博文
作物生长和产量的数学模型（译文）
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前言
本书意在概述作物建模方法，以构建数学基础扎实和适用性强的模型。
科学研究被认 为是探寻规律（patterns）、 关系（relationships）、联系（connections）、连贯性（consistency）和美（beauty）的过程。寻找数据图上的规 律或趋势，然后搜索与规律相符的数学关系，并鉴定多因子之间的联系，以及检验不同观测者和观测条件下规律的一致性，最后发现模型的数学美。在这五步中，最 后一步通常是最难实现，也最容易被忽视。
现代科学的语言是数学，这在物理、化学和生物学上已经得到证实。尝试对植物和动物系统进行定 量描述，必然产生相同的数学途径，但许多人被应用数学的语言和方法所吓到。本书也涉及到一些数学公式，但这些是还是好理解的。
鼓励读者先浏览本书中的数据和模型建模过程，然后再掌握模型的数学细节。书中的数据以表和图 的形式出现，以帮助读者理解示例。此外，同一公式可能在一章中多次出现，以及相同的符号可能具有不同的意思，这样做是为了避免过多使用符号。
（以下为作者的一些个人经历，略）
Allen R. Overman
作者总结了多年的科研经历，重点描述了logistic响应模型和概率生长模型，其中对 logistic方程的改形推导过程进行了详细描述。但本书涉及模型均是基于经验的静态模型，且全书所述模型均延伸自两个模型，内容较单一。总体来看，本 书更适合刚入门的建模新手，对于理解模型的演算过程有很大帮助。
译者
第一章 引言
1.1 历史背景
本书描述的建模方法是以实验结果为驱动和指导的。模型正在发展，并逐步完善，而非停留在设想 阶段。在本书中作者没有描述广泛领域内的作物建模，还是关注实际应用较好的模型。相对于有限差分法，我们更喜欢使用解析函数(Ford, 1999)。我们也没有发现有限差分法可以替代解析函数。因此，学生仍应该学习微积分、微分方程和物理。
1.2 产量响应模型
E.A.Mitscherlich最早模拟了作物对管理措施的响应，他还模拟了许多有趣的事 情。这在当时产生了相当大的争论。Mitscherlich的方程为
其中，N为养分施用量；Y为干物质产量；Y0为，N等于0时的干物质产量；Ym为在高氮时的 最大干物质产量；c为养分响应系数。该方程假定产量均是正值。
后来有人证明，Mitscherlich公式与更早期数据资料规律不一致。（具体比较过程 略）
随后，有人认为logistic方程可作为替代Mitscherlich方程。
其中，Y为干物质产量；N为养分施用量；A为于高氮时的最大干物质产量；b为阻滞系数 (intercept parameter)；c为养分响应系数。模型曲线呈S形，且Y在N取值范围内均为正值。logistic方程适用于描述作物对N、P和K的响应。有关该 模型的延伸和应用将在第二和四章展开。
1.3 生长模型
在1.2中，我们更多关注的是随季节变化的干物质对施用养分的响应，而在本小节，我们讨论干 物质积累和植株营养随时间的变化。 作者（1984）使用概率模型描述作物生长。
其中，Y：干物质积累量；t：从1月1号开始的时间（单位：周）；A：最大干物质积累 量；μ：到干物质分布均值的时间（单位：周）；σ：干物质分布的时间范围（单位：周）。(以下举例说明了该模型的求解过程，略)
1.4 环境输入
环境或气候等输入影响作物生长，太阳辐射引起作物生长速率的季节性变化证实了这一点。（作者 以气温和太阳辐射为气候变量，简单演示了1.3小节中的生长模型）
1.5 总结
本章举例说明几个数学模型的应用。许多关键规律已经研究了很长一段时间，但有批评指出，这种 方法仅可称为”曲线拟合”。
第二 章 季节响应模型
2.1 背景
本章对logistic模型的分析和应用作了进一步扩展。
2.2 扩展logistic模型
logistic模型可延伸应用到植物养分吸收和干物质生产，而这种应用是基于三个假 设：1. 年干物质产量对氮素呈logistic响应。2. 年植株氮素吸收对氮素呈logistic响应。3. 两者的氮素响应系数相同。
(译者注：殷新佑等认为logistic模型不能准确估计最大值A，因而限制了模型的应用。 殷新佑提出了新的生长曲线模型。以下logistic模型的改形过程略)
2.3 扩展多logistic模型
2.4 水分有效性
2.5 豆科/杂草互作
第三 章 生长响应模型
3.1 背景
禾本科作物的干物质和养分积累随时间呈S形曲线。
3.2 经验生长模型
3.3 扩展经验生长模型
3.4 现象生长模型
3.5 扩展生长模型
第四 章 模型的数学特征
