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数学量子位与物理量子位的差别 精选

已有 9615 次阅读 2018-9-11 09:10 |个人分类:量子力学|系统分类:科研笔记| 量子力学, 量子信息, 量子计算

 

量子位的定义

量子信息,包括量子计算,量子通讯,量子密码学等,现在已经成了一个庞大和热门的学术领域。我从上世纪九十年代初接触量子信息,但一直对其理论基础心存疑惑。本文将讨论量子信息理论中最基本的一个概念,量子位。

量子位(qubit, quantum bit)是量子信息的基本单位,它对应于经典信息论中的基本信息单位——位(bit)。经典的位概念是指任何一个二态体系(元件),只能取值其中一个状态,一般标记为0,1。一个经典位只能是0或者1。而量子位同样取一个体系(元件)的两个状态,但其状态可以是两个状态的任意线性相干叠加态:

这里是量子位,0和1是两个状态的純态,ab是两个复数,分别表示量子位处于0态和1态的几率幅,需保证归一:

由于ab之间还可以有一个任意的相位差,因此一个量子位需要两个任意 的实数来表达(布洛赫球表示):

所以一个量子位有无穷多个状态。

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Bloch_sphere.svg/220px-Bloch_sphere.svg.png

量子位的布洛赫球(Bloch Sphere)表示

 

注意这里的“线性”“相干”“叠加”几个关键词,一个词都不能少。“线性”表示两个状态是平等的,在量子位中的重要性(比例)由前面的系数决定;“相干”表示两个系数之间有固定的相位差,“叠加”表示两个组分的简单相加。

这就是量子信息中的量子位概念。量子信息相关研究中,只有量子位的概念,而不区别该概念的数学属性和物理属性。从来没有人讨论过数学量子位和物理量子位的区别,或者说,认为这两个概念是一致的。

量子位的信息量悖论

在经典计算中,一个物理的经典位和一个数学的经典位,概念上是一致的,这是现代信息科学的基本假定。该一致性由技术保证。经典数据可以在物理上可靠实现,操作可以正确完成。但一个数学的量子位没有物理对应,物理上无法实现。基于数学量子位定义的所有推论都是数学推导,跟物理实现无关。

量子信息领域定义的“量子位”,只是一个数学的定义,不是物理的定义。根据该定义,一个量子位具有无穷大的信息量。

我们先来看看经典位和量子位的具体形式:我们知道,在现代信息技术中,一个经典位(bit),需要很多个原子(一个稳定的宏观状态,磁盘和内存需要上百万的原子,自然存储效率最高的DNA需要几十个原子)才能保证比较可靠地表达一个最小信息量的信息。而一个量子位,可以用一个原子甚至一个电子或者一个光子表达一个信息量无穷的信息。这一点也常被解读为量子信息具有巨大优势的原因。

难道这里没有问题吗?

当然有。我们先看一个物理的量子位是什么样的。

一个物理的量子位,比如一个电子的自旋,或者一个原子的基态与激发态的叠加,我们假定它的确处于某一状态(无穷可能性中的一个)。一个经典位,处于两个状态中的一个,每次必须保证正确读出,这个位表达的信息才有意义。但一个单独的量子位,它的信息是绝对无法读出的。你可以读出一个数,但是无法知道这个数是不是该量子位的值。所以,一个单独的量子位,根据其数学定义,存储的信息量无穷大(两个实数ab),但能提供的信息是0,也就是根本没有信息。读出操作本身,在读出信息之前,就将毁掉量子位存储的信息,如果以前有的话。

所以,一个数学的量子位信息量无穷大,但一个物理的量子位信息量为0。

物理量子位无法读写

一个任意的量子位,既无法读,也无法写。

计算,就是信息处理。信息首先要进入计算设备,也就是必须写进去。量子位首先无法写进去相位信息,几率幅系数也写不准。

为什么呢?我们可以看一看,量子位波函数是怎么得到的。为了得到量子位的波函数,我们必须解量子位的薛定谔方程。薛定谔方程是一个波动方程,或者说是一个微分方程。对于薛定谔方程,影响其解的因素有势函数,边条件。其实,对于一般的微分方程,还需要一个初条件,但传统的量子力学计算中,对薛定谔方程的解是求解一个局域势函数下的本征态,而不考虑量子的初始状态。解出来的波函数是一些通解,与量子的初始条件无关。但是本征态的线性叠加仍然满足薛定谔方程,也就是,满足边界条件的解有无穷多个。

