测量问题的出现

测量本来是一个经典概念。经典的科学或工程中，测量指用一定的方法，得到一个客体某一属性的数值结果。比如，用尺量一个物体的尺寸（长、宽、高，等）。测量得到的数值必须有一个单位，该单位是一个约定的标准。比如长度的单位有米，尺，等等。这里暂不讨论社会科学和行为科学中的测量概念。

一般人对自然科学及工程中测量的定义没有疑问。要得到同样的属性，可以有不同的测量方法。经典测量覆盖的内涵并不简单，涉及诸多定义，标准，方法等。有专门的标准与计量研究单位，以及相应的国家和国际标准。

在科学或工程中，讨论测量有一个容易被在理论上忽视，但是不可或缺的概念，就是误差。工程中，专门有一门课程，叫做《公差与配合》，就是专门讨论如何处理因测量误差导致的组件配合问题的。科学实验中，任何测量得到的数值，都必须给出置信度，即方差大小，也叫误差。

误差的处理，是工程与物理实验的重要内容。

误差分为系统误差与随机误差。系统误差是因为测量方式，测量条件等引起的系统偏离。随机误差每次观测都不一样但是围绕真实值变化。注意：“真实值”同样是有误差的，不存在精确的真实值。

一般情况下，误差的来源很多。

比如，用一把千分尺测量一个球的半径。球体的几何规则度，表面的平整度，测量时压力造成的变形；温度，压强，振动的影响；千分尺螺旋松紧，测量面的光洁度，平行度，标度误差，读数误差，等等。在各种努力之下，工业上千分尺的测量精度在10微米左右，已经小于人体细胞的平均大小。

再比如用红宝石的测量头(坐标探针)测量一个部件的几何外形，为了减少误差，必须减少探头自身的变形，所以用硬度很高的红宝石，还需要尽量减少探针的受力，还有温度和振动的影响，以提高针头的定位精度。工程测量，精度达到1微米就很高了。

经典科学或工程测量，已经是比较理想化了。

一般把经典测量误差的来源归因于量子效应。

要注意，误差与不确定性还不是一回事。误差对应一个合理的中间值（期望值），但不确定性原则上没有期望值。以货物或者服务的价格为例。成本是有比较确定的数值的，但价格可以偏离成本很多，上下都有可能。与计算成本有关的是误差，与确定价格有关的是不确定性。

无论是否到量子层次，测量的误差是不可避免的，原则上就不可以。

即使在经典条件下，测量对客体的影响，或者改变，也是难以避免的。比如接触和光照都可以引起表面变化。虽然一般认为这些变化影响不大。

在非自然科学领域，测量的误差及受到观察者的影响都更明显。

比如甲男喜欢乙女，向乙表达爱意，想知道乙是否也喜欢自己。显然男的个人情况，表达方式，都将影响从乙得到的答案。再比如旅游区的小贩卖东西，价格就与客人的身份，地域，穿着，情绪表现有关。如果是爬山，小贩的报价还会根据客人是在上山还是在下山变化巨大。

经典测量理论中不讨论认知主体，也就是人的影响，认为执行测量的人必须是客观的。但是，从认知的角度，测量不仅与被测量的客体有关，与测量仪器和使用的方法有关，还与执行测量的人有关。测量者可能是无心之过，可能是系统性的疏忽，也可能是故意制造或者修改测量结果，比如数据造假。

因此，我们得到关于经典测量的几点启示：

1、误差不可避免。误差不等于不确定性。

2、测量将影响客体，或者改变客体。

3、测量与测量执行人，或认知主体，有关。

还有一个隐含的启示。该启示在理解量子计算与传统计算差别的时候非常重要，但是却被忽视了。这个启示就是，任何物理量都是不确定的。无法得到任何一个物理量的确定数值，也就是无限精确的数值。

物理学中一般并不讨论测量的问题，但是的确需要定义测量必须的基本物理常数，比如长度，质量等。系统地讨论测量与误差问题，主要在工程应用中，因为工程中不同部件的配合需要保证加工精度，加工和测量的精度都非常重要。

在量子力学出现之前，测量关心的是标准的定义和测量精度，测量方法或者可靠性并不是一个问题。

在量子力学出现之后，测量概念本身才成为一个问题。

哥本哈根诠释下的测量

量子力学中的测量，一般是指哥本哈根诠释下定义的测量。量子力学的科普介绍中，都会专门讨论“量子力学测量问题”。对量子测量的解释，也是哥本哈根诠释的中心内容。

哥本哈根测量的一般表述是：操作或者测试一个物理体系，以得到一个数值结果。

这一测量定义与经典定义并没有差别。也就是通过测量装置作用于物理体系，以得到一个数值结果。比如用尺子或激光测量一个物体的长度。

这里的问题来自于“物理体系”的定义。经典测量对于被测量的客体一般没有疑议。经典测量认为，存在一个不依赖测量过程的客观实在，测量将得到这个客体的信息。但量子的“客体”定义不一样，玻尔认为测量之前并不存在一个“客观实在”。测量之后才可以讨论“实在”。

