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量子叠加是完美线性的吗?

已有 3660 次阅读 2018-10-26 08:25 |个人分类:量子力学|系统分类:论文交流| 量子信息, 线性, 非线性, 量子力学

量子的叠加性量子力学的基本原理之一,也是量子信息研究的主要理论基础,没有量子叠加性就没有量子信息,没有量子计算。那么究竟什么是量子叠加性呢?它有什么性质?是普适的吗?受到什么限制?本文将从基本物理理论出发,讨论量子叠加性及其线性条件。

叠加性

叠加(superposition)性,也叫叠加原理,或者可加性,是指,对于一个系统,如果有两个或多个因素能够引起系统变化,系统总的变化是每个因素引起变化的简单相加,就说该系统对这几种因素,满足叠加性。用数学的表达方式来说,如果A使系统产生的变化为X,B产生的是Y,那么A+B产生的总结果就是X+Y。

叠加性在数学上,表达为相加性和齐次性。相加性就是上面说的,也可以表示为:

F(A+B) = F(A) + F(B)

如果A和B是同一个因素,但是量不一样,相加性也可以表示为齐次性:

F(aA) = a F(A)

这里的a是一个任意实数。

满足叠加性的系统叫线性系统。线性系统有很多,可以用代数方程,线性微分方程描述的系统都是线性系统。自变量和函数值可以是实数,矢量,函数,等。

量子叠加性

量子力学认为世界是由量子构成的,量子的行为必须满足薛定谔方程,而薛定谔方程是一个线性方程,所以量子的行为必然满足叠加性的要求。换句话说,量子的波函数一定是薛定谔方程的一个解,而薛定谔方程有很多解,这些解的任意线性组合也是薛定谔方程的合法解。

对于一个量子,还有一个显然的要求,就是虽然有很多可能,但是全部加起来必须只有一个量子,这叫波函数的归一性。因为量子的定义就是一份一份的物质或物理量,如果没有归一性,就没有量子化了,也就不需要研究量子了。

也可以说,量子的叠加性来自其波动属性,因为所有的量子同时也是波(波粒二象性),而波满足薛定谔方程。

举个例子,如果原子核外面有一个电子,电子有很多可能的轨道,那么电子可以处在一个轨道上,或者同时处在多个轨道上(不同能量本征态的叠加)。用数学式表示,如果轨道1是X,轨道2是Y,那么电子同时处在轨道1和2的表达式是:

aX + bY

其中a2+b2 = 1,即归一性条件。a2是电子处在轨道1的几率,b2是电子处在轨道2的几率。

到此为止,应该都还好理解,因为都是简单的数学(真的理解了吗?一个电子怎么同时处在两个轨道上?更多地,薛定谔的死怎么同时处在活态和死态的叠加态上?)。

一些隐含的假定

前面讨论的主要是数学定义,只要假定的条件成立,后面的推论是自然的。但所有的假定都是前提,对于任何一个真实的物理问题,假定成立不成立需要论证。

我们看看前面有几个“如果”。

叠加性的定义中,我们说了“如果有两个或多个……”。这里的“如果”是说,如果系统真的是线性的话(“线性”和“满足叠加性”定义的内涵是一样的),那就满足叠加性,所以我们假定了系统是线性的。也可以说,我们假定了系统是满足叠加性的,那么可以数学地表达为上面的相加性和齐次性。再换句话说,没有人保证系统是线性的,只是如果线性的话,那么可以表达为怎样怎样。

“如果有两个或多个因素……”中说到的“两个或多个因素”,也有一个隐含的假定,就是这几个因素应该没有关系,也就是因素A不能影响因素B,等等。这叫线性空间不同维度之间的正交性要求。在量子力学语境中,叫力学量完全集中基的正交性要求。

