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Mott的处女作 精选

已有 3215 次阅读 2019-6-12 10:38 |个人分类:物理学史|系统分类:科普集锦

最近浏览了下Mott的自传a life in science。听大师讲其经历的物理学的发展是件很享受的事情。

Mott提到,他的第一个工作是关于库仑势中粒子的散射问题。

大概在1926年,heisenberg率先取得突破,提出了矩阵力学。按照Mott的说法,当时,矩阵这种东西,即便在剑桥,也没几个人熟悉(其实英国有cayley,英国人也许是最应该懂矩阵的了)!不过,很快schroedinger又搞出了波动力学,其方程是物理学家熟悉的偏微分方程,所以很快被物理学家们掌握,之后量子力学爆炸了。

1926年的时候,Mott刚好在剑桥读本科。按照Mott的说法,1926也许是开始做研究的最佳时机,因为有很多简单(而重要)的问题可以做。

当时在剑桥,在卡文迪许,有个巨人叫卢瑟福,他因为著名的卢瑟福散射闻名。所谓卢瑟福散射就是带电粒子在库仑势中的散射。卢瑟福给出了这个过程的微分散射截面的解析公式。

但是卢瑟福当初是没有量子力学的,他是基于经典力学推导的他的公式。现在既然有了量子力学,就得用量子力学重新考虑这个问题。

Mott就是做的这个问题。Mott在没有做任何近似的情况下,解析地证明了在量子力学中,卢瑟福的公式依然成立。其文章展示了很高的数学技巧,而其作者当时仅仅是个本科生。

其实在Mott之前,德国的Wentzel和Oppenheimer就考虑过这个散射问题。

Wentzel(就是著名的WKB的W)采用的办法是Born近似,只考虑到第一级修正。如果直接对库仑势1/r用born近似,就会发现,最终要做的积分是对sin(ax)从0积分到无穷大。显然,在参数a不等于0时,积分振荡而不收敛。Wentzel采用的办法是给库仑势加个调制因子exp(-r/R),这里参数R最终趋于无穷大。一旦有了这个调制因子,被积函数就是sin(ax)exp(-x/R),积分就收敛了。而且幸运的是,在R趋于无穷大时,这个值趋于一个有限的值即1/a。于是Wentzel令原来发射的积分为此有限值。这样他得到了卢瑟福公式。

Wentzel在他的文章的结尾是这样评述的,Ich habe nicht feststellen koennen, ob dies auf einem Zufall oder auf einem tieferen Zusammenhang beruht (我不知道这是个巧合还是有更深层的原因)。

让人感动的诚实!今天很少有文章会坦诚自己结果或者方法的局限性,夸夸其谈的倒是很多。

Wentzel采用的这个伎俩,在数学上叫abel summation(阿贝尔和),也叫abel regularization(阿贝尔正规化)。这是个无厘头的技巧,但是对很多物理问题都非常有效,博主甚至都遇到过。

不确定这是否是abel summation在物理学中最早的应用。不过,关于这个伎俩,Wentzel是这么讲的(见回忆文章https://arxiv.org/pdf/0809.2102.pdf  ),Born was too mathematical to dare alter the Coulomb potential. I had no such compunctions and Born never forgave me for that. 

也许这个伎俩还是让人不安,在Wentzel之后,Oppenheimer重新考虑了wentzel要做的积分。他发现,如果不采用wentzel采用的球坐标,而采用柱坐标,就根本不需要引入调制因子,可以直接用精确的库仑势,得到的结果(在born近似下)还是卢瑟福公式。

Wentzel和oppenheimer的文章一再暗示,即便在量子力学下,卢瑟福公式依然成立。但是他们的文章毕竟是基于born近似的,而且是最糙的born近似,所以找一个精确解还是必要的。这就是Mott的工作。

据Mott讲,这个工作在卡文迪许没有引起多大反响,但是Fowler很喜欢。在Fowler的推荐下,文章发表在著名的皇家学会会志上。

今天的量子力学教材上对量子力学下卢瑟福公式的推导都是采用wentzel的办法,因为积分非常简单。Oppenheimer和Mott的推导都需要太多数学。


注1:Mott,wentzel,oppenheimer的文章:

Wentzel1926_Article_ZweiBemerkungenüberDieZerstreu.pdf  

Oppenheimer1927_Article_BemerkungZurZerstreuungDerΑ-Te.pdf   

Mottrspa.1928.0067.pdf    

注2:在上面的回忆wentzel的文章中有提到,wentzel曾给学生讲,born提出的几率解释其实在当时的圈子里是常识,因为这个原因born并没有专门为其几率解释写一篇文章(在born提出几率解释的文章的后半部分,born提出了所谓的born近似)。

注3:也许展示abel求和技术最简单的例子是下面这个。级数

1-1 +1 - 1 + 1 -1 + 1 

不收敛。但是加上指数衰减的调制因子后,级数

1 -x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + 

却可以求和为1/(1+x)。令x等于1,我们回到原来的级数,但是函数1/(1+x)在x=1时没有任何奇异的行为,其取值为1/2。于是我们令原来振荡的级数之和为1/2.



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