从量子的定义来说，对量子的测量也不同于经典的测量。因为量子就是其波函数，也就是每个本征态概率幅的叠加，无论是表达为矢量，叠加，求和，还是积分形式。其中的本征态是该系统所有的可能值。概率幅不同于概率。它是一个复数。其模方(modular square)才是该系数对应本征值出现的概率。换句话说，量子就不是一个实在的东西。它的数学表达中就不是字面上的“实在”，因为它含有“虚”的成分。这与玻尔的量子物理实在性解释是一致的。

量子波函数概率幅的描述是波恩(Max Born)提出来的，他也因此获得了1954年的诺贝尔物理奖。波函数为概率幅的中心意义就是，对该波函数或量子的测量结果为本征值的概率投影。

本征值概率投影

在哥本哈根诠释中，量子就是其波函数，而波函数就是每个本征值的概率幅集合。如果一个量子的本征态是|1>, |2>, |3>, ...，对应的概率幅为a1, a2, a3, ...，

不同的本征态一般对应不同的本征值，即某一个物理量的数值，如能量，动量，位置，等。本征态之间必须是正交的，也即任何两个本征态的内积为零。更直观地说，就是本征态之间毫不相干。比如，不同的正交坐标分量，不同的频率，等。如果有不同的本征态对应相同的本征值，叫做简并。

哥本哈根诠释认为，对一个量子态的测量，只能得到其本征态对应的本征值。对于一般的束缚态，由于能量本征态对应的能量是分立的，因此只能得到离散的能量值。如果测量束缚态的动量，坐标等，则有一个连续分布。

测量量子态，得到某一本征值的概率，取决于该本征值对应本征态的概率幅。如果一个量子态为：

|psi> = a1|1>+ a2|2>+a3|3>+...

其中所有系数a1, a2, a3, ...的绝对值平方和为1，即归一性。本征态|1>对应的能量本征值为1，|2>为2，……。

测量|psi>得到能量为1的概率就是|a1|^2，2为|a1|^2，……。如果有能量简并，另外处理。

坍缩

哥本哈根诠释测量，除了本征值概率投影之外，还有一个关键。即测量导致了量子态的变化。本征值投影并不需要量子态的变化。但玻尔和海森堡认为，对一个量子态的测量，将导致量子态坍缩到测量到的状态。也就是对初始量子态

|psi0> = a1|1>+ a2|2>+a3|3>+...

进行测量，如果得到了本征值1，那么，测量之后的量子态为

|psi_f> = a_f|1>

其中的a_f是一个绝对值为1的任意复数，即任意相因子。

测量导致|psi0>到|psi_f>的变化是哥本哈根诠释测量概念的关键，也是争议最大的一点。批评者认为，“坍缩”没有物理依据，且会导致物理量前后不连续，包括能量不守恒，角动量不守恒等违反基本物理定理的事件。

坍缩是瞬时的，不需要时间。

我对坍缩概念的批评还包括：坍缩后的态仍然是一个量子态，该量子态仍然应该按照量子力学的要求演化，对后续态进行测量，将导致坍缩概念不自洽；如果测量到的本征值是简并的，最后的量子态仍然不能确定。

玻尔对不连续性批评的回答是，测量之前客观实在不存在，测量后才可以讨论。玻尔的回答，在公式体系上，与波函数的复数定义，字面上是符合的（not real，不是实的）。不过字面上的符合不等于物理意义等价。

所以玻尔认为作为量子的数学表达——波函数——并不是物理实在。这一点在薛定谔猫的争论中尤其明显。但是坍缩后的本征态却是物理实在。对于这一点，玻尔的回答是，这时候已经是经典态。如果坍缩之后变成经典态，那么量子测量坍缩到本征态的说法也不对了，因为根据定义，本征态就是量子态。玻尔至少需要明确经典本征态与量子本征态的关系，不能随意替换。

由于波函数不是物理实在，它的坍缩速度并不对应任何物理速度，所以不需要回答“瞬时性”，即无穷大速度的问题。

量子测量只能测量可观测量。经典的物理量都是可观测量。波函数不是可观测量，也不是概率。原则上它的每一个概率幅都是复数。所以从字面意义上来说，它不是一个实在的东西。

坍缩后的值是确定值，与经典测量的不确定值不同。经典测量读到的值就是不可信的，哥本哈根测量认为读到的就是客观实在（这里并没有细致的讨论，但原则上是这样，也可以把误差归咎于经典设备的误差）。

