第一次数学危机颠覆了毕达哥拉斯“万物皆数”的哲学理念而发现无理数；第二次数学危机是莱布尼茨和牛顿的微积分工具所致。由于采用无穷小的分析手段，但微积分本身对无穷小量的理解和运用却是一团糟，从问世一开始就遭到各方反对。典型的反对者就是主教贝克莱。最后由数学家柯西用极限的方法定义了无穷小量，微积分理论才得以收官。

 

如果说前两次数学危机的专业性比较强外，那么第三次数学危机就是小儿科了。说简单点儿就是“理发师悖论”，即“理发师的头谁来剃”。这是英国哲学家和逻辑学家罗素提出的，所以又叫“罗素悖论”。从专业的角度讲，也不难理解。罗素构造出一个集合S：S由一切自身的集合元素所组成。然后罗素问：S本身是否属于S呢？根据逻辑上的排中律，某元素不能同时属于某同一集合。换句话说，某元素必须选边站，要么属于甲，要么属于乙。反正不能既是甲，又是乙。

 

问给定的某集合，是否属于它自己是有意义的。但对这个貌似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。这便是所谓的“罗素悖论”。罗素悖论浅显易懂，涉及的只是集合论中最基本的东西。一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。弗雷格在收到罗素的信后颇感伤心：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”可以说，罗素悖论引发的第三次数学危机，最终导致逻辑学一分为三，逻辑主义、直觉主义和形式主义。尽管后来有策梅洛等人的补救，第三次数学危机依然没有完全解决。

 

那么为什么会出现第三次数学危机呢？我想这依然要怪罗素本人，他提出了悖论，但也没有甚至无法解决这个悖论。哥德尔的不完全定理则一个打俩，把逻辑主义和形式主义“斩于马下”。直觉主义更是抛弃了大多数数学成果而遭诟病。然而，始作俑者的罗素为什么提出以他的名字命名的悖论呢？在我看来，就是他的逻辑学对莱布尼茨的不理解。莱布尼茨的逻辑学是SP逻辑，即主谓逻辑，谓词包含在主词之中。如果按照莱布尼茨的这个方向走，似乎就不会出现罗素悖论了。可他却“腰斩”莱布尼茨，把他的主词去掉了。只要谓词。因此当时的逻辑也叫一阶谓词逻辑。试想一下，没头没脑的逻辑能不出现悖论吗？

罗素是莱布尼茨专家。他曾写过一本很有名气的书《对莱布尼茨哲学的批评性解释》，这本书最厉害的就是罗素用“奥卡姆剃刀”将他认为没用的东西给“剔除”了，完全采取了“六经注我”的态度。那么其中这把刀就把莱布尼茨的头砍掉了。罗素把莱布尼茨一分为二，在他的《西方哲学史》中说莱布尼茨有两种哲学，一种是迎合贵族，拍马屁的；一种是秘传的，这部分秘传的哲学才是他所需要的。于是就把莱布尼茨形而上学部分给扬弃了。不过罗素人倒是实事求是，还是将莱布尼茨视为数理逻辑的开创人。因此逻辑主义实际上始于莱布尼茨，罗素只不过是接续莱布尼茨的工作而已。

 

拿了个没有头的莱布尼茨，罗素便开始构建自己的哲学体系。可是最后却发现了悖论。罗素究竟扬弃了莱布尼茨哪一部分的形而上学呢？莱布尼茨生前发表的著作不多，他自己都说，如果根据他所发表的著作对其进行评价，肯定会遭到误解。那么不幸言中，罗素就是误解莱布尼茨的一位。莱布尼茨被罗素所扬弃的大致有《神正论》、《形而上学谈》、《单子论》等。实际上，我们仔细看看罗素的“逻辑原子论”，和莱布尼茨的单子论有异曲同工之妙，是被那单子论逼出来的。否则他的哲学也没头啊！难道他要当个刑天？舞着干戚出来耍?

 

还有一点我认为就是把莱布尼茨的SP逻辑彻底破坏了。而SP逻辑的主项就是他所谓的“可能世界”学说。在《形而上学谈》中，莱布尼茨说：“一个事物情况A是可能的，当且仅当A不包含任何矛盾；事物情况A1，A2，A3……所组成的组合是可能的，当且仅当A1，A2，A3……推不出矛盾。一个可能世界就是由无穷多具有无穷可能事物的组合。”不难看出，莱布尼茨的逻辑是二阶的。可是罗素他们只要了“一阶”的“谓词逻辑”，而抛弃了莱布尼茨的“二阶逻辑”这就导致了悖论。在我看来，如果走莱布尼茨二阶逻辑的道路，也就不大容易出现罗素悖论。

 

现在的一阶谓词逻辑依然或多或少地被罗素悖论所困扰。可是罗素整个三大卷的《数学原理》就是个实质蕴含系统，即如果……则……。这个系统与日常生活的直觉相去甚远，于是美国逻辑学家刘易斯又搞出严格蕴含系统，把莱布尼茨请了出来，弄了S1-S5系统。二阶的模态逻辑才问世。但即便如此，悖论也还是出现，于是严格蕴含系统在逻辑学界也不吃香。关键是严格蕴含系统没有语义学。直到后来，美国逻辑学家克里普克利用莱布尼茨的可能世界的概念，才赋予模态逻辑语义学，也称关系语义学。这样被罗素砍掉脑袋的莱布尼茨又让克里普克给捡回来按了上去。可是莱布尼茨是死是活，就不清楚了。反正他在罗素那里死过 一次的。

总之，第一和第二次数学危机是建设性的，第三次数学危机的破坏性大于建设性。

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