量子的叠加性量子力学的基本原理之一，也是量子信息研究的主要理论基础，没有量子叠加性就没有量子信息，没有量子计算。那么究竟什么是量子叠加性呢？它有什么性质？是普适的吗？受到什么限制？本文将从基本物理理论出发，讨论量子叠加性及其线性条件。

叠加性

叠加（superposition）性，也叫叠加原理，或者可加性，是指，对于一个系统，如果有两个或多个因素能够引起系统变化，系统总的变化是每个因素引起变化的简单相加，就说该系统对这几种因素，满足叠加性。用数学的表达方式来说，如果A使系统产生的变化为X，B产生的是Y，那么A+B产生的总结果就是X+Y。

叠加性在数学上，表达为相加性和齐次性。相加性就是上面说的，也可以表示为：

F(A+B) = F(A) + F(B)

如果A和B是同一个因素，但是量不一样，相加性也可以表示为齐次性：

F(aA) = a F(A)

这里的a是一个任意实数。

满足叠加性的系统叫线性系统。线性系统有很多，可以用代数方程，线性微分方程描述的系统都是线性系统。自变量和函数值可以是实数，矢量，函数，等。

量子叠加性

量子力学认为世界是由量子构成的，量子的行为必须满足薛定谔方程，而薛定谔方程是一个线性方程，所以量子的行为必然满足叠加性的要求。换句话说，量子的波函数一定是薛定谔方程的一个解，而薛定谔方程有很多解，这些解的任意线性组合也是薛定谔方程的合法解。

对于一个量子，还有一个显然的要求，就是虽然有很多可能，但是全部加起来必须只有一个量子，这叫波函数的归一性。因为量子的定义就是一份一份的物质或物理量，如果没有归一性，就没有量子化了，也就不需要研究量子了。

也可以说，量子的叠加性来自其波动属性，因为所有的量子同时也是波（波粒二象性），而波满足薛定谔方程。

举个例子，如果原子核外面有一个电子，电子有很多可能的轨道，那么电子可以处在一个轨道上，或者同时处在多个轨道上（不同能量本征态的叠加）。用数学式表示，如果轨道1是X，轨道2是Y，那么电子同时处在轨道1和2的表达式是：

aX + bY

其中a²+b² = 1，即归一性条件。a²是电子处在轨道1的几率，b²是电子处在轨道2的几率。

到此为止，应该都还好理解，因为都是简单的数学（真的理解了吗？一个电子怎么同时处在两个轨道上？更多地，薛定谔的死怎么同时处在活态和死态的叠加态上？）。

一些隐含的假定

前面讨论的主要是数学定义，只要假定的条件成立，后面的推论是自然的。但所有的假定都是前提，对于任何一个真实的物理问题，假定成立不成立需要论证。

我们看看前面有几个“如果”。

叠加性的定义中，我们说了“如果有两个或多个……”。这里的“如果”是说，如果系统真的是线性的话（“线性”和“满足叠加性”定义的内涵是一样的），那就满足叠加性，所以我们假定了系统是线性的。也可以说，我们假定了系统是满足叠加性的，那么可以数学地表达为上面的相加性和齐次性。再换句话说，没有人保证系统是线性的，只是如果线性的话，那么可以表达为怎样怎样。

“如果有两个或多个因素……”中说到的“两个或多个因素”，也有一个隐含的假定，就是这几个因素应该没有关系，也就是因素A不能影响因素B，等等。这叫线性空间不同维度之间的正交性要求。在量子力学语境中，叫力学量完全集中基的正交性要求。

实际上，这个假定可以放宽一点，也就是几个因素之间应该没有非线性相关，或者说，可以通过线性变换，将线性相关消除，只剩下正交的部分（对角化，正交化）。

我们在讨论量子叠加性的时候，说到“量子力学认为”，这里面的“认为”也是一个假设。虽然说这个假设，包括波粒二象性，在学术界认可度很高。本文并不质疑这一假设，认为该假设有效。同时我们还接受了波函数的几率解释。

但是，必须指出，薛定谔方程是一个非相对论方程，也就是非相对论情形下量子行为满足的方程。也就是说，我们隐含地假设了量子的行为是非相对论的。而非相对论意味着：

l  光速无穷大。

l  空间各处的时间同步。

l  一次事件（测量，坍缩）瞬时在全空间发生（如果不是局域事件）。

l  光子（如果存在），是充满全（宇宙）空间的平面波。

l  任何一个量子，只要不处在无限深势阱中（局域），波函数也充满全空间，而物理上的无限深势阱是不存在的。

非相对论假定是一个很弱的假定，只在特殊条件下近似成立。

量子体系线性假定的合法性

根据上面的讨论，如果满足我们前面所有的隐含假定，量子的叠加性是普适的。这正是量子信息研究中，量子信息叠加性巨大优势的理论基础。

除掉相对论，我们把前面一节的各种隐含假定可以归纳为一句循环论证：如果系统是线性的（因素是线性的，因素产生的影响是线性的），它就是线性的。

因此，上面那句话也可以表达为：系统的线性，或者说，系统的完美线性，是量子信息叠加性巨大优势的基础。

那么一个量子体系究竟是不是线性的呢？

虽然相对论的量子力学不一定是非线性的，但是我们现在用得最多，最成功的量子场论认为，我们实验室中观察到的所有物理现象（主要是电磁现象），都是非线性的。任何一种相互作用，都非常复杂，原则上存在无穷阶相互作用，即使只有一个单独的基本粒子。

比如电子。标准模型认为，电子已经是最基本的粒子，没有结构，但是，电子至少要存在于真空中，而它与真空有非常复杂的相互作用，根本不可能全部写出来。量子场论可以将电子的自能，自旋g因子等性质计算得非常精确（12位有效数字），但是很难更精确，因为往后太复杂了。其它基本粒子也一样，因为真空的属性，即使单个粒子，也参与多体相互作用，而多体相互作用都是非线性的。而由基本粒子构成的复合粒子，如原子核，原子，当然更复杂。