4.1 背景
本章主要关注数学细节，如微分方程的解法，函数的数学特征。还提供了生长模型和季节性模型的 数学基础，这包括一些数学定理。
4.2 现象生长模型
第五 章 牧场系统 (略)
第六 章 非线性回归的数学模型
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6.1 背景
第六章是本书中最枯燥的一章。
回归分析涉及到许多数值分析方法，其中二阶牛顿拉夫申法，又称牛顿迭代法非常有效。 非线性回归分析中的”非线性”系指模型参数的非线性，即回归模型的1 个或多个参数以非线性形式存在。但我们通常认为模型自变量以”nonlinear”形式存在。这两者是有区别的，读者就加以注意。 6.2 Logistic 模型
Logistic的最简单形式：
其中，Y：季节干物质产量(Mg ha-1)；N：施氮量(kg ha-1)；A：最大季节干物质产量(Mg ha-1)；b：干物质阻滞系数；c：干物质对氮的响应系数(ha kg-1)。 Eq.[6.1]的参数A是线性，而参数b和c是非线性。 优化Eq.[6.1]与实验数据的拟合，即优化参数A、b和c的取值。
优化的标准就是尽量使数据与模型偏差的误差平方和最小化。 在进行非线性拟合时，非线性参数的初始估计是必要的。通常可通过绘制数据趋势图获得，或 者把模型进行线性变化，而后进行线性回归获得。
在大多情况下，我们需要对多个数据集进行比较。对数据集拟合后，发现模型的某些参数在数据集 间是一致的，而另一些参数则在数据集间有差异。如比较”干”和”湿”两年份作物的产量，利用Logistic模型进行拟合，参数A的在两个年份间有差异， 而模型参数b和c在两年份间保持一致。 那么参数A是对两年数据分别估 计获得，而参数b和c是汇总两年数据估计获得(individual A values would be obtained by summing Eq. [6.6] for each set of values. Parameters b and c would be estimated by summing over all of the data.)。在对数据进行非线性拟合时，可同时求得参数A、b和c的标准误(standard error)和模型的非线性相关系数R。
6.3 概率模型
（即1.3小节中的生长模型，略）
6.4 置信区间
在6.2和6.3，讨论了参数最优值的估计方法，以及参数估计值的标准误计算方法。本节仍以 logistic模型为例，进一步讨论参数组合的预测效果。
6.5 敏感性分析
在模型分析中，常需要测定模型对模型参数值改变的敏感性。
例如，logistic模型的参数估计值为A=10.77 Mg ha-1, b=1.05, c=0.0123 ha kg-1；标准误为SDA=0.37 Mg ha-1, SDb=0.09, c=0.0013 ha kg-1。
方法一， 保持参数b和c值不变，在标准误范围内改变A值，并计算结果。组合趋势图，检验每个参数取值变化对趋势线形状的影响。
方法二，改变单个参数，计算误差平方和E的变化。模型参数在最适值附近的变化， 其E vs 参数图接近抛物线。
6.6 无量纲图
无量纲图在科学与工程上使用最频繁。使用无量纲图有二个目的。一、简化大量结果为 compact form；二、检验模型在实体系统的普遍适用(One is to reduce a large amount of results into a compact form, and the other is to test the general applicability of a model to a physical system.)。
我们更关注后者。如果数学模型恰恰很好地描述了一组数据，可以认为该模型是特定数据的仿制 品。为了评价模型的通用结构和形式，我们怎样不同的数据集，其拟合模型的参数值不同(The question is how to compare different sets of data where parameter values may differ in order to evaluate the general structure and form of the model.)。
6.7 相关系数
相关系数R是检验模型与数据拟合优度的一个指标，其取值范围在-1到1之间。另一个指标是决 定系数，即相关系数的平方。
作者认为相关系数是检验模型与数据拟合度的非常有用的指标，但相关系数应与其它指标一并考 虑，如参数估计值的标准误。
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