那么如何才能将一个量子位制备为特定的状态呢?显然,薛定谔方程不能提供解决方案。也就是,不能通过设置一个特定的势场(这是宏观上唯一能做的操作),让量子位处于某个值。那么,究竟是什么原理让量子位处在什么状态呢?这套理论叫做量子统计,也就是关于量子的热力学。量子统计讨论量子在各种可能状态的分布。对于量子计算应用,热力学有一个讨厌的性质,就是量子的状态不固定,随时在变化。变化的幅度和快慢与温度有关。一个热平衡的体系是没有信息的,因为熵已经最大,而信息是负熵。因此只能靠一个外来的能量或负熵源为系统带来一个偏离热平衡的状态,比如对于一个基态-激发态量子位,可以用一个激光脉冲将基态激发到激发态。但是这里有一个问题,对于很多个量子位,激光能够造成一定的偏离热平衡的布居分布,但对于每个特定的量子位,无法知道它究竟处于哪个特定的状态,也就是无法知道量子位的线性系数ab

如果有温度,情况更复杂。因为环境的辐射会引起涨落。

如果没有温度,也就是处在绝对0度,好像可以不考虑辐射涨落的影响,但是根据量子场论,不存在空无一物的真空。所以,永远都存在环境引起的涨落。

也许有人会说,那只是误差,误差是可以控制的。在经典条件下,这句话在一定程度上是对的,但在量子条件下,这种误差,或者说不确定性,是本质的,不可能消除。也可以说,消除的代价是回到经典,因为可以忽略量子效应。当然,这样的话,信息就回归经典了,量子信息就不存在了。

量子位如果被制备为某一本征态,可能比较准确,并能维持较长时间,虽然这种维持可能来自于测量效应,而不是态本身的稳定性。但是,通用计算需要量子位在任意叠加态都维持一定的稳定性,否则该值不可信,计算也就不可信。

传统上,我们求解量子力学问题,会求体系哈密顿量的本征值,并认为体系会自然处于基态。也就是说,自然地制备了一个处于能量基态的量子(体系)。同样,这只是一个数学结果。这一结论要求如下假设:

第一,哈密顿量完整,也就是不存在其它剩余相互作用。

第二,体系处于绝对温度为零K的环境中。

做过原子分子能级计算的研究者们知道,即使对于一个简单的原子体系(比如仅有两个电子的氦原子),哈密顿量写完整也是一个不可能完成的任务。不可能从第一性基本原理出发,写出一个完整的非相对论哈密顿量,如果我们承认场论的基本原则。

也就是说,原则上不可能制备任何一个确定的量子态。

那么,能不能制备一个比较可信的量子态呢?由量子统计的原则,只要能隙足够宽,温度足够低,量子能够可信地处于能量基态。当然这里还要求不存在基态与其它能级之间的高阶相互作用。

制备一个能级基态的要求都那么苛刻,那么任何一个包含能量激发态的量子态純态当然就成了一个不可能完成的任务。

作为一个特例,我们讨论一下原子的长寿命能级问题,或亚稳态问题。特殊条件下,有些原子的能级具有很长的寿命,可以达到几千秒。那么是不是可以说,如果我们把这样一个原子激发到该亚稳态,就可以可信地认为它处于该激发态呢?我们看一下这类实验的过程:在一个离子阱或原子阱中,将一群离子或原子冷却到绝对零度附近,再用一束激光激发捕获的原子(离子)到亚稳态,然后可以得到单色性非常好的激光脉冲。要注意,在这一过程中,电子并不是停留在激发态上,而是不停地来回跃迁,所以这一过程并没有制备一些处于亚稳态的原子,而是电子在不停振荡的原子,无法知道任意时刻,任意原子上电子的状态。

以上的讨论有一个前提,就是量子位的两个状态之间存在能量差。如果不存在呢?比如光子的不同偏振状态。这时没有讨厌的量子统计原则,两个偏振状态也几乎没有相关性。光子的确是最好操作的量子位,如果偏振态容易精确制备的话。衡量偏振态单向性有一个指标,叫做偏振消光比(Polarization Extinction Ratio, PER),或简称消光比,即两个偏振分量强度的比值,通常只有几百分之一,虽然好于大多数别的量子位方案,但是离实用计算的要求差得远。光子作为量子位,应用中还有很多别的问题,比如光子与物质的相互作用,单光子的探测等。

物理量子位的其它性质

l  量子位不可拷贝(不可克隆定理),不可广播。

l  量子位不可删除(清0)。

l  一个量子位或者量子字节(量子寄存器),加载(encoding)的信息越多,信息越不可靠。

l  利用叠加性的自然并行计算,并行度越高,计算越不可靠。

l  现有的量子信息理论认为,通过量子纠错,原则上可以存储量子信息。我不认同这种说法。我认为这里要遵守玻尔的互补原理,信息保存得越可信,体系越经典。量子信息可以可信地存储,但是它将丧失它的量子属性。

l  舒尔算法(大数分解算法)需要无限精确的量子位。要对现有传统加密算法构成威胁,需要精度上千位十进制数的量子位和操作。


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