实际上,这个假定可以放宽一点,也就是几个因素之间应该没有非线性相关,或者说,可以通过线性变换,将线性相关消除,只剩下正交的部分(对角化,正交化)。

我们在讨论量子叠加性的时候,说到“量子力学认为”,这里面的“认为”也是一个假设。虽然说这个假设,包括波粒二象性,在学术界认可度很高。本文并不质疑这一假设,认为该假设有效。同时我们还接受了波函数的几率解释。

但是,必须指出,薛定谔方程是一个非相对论方程,也就是非相对论情形下量子行为满足的方程。也就是说,我们隐含地假设了量子的行为是非相对论的。而非相对论意味着:

l  光速无穷大。

l  空间各处的时间同步。

l  一次事件(测量,坍缩)瞬时在全空间发生(如果不是局域事件)。

l  光子(如果存在),是充满全(宇宙)空间的平面波。

l  任何一个量子,只要不处在无限深势阱中(局域),波函数也充满全空间,而物理上的无限深势阱是不存在的。

非相对论假定是一个很弱的假定,只在特殊条件下近似成立。

量子体系线性假定的合法性

根据上面的讨论,如果满足我们前面所有的隐含假定,量子的叠加性是普适的。这正是量子信息研究中,量子信息叠加性巨大优势的理论基础。

除掉相对论,我们把前面一节的各种隐含假定可以归纳为一句循环论证:如果系统是线性的(因素是线性的,因素产生的影响是线性的),它就是线性的。

因此,上面那句话也可以表达为:系统的线性,或者说,系统的完美线性,是量子信息叠加性巨大优势的基础。

那么一个量子体系究竟是不是线性的呢?

虽然相对论的量子力学不一定是非线性的,但是我们现在用得最多,最成功的量子场论认为,我们实验室中观察到的所有物理现象(主要是电磁现象),都是非线性的。任何一种相互作用,都非常复杂,原则上存在无穷阶相互作用,即使只有一个单独的基本粒子。

比如电子。标准模型认为,电子已经是最基本的粒子,没有结构,但是,电子至少要存在于真空中,而它与真空有非常复杂的相互作用,根本不可能全部写出来。量子场论可以将电子的自能,自旋g因子等性质计算得非常精确(12位有效数字),但是很难更精确,因为往后太复杂了。其它基本粒子也一样,因为真空的属性,即使单个粒子,也参与多体相互作用,而多体相互作用都是非线性的。而由基本粒子构成的复合粒子,如原子核,原子,当然更复杂。

举一个简单的例子,一个氢原子,电子处在激发态上。通常情况下,电子无法保持在激发态上,会迅速退激发,回到基态。为什么呢?我们说激发态不稳定,因为电子跟真空,跟原子核,存在各种各样的相互作用,其中有一种作用,让它回到稳定的基态,并放出能量,如果没有一个外来的能量把它激发上去,它就会待在基态上。基态是最低能量态,这时候,还是存在各种各样的相互作用,它还是在做各种尝试,但是没有外部条件支持,看起来就是待在基态不动。

如果电子,或者说氢原子是完美线性的,激发态是一个符合薛定谔方程的合法轨道,如果没有剩余的相互作用(非线性作用),电子应该一直维持在激发态轨道上,因为不存在让它发生变化的机制。别的轨道跟这一条轨道一点关系都没有(正交性的要求),也就是电子根本不知道其它轨道的存在。可是这样的话,也不存在电子从基态激发到这一条轨道的机制了。

所以,从基本相互作用的角度来说,完美线性的物理体系是不存在的。如果存在,一定跟我们这个世界没有关系,否则该体系无法保证自己的完美线性。

完美的线性世界是什么样的?

