概率极值点附近变化较小，而选择1万次的结果仍存在波动。就此而言，应该依据具体目标采取不同的策略，略述如下。

(1)   若目标是取得第一，则可提前至从第26个开始选择出现的最优者。

(2)  若目标为取得前三，则从第26个开始选择最优者，从51个开始选择最优或次优者，从76个开始选择进入前三者，但有3/32 的概率弃选，即10% 的可能到最后无可选择。

(3)  如果不准备弃选，则可以在 第21个、41个和61个采取上条方案；而若至80个麦穗时尚未选择，则应以剩余数量中可能的最优者为目标进行选择，如第81个若优于已出现的前4名、第91个优于已出现的前9名即可选取。

选择是权利，也需要珍惜呢，因为机会是稍纵即逝啊。此前在博文说过，若是看着第99个，也知道后面还有1个。您会怎么想呢？要是我，这个眼前的麦穗，只要在已展示的99个中排入前50位就行，超过半数就行；除非这个真是不好，才将全部的希望寄予最后。