举一个简单的例子，一个氢原子，电子处在激发态上。通常情况下，电子无法保持在激发态上，会迅速退激发，回到基态。为什么呢？我们说激发态不稳定，因为电子跟真空，跟原子核，存在各种各样的相互作用，其中有一种作用，让它回到稳定的基态，并放出能量，如果没有一个外来的能量把它激发上去，它就会待在基态上。基态是最低能量态，这时候，还是存在各种各样的相互作用，它还是在做各种尝试，但是没有外部条件支持，看起来就是待在基态不动。

如果电子，或者说氢原子是完美线性的，激发态是一个符合薛定谔方程的合法轨道，如果没有剩余的相互作用（非线性作用），电子应该一直维持在激发态轨道上，因为不存在让它发生变化的机制。别的轨道跟这一条轨道一点关系都没有（正交性的要求），也就是电子根本不知道其它轨道的存在。可是这样的话，也不存在电子从基态激发到这一条轨道的机制了。

所以，从基本相互作用的角度来说，完美线性的物理体系是不存在的。如果存在，一定跟我们这个世界没有关系，否则该体系无法保证自己的完美线性。

完美的线性世界是什么样的？

非线性相互作用，是我们这个世界的物理基础。没有非线性，就没有我们这个世界。但是我们仍然可以想象一下，一个完美线性的世界是什么样的。

在一个完美的线性世界里，由于缺乏相互作用，或者说，缺乏引起不可逆状态改变的相互作用，它的熵是守恒的（刘维定理），也就是，世界的混乱度不会改变。对很多人来说，这样的世界完美地有序，真的是非常完美，呵呵。

可是，熵不变，这样的世界就没有热力学了，也就没有热力学时间了，也就没有耗散系统了，像我们这样的生命就不会存在了。

一个没有时间的世界，没有变化，或者只有循环的变化。这样一个世界是死亡的世界，跟我们很早的时候担心过的宇宙命运——热力学终结（热寂）——是一样的。热寂是熵达到最大，所以死亡，完美世界是熵不变，也是死亡。

为什么完美线性的世界不存在？因为不完美线性的我们存在。

顺便说一句，霍金曾经证明过黑洞的量子信息守恒，就是用的完美线性假设加超距量子纠缠假设。这两个假设也是量子信息理论的基本假设。微观过程量子信息守恒，或者熵守恒，将导致宏观的熵守恒，这显然是一个荒唐的结论。国际上接受这一理论的物理学家并不多，但在国内基本上被“科普”成高深的真理了。

对于一个量子信息体系，比如量子计算机，在完美线性的条件下，就是会变得像现在量子信息研究者设想和主张的那样美好：无穷精确，很少的量子位可以存储海量的信息，可以达到很大的并行度，计算可以无穷快（因为光速无穷大）。

但在一个真实的、不完美的、充满非线性的、由相对论控制的世界里，量子信息体系是什么样的呢？存储的信息不可信，信息的存储和操作都会受到非线性效应的影响，最后体系的状态不是由计算的操作决定，而是由热力学决定，或者说热力学将起到重要作用。随着量子位数目和并行度的增加，不可控制的热力学效应越来越重要，非线性效应将主导体系的演化，计算的结果将大大偏离设计的线性计算目标。

设计和操作一个量子体系仍然是有可能的，但是认为其中只有线性作用是肯定不对的。

可是在量子信息的理论框架中，找不到非线性这个词汇。所有的数学表达式中，只有一种数学运算——加法。好吧，公平地说，用到了所有线性运算。

理想体系与真实体系

在通常的科学和工程应用中，有大量的线性系统。那么是不是说，线性系统大量存在呢？我们看看常见的典型系统：

l  单摆：无穷小幅度的单摆是线性的，小角度单摆是近似线性的，大角度单摆是非线性的，复合摆是非线性的。

l  波：理想的波是线性的，条件是没有任何相互作用。真实的波存在色散，耗散，波波相互作用，等非线性效应。

l  天体系统：只有两个刚性的牛顿引力天体系统是线性的，少体系统在特殊条件（满足一定对称性等）下是线性的。真实系统有各种非线性因素，广义相对论效应，不是刚体，多体混沌效益，太阳风剥离，等等。但在演化时间很长的，以一个主恒星为中心的天体系统中，短时间内，可以认为是线性的。

l  流体：宏观微观角度都是非线性的。有一种理想的可逆流体。

l  电路：理想的电路是典型的线性系统，但隐含了下述条件：低频，材料性质不随电流电压等参数变化，无自感，等等。

l  刚体力学：理想刚体是线性系统。线性条件就是“理想”，硬度无穷大，不变形，无耗散。

l  量子体系：完全满足（非相对论）薛定谔方程的量子是线性的。真实的量子存在与真空的相互作用，高阶作用等非线性效应，不可忽略。

从上面常见物理系统的例子可以总结出来，线性成立的条件就是“理想”，也就是所有的真实体系都不是线性的。

在量子信息情形，是不是也存在足够“理想”的线性系统，可以忽略其非线性效应？这的确是值得研究的一个问题。一个量子体系可不可以认为是线性的？非线性效应对对量子信息影响到什么程度？每一类方案和研究都应该做细致的评估。但是像无穷精确，无穷并行，无穷快，等，这样的要求是不可能满足的。非常精确，非常快，大并行度需要有一个评估的标准，但可惜到目前为止，量子信息的理论基础都是理想线性加非相对论。“量子霸权”，传统加密算法破解，都需要完美线性。

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