2006年的一天，舍友蔡子告诉我一个段子。他们组一个师兄到北京某高校找工作。那个学校的理科规模可能不是很大，所以数学系和物理系在一起，合起来算在理学院里。院长是个搞数学的。可能院长看他是学物理的，便问，你知道hilbert空间的定义吗？结果这个师兄答不上来，虽然搞量子力学的天天面对hilbert空间。

这个段子让我笑不起来，因为我也不知道什么是hilbert空间，尽管我跟那个师兄一样，头脑里对hilbert空间有个大概的印象。

事实上，我很清楚地记得在本科刚开始学量子力学的时候，教材上的hilbert空间的定义有一点让我特别困惑。为什么是平方可积？为什么指数恰恰是2，不是1，或者3，或者其他某个实数？为什么是波函数的平方代表几率分布？波函数的绝对值为什么就不能够代表几率分布，或者波函数的绝对值的四次方为什么就不能够代表几率分布？为什么偏偏是2？

类似的疑问其实更早在我学线性代数的时候就有了。为什么（倾向于）定义一个向量的模为各分量的平方和再取根号？

这些疑问直到好几年后我对泛函分析有了初步了解后才消失。确实，如果我们只想给每一个波函数定义一个模（norm，范数）的话，指数p完全可以是1，或者3，或者任何其他的大于等于1的实数。实际上，这就是所谓的勒贝格范数：

但是，问题是，对于一般的p，这样定义的范数并非来自于一个内积！因为这样的范数不满足平行四边形法则。一个内积可以诱导出一个范数，而反过来一个范数却不一定能够诱导出一个内积。内积涉及到两个向量，而范数只涉及到单个向量。只有有了内积，才有向量正交，正交投影等概念。对于一般的p，我们仅仅得到一个banach空间，在这个空间里两个向量是否正交没有任何意义。而只有当p=2，这个banach空间才能升格为一个hilbert空间，我们才能开始谈向量之间的内积，才有正交投影，才有测量几率。

当年，在schroedinger刚刚提出他的方程的时候，包括他本人在内，很多人都不明白波函数是否具有某种物理意义，还是仅仅只是计算能级的一个辅助工具。后来得了奖的rabi在当时是个研究生。他很快看懂了schroedinger的文章，并且仿照schroedinger的办法，通过解schroedinger方程计算了对称陀螺的能级。

http://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.29.262

但是， 他不明白波函数的物理意义。好在这点很快被born解决。born提出了他的波函数的几率解释------波函数的模方就是粒子出现的几率。不晓得born当初是否对取平方有过慎重的思考。不过，如果他的数学足够好，他应该有信心就是应该取平方，而不是波函数绝对值，或者其他。数学可以告诉他物理学的规律应该是什么样子。当然了，科学的发展从来都不是依照逻辑进行的。事实上，量子力学的数学基础（也就是泛函分析）并不比量子力学本身早出现。量子力学的出现恰恰大大促进了泛函分析的发展。von neumann对泛函分析贡献很大，而他的工作动机基本上都来自量子力学。

末了，hilbert空间的定义是：完备的内积空间。这里的完备性值得注意。曾经见一个马普所的group leader在一个给数学系物理系合开的mini-course里将完备性定义为，如果A，B属于空间，那么A+B属于空间。不知道数学系的学生是否感到诧异。