全局近似诠释的测量

全局诠释的测量概念，与经典测量概念是一致的。从定义上来说，也和量子力学的测量一致，即操作物理客体，获得一个数值。

无论是经典的测量，还是量子的测量，一般都会改变客体的状态。只不过在经典条件下，一般认为测量对客体的影响不重要，可以忽略。这里，不考虑社会科学或者行为科学。

一般来说，哥本哈根测量将显著影响客体(量子)的状态，即量子态坍缩。初末态一般有很大的差别。除非初态本来就是单一本征态。

无论是经典测量，还是哥本哈根测量，实际上都有相互作用，即影响。只不过经典测量认为，测量中的相互作用对原有客体性质的改变可以忽略，而哥本哈根测量认为客体会发生显著改变。但是，哥本哈根测量并不表现为具体的相互作用，而只是波函数的瞬时坍缩。

全局诠释认为，所有的量子态都是所有相互作用在系统所在的势函数条件下建立起来的全局模式。测量也一样。根据测量装置与被测量客体相互作用的特点，可以分为两种极端情况。

第一种情况是，测量装置对客体的影响可以忽略，比如我们观察月球，以及各种经典测量。注意这里的影响仍然是有的。

第二种情况是，测量装置深度影响被观察的客体，甚至与客体共同作用，产生新的状态。比如我们观察原子在磁场中的行为，会发现原子本身被磁场影响了，产生能级分裂。全局诠释对纠缠态和电子自旋的解释，都是这种情形。以光子纠缠实验为例，全局诠释认为两边探测光子的偏振片有反光，造成“产生光子对”的级联辐射晶体顺着两边偏振片方向的光因为有反光加强而占优势，也就是探测行为产生了占优的两种方向偏振光。这一图像可以通过实验验证。

在量子，也就是微观尺度，第二种极端情况是普遍发生的。各种双缝干涉实验也应该同样理解。实验布置本身，形成了各种干涉条件，最终结果是整体实验干涉布置的反映。

全局诠释的测量，取决于测量与被测量客体之间的相互作用本身的性质。它可以与经典测量类似，如“月亮是否存在？”；也可能产生全新的物理系统，如能级分裂的原子，和与探测装置关联的电磁辐射场，如“光子纠缠”实验。

哥本哈根诠释的测量概念将量子测量与经典测量分开。全局诠释的测量概念同时兼容经典测量和量子测量。在测量方法对客体影响小的情况下，与经典测量一致。在影响大的情况下，与量子测量一致（更确切地，是量子达尔文测量，而不是哥本哈根测量）。

几种测量概念比较

经典变化是物理的，比如变形，表面效应，等。量子变化是量子态的变化，概率从一个分布变成某一个本征值概率为1，其它为0。哥本哈根测量的变化是非物理的，过程不连续，物理守恒量不守恒。

(1）导致坍缩不算相互作用，因为不是物理过程。

举例，干涉实验：

经典：波动现象。

哥本哈根诠释：波粒二象性。

全局诠释：全局条件信号远远强于粒子，粒子行为由实验设定产生的干涉路径决定。

更多的讨论：

测量就是相互作用，而相互作用本来就很复杂，存在多阶效应（费曼图的类比）。

测量的信号本来就有强弱，强信号如月亮存在问题（但是存在观察者和表述者的问题）。弱信号，如远古发生的事件，古代书籍，失传的文字等。所以需要训诂学，考古，还会争论不休。

社会科学和行为科学中的测量非常依赖互动，也就是测量主体与客体的相互作用很强。比如谈判，就是不断互相摸底试探。

全局近似诠释的测量，认为整体构成相互作用系统，包括测量主体，认知主体，以获取关于被测量客体的信息。但是，每次只能获取部分信息。信息还有稳定性，是否受观测主体和方法的影响，也可能产生新的全局状态。

确定性测量

形成本征态的测量，可能包括电子自旋，纠缠态

不形成新本征态的测量，一般不影响客体的状态，

中间情况，transient，瞬变过程，量子力学不处理中间过程即状态，而是简单从原始理想态“坍缩”到最后的理想态

概率性测量

广义测量

广义的测量包括对任何客体的描述，即超出数值属性的描述，关于任何客体的部分语言表述，对表述本身还有测量，即不同人的理解

认知和表达都是测量，二者之间也构成测量

同样的表述可以有不同的内涵

数值测量既与客体有关，也与测量者，即测量设备或观察者有关。客体可以产生变化的信号（一般当做随机的），测量设备也会发生偏差，系统本身也会受到外界的干扰。

POVM

测量的公式化