非线性相互作用,是我们这个世界的物理基础。没有非线性,就没有我们这个世界。但是我们仍然可以想象一下,一个完美线性的世界是什么样的。

在一个完美的线性世界里,由于缺乏相互作用,或者说,缺乏引起不可逆状态改变的相互作用,它的熵是守恒的(刘维定理),也就是,世界的混乱度不会改变。对很多人来说,这样的世界完美地有序,真的是非常完美,呵呵。

可是,熵不变,这样的世界就没有热力学了,也就没有热力学时间了,也就没有耗散系统了,像我们这样的生命就不会存在了。

一个没有时间的世界,没有变化,或者只有循环的变化。这样一个世界是死亡的世界,跟我们很早的时候担心过的宇宙命运——热力学终结(热寂)——是一样的。热寂是熵达到最大,所以死亡,完美世界是熵不变,也是死亡。

为什么完美线性的世界不存在?因为不完美线性的我们存在。

顺便说一句,霍金曾经证明过黑洞的量子信息守恒,就是用的完美线性假设加超距量子纠缠假设。这两个假设也是量子信息理论的基本假设。微观过程量子信息守恒,或者熵守恒,将导致宏观的熵守恒,这显然是一个荒唐的结论。国际上接受这一理论的物理学家并不多,但在国内基本上被“科普”成高深的真理了。

对于一个量子信息体系,比如量子计算机,在完美线性的条件下,就是会变得像现在量子信息研究者设想和主张的那样美好:无穷精确,很少的量子位可以存储海量的信息,可以达到很大的并行度,计算可以无穷快(因为光速无穷大)。

但在一个真实的、不完美的、充满非线性的、由相对论控制的世界里,量子信息体系是什么样的呢?存储的信息不可信,信息的存储和操作都会受到非线性效应的影响,最后体系的状态不是由计算的操作决定,而是由热力学决定,或者说热力学将起到重要作用。随着量子位数目和并行度的增加,不可控制的热力学效应越来越重要,非线性效应将主导体系的演化,计算的结果将大大偏离设计的线性计算目标。

设计和操作一个量子体系仍然是有可能的,但是认为其中只有线性作用是肯定不对的。

可是在量子信息的理论框架中,找不到非线性这个词汇。所有的数学表达式中,只有一种数学运算——加法。好吧,公平地说,用到了所有线性运算。

理想体系与真实体系

在通常的科学和工程应用中,有大量的线性系统。那么是不是说,线性系统大量存在呢?我们看看常见的典型系统:

l  单摆:无穷小幅度的单摆是线性的,小角度单摆是近似线性的,大角度单摆是非线性的,复合摆是非线性的。

l  :理想的波是线性的,条件是没有任何相互作用。真实的波存在色散,耗散,波波相互作用,等非线性效应。

l  天体系统:只有两个刚性的牛顿引力天体系统是线性的,少体系统在特殊条件(满足一定对称性等)下是线性的。真实系统有各种非线性因素,广义相对论效应,不是刚体,多体混沌效益,太阳风剥离,等等。但在演化时间很长的,以一个主恒星为中心的天体系统中,短时间内,可以认为是线性的。

l  流体:宏观微观角度都是非线性的。有一种理想的可逆流体。

l  电路:理想的电路是典型的线性系统,但隐含了下述条件:低频,材料性质不随电流电压等参数变化,无自感,等等。

l  刚体力学:理想刚体是线性系统。线性条件就是“理想”,硬度无穷大,不变形,无耗散。

l  量子体系:完全满足(非相对论)薛定谔方程的量子是线性的。真实的量子存在与真空的相互作用,高阶作用等非线性效应,不可忽略。

 

从上面常见物理系统的例子可以总结出来,线性成立的条件就是“理想”,也就是所有的真实体系都不是线性的。

在量子信息情形,是不是也存在足够“理想”的线性系统,可以忽略其非线性效应?这的确是值得研究的一个问题。一个量子体系可不可以认为是线性的?非线性效应对对量子信息影响到什么程度?每一类方案和研究都应该做细致的评估。但是像无穷精确,无穷并行,无穷快,等,这样的要求是不可能满足的。非常精确,非常快,大并行度需要有一个评估的标准,但可惜到目前为止,量子信息的理论基础都是理想线性加非相对论。“量子霸权”,传统加密算法破解,都需要完美线性。

 

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