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谁引进了倒格子?Laue, Bragg, Bragg及Ewald的工作 精选

已有 4906 次阅读 2018-3-21 11:52 |个人分类:物理学史|系统分类:教学心得

备课物理学史中。考虑到x射线相关的诺贝尔奖有不下10个,有必要为之专门做一讲。

在读一些原始文献时,发现一些有趣的历史。

x射线是德国人Roentgen在1895年发现的(当时中国人在经历甲午海战,公车上书,福建船政学堂的学生们在跟着英法洋教员拿着外文原版教材学习平面几何,微积分等)。但是Roentgen只是发现有这样一种新东西,因为是未知的,所以他称之为x-Strahlen(x-ray)。搞清楚这种射线究竟是什么,是后来很多人的工作。比如一开始,Roentgen以为他发现了以太的一种新的振动模式。他也怀疑过这种射线本质是光,但是经他细致实验,这种射线没有任何可观的折射,衍射等行为,所以他很犹豫。

在Roentgen之后,英国的Barkla对认识这种新射线有重要贡献。通过一个非常巧妙的实验,Barkla对x射线进行了检偏,证实x射线具有偏振性质,提供了x射线是电磁波的一个关键证据。他还发现了一些元素的特征x射线。因为这两方面的工作,他于1917也得奖了。

在Barkla之后,Laue于1912年发现了x射线在晶体中的散射现象。这是x射线历史上的大事件。主要贡献者Laue是个理论物理学家。据说他在跟Ewald闲谈的时候,突发奇想,意识到x射线可能被晶体像可见光被光栅散射那样散射。他当时在大牛Sommerfeld手下工作,但是Sommerfeld不看好他的想法(原因不明)。但是不管怎样,Laue还是拉了两个实验物理学家(Friedrich和Knipping)帮忙验证他的想法。结果相当好。

在今天看来,Laue发现的现象是普通物理级别的,其原理跟普通物理中光学光栅没有区别。差别仅仅在于,通常教材上讲的光栅只在一个维度上周期,而晶体在三个维度上周期。对此,Laue在其原始论文里写道

Eine erhebliche Komplikation freilich bedeutet es, dass bei den Raumgittern eine dreifache Periodizitaet vorliegt, waehrend man bei den optischen Gittern nur in einer Richtung, hoechstens (bei den Kreuzgittern) in zwei Richtungen periodische Wiederholungen hat. 

他认为从一维到三维,问题变得显著地困难! 

今天看来,Laue显然没有及时发展出理解他的伟大发现的数学框架。这个框架就是今天固体物理里基本的倒格子,在此框架下,无论是光栅散射还是晶体散射,各级散射极大方向K_f均由Ewald方程给出,即

K_f - K_i = G,

其中G为某个非零倒格子矢量。这个方程对任意维度成立。只不过,在一维,方程肯定有解,而在三维下,则不一定。如果非要说三维相比一维更复杂,那么就是这一点更复杂。

Laue的物理图像还是非常清楚的,所以他轻松就推导了所谓的Laue方程

这个方程跟上面Ewald的方程等价,但是远没有Ewald方程简洁优美。也许是这个复杂的形式让Laue说三维光栅比一维光栅复杂得多。

在Laue之后,英国的Bragg父子也给了一个散射极大的方程,即所谓的Bragg law。其表述见以下截图(来自其原始文献)

这个方程出现在各种普通物理教材中。这个方程将x射线的波长与晶体面间距,散射角度等联系起来。但是这是一个莫名其妙的方程。其推导一般基于下图

他们的图像是,x射线被一个一个晶面反射,然后考虑相邻晶面之间的干涉。在图中,他们假设不同层中原子的水平位置是一样的。这显然是个过分的假设,不同层上的原子为什么不可以在水平上错开呢?他们考虑的是非常特殊的晶体结构,貌似是立方晶体,这相比Laue考虑的一般晶体结构,甚至还倒退了!尽管他们的文章是在Laue之后。

得到形式比较简洁几何意义非常明确的的公式的是Ewald。

但是即便他的工作也不完美。在他的文章中,他上来就假设四方晶体!只有对这种晶体,他定义了倒格子。reziprokes Gitter明确出现在他的论文里。不过以他名字命名的构造(Ewald construction)不需要作任何修改。博主恰好可以看懂这一段:

也可以见图(很明显,他取的是长方形格子,不是最上面那个图中的斜格子)

图中圆经过的格点就对应着散射极大。显然存在这种可能,即没有格点严格落在圆上。但是不要紧,靠近就行,毕竟实际晶体是有限大小。

从这些做着开创性工作的牛人的原始文章可以看出,在1913年,一个格子的倒格子对绝大部分物理学家来说还是个陌生的概念。通常大家在讲海森堡创立矩阵力学的时候,矩阵对物理学家是个陌生的概念。现在看来,x射线散射又提供了一个证据,即在那时线性代数,矩阵等远没有被物理学家掌握。在今天,一个矢量空间上的线性泛函,其对偶空间已经成为大学线性代数的基本内容,算个倒格子无非算个矩阵的逆矩阵而已。

注1:一些原始论文

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/pdf/10.1002/andp.19133461004 (Laue)

http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/royprsa/88/605/428.full.pdf (Bragg and Bragg) 

http://www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia/archivos_05/ewald-physik-z-1913.pdf (Ewald)

注2:据说Sommerfeld对Laue的想法持怀疑态度的原因是担心晶体中原子的热运动会破坏其结构有序性。这取决于原子的平均位移是否远小于x射线波长。后来Debye和Waller做了定量计算,得到了所谓的Debye-Waller因子。 

注3:  也许说光栅散射是个普通物理级别的问题是个很不负责的说法。如果只是确定衍射极大的方向,我们只需要做个几何或者说运动学问题,这也是laue他们做的。这个相对比较简单,但是如果想更细致地追问各个衍射极大的强度,问题就非常复杂了。普通物理教材肯定只会讨论光栅的衍射角度问题,不会讨论强度问题。博主不确定今天我们是否可以基于第一性原理计算各散射斑点的强度。据曹则贤老师在其量子力学少年版中所讲,强度问题也是逼出量子力学的一个重要因素。



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