【编者按。下面是薛问天先生的评论文章。是对师教民先生的 《1031》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

谈问题(3)的关键，师教民对dx1=dx2

的两种证法的错误，评《1035》

薛问天 

xuewentian2006@sina.cn

一，不要在名词上胡乱纠缠。函数有两个微分，一个是函数的因变量微分，一个是函数的自变量微分，当然这两个微分都是该函数的微分。我强调的〖微分是函数的微分，不是变量的微分〗，意思是让你认清对函数等式y=f(x)，所求的dy=f´(x)dx，的这个微分dy是函数y=f(x)的因变量微分，不是变量y的微分。其中这个微分dx是函数y=f(x)的自变量微分，不是变量x的微分。强调这点的重要性在于

〖如果不认清这点，在多个函数放在一起时，就要出问题。因为多个函数可以有相同的变量。〗

在正反函数中，函数(1)y=f(x)和函数(2)x=g(y)，有相同的变量x。但对函数(1)y=f(x)所求的微分dy=f´(x)dx中的dx，和对函数(2)x=g(y)所求的微分dx=g´(y)dy中的dx，就是不同的微分。因而

〖强调【微分是函数的微分】就是在说这两个dx不是同一个微分。如果你认为【微分是变量的微分】，dx是变量x的微分，那么这两个微分因为你认为都是变量x的微分，dx就是同一个微分对象了。〗

显然这是不对的。

所以我们说〖微分是函数的微分〗，因为按照微分的定义，第一个微分dx是函数y=f(x)的自变量微分，第二个微分是另一个不同函数x=g(y)的因变量微分。这是不同的对象。我们说〖微分是函数的微分〗，因而对不同的函数有不同的微分。说〖微分不是变量的微分〗，说dx不是变量x的微分，因为不同函数可能有变量相同，变量x相同都是x，但两个dx却是不同的微分。

为了明确地区分这两个微分的不同，我们就严格地把第一个微分dx，即函数y=f(x)的自变量微分，用dx1表示。把第二个微分dx，即另一个函数x=g(y)的因变量微分，用dx2来表示。而不再用dx这个符号表示。以上讲的就是我们要说的实际内容。希望师教民先生抓住问题的实质，明确表态，对以上的结论是同意还是不同意，说出自己的看法来。不要在其它问题上继续纠缠。

我们現在讨论的是问题(3)。因而我把师教民关于(3)，所提出的两个证法中的错误再重复归纳如下，希望师先生对这里面的错误具体明确表态，不要再在其它问题上纠缠了。

问题(3)是说，令dx1是函数y=f(x)的自变量的微分，知dx1=Δx。令dx2 是x=g(y)的因变量的微分，dx2=Δx-o(dy)≠Δx。如果证明了dx1=dx2，这就形成 dx1=Δx 和 dx1≠Δx 的矛盾。说明微积分理论存在问题。

师教民先生用两种方法来证明dx1=dx2。所以问题(3)的关键就是要说明，师教民先生用两种方法对dx1=dx2证明的错误。

二，师教民先生第一种方法证明dx1=dx2的错误。

师先生令变量x=x1=x2，而且把函数x=g(y)写成x1=g(y)，和x2=g(y)，这都没有问题。问题出在对等式x1=g(y)的求微分上。正确的作法是，因为〖微分是函数的微分〗，求微分应对函数求微分，这个等式表示的函数是第(2)个函数x=g(y)，所以求出的等于g´(y)dy的微分应是第(2)个函数x=g(y)的因变量的微分。由于师先生已令【函数x=g(y)的因变量微分用dx2来表示】，所以得出的结论应是dx2=g´(y)dy。而师先生的错误就错在他说【由x1=g(y)及微分的定义知，dx1=g´(y)dy，】(师《1021》)。

他的错误就在这里。如果仅讨论的是一个函数，你完全可以根据微分的定义，用dx1来表示函数x=g(y)的因变量的微分。但是現在是多个函数在一起讨论，而且你已经令【dx1是函数y=f(x)的自变量的微分】，已经令【dx2是x=g(y)的因变量的微分】，你就不能再认为dx1是x=g(y)的因变量的微分了。所以你这里说【由x1=g(y)及微分的定义知，dx1=g´(y)dy，】就是错误的。(我们批评的是dx1=g´(y)dy，并没有批评说dx2=g´(y)dy是错误的。)

当然由此错误的dx1=g´(y)dy，和dx2=g´(y)dy，推出的dx1=dx2就显然是错误的结论了。

实际上师先生的错就错在没有认清〖微分是函数的微分〗，对等式x1=g(y)求微分，应是对等式表示的函数求微分，那么所求的微分就是函数x=g(y)的因变量的微分。〖微分不是是变量的微分〗，不能因为变量是x1，就以为所求的微分就是dx1。要知道【dx1是函数 y=f(x)的自变量的微分】。错就错在这里。要知道后来狡辩说概念上不同而数值上相等，也是毫无根据的。

师先生说【因为是对包含有y=f(x)的自变量x1的等式x1=g(y)的两边进行微分运算得到的结果是 dx1=g´(y)dy， 所以 dx1 在概念上就是 y=f(x)的自变量的微分， dx1=g´(y)dy 说明两边数值相等． (《1025》)】师先生在这里明显地把微分dx1看作是变量x1的微分，犯了不是对函数而是对变量进行微分运算的错误。

要知道说【等式x1=g(y)的两边进行微分运算】，把等式左端看作是一个变量来进行【微分运算】就错了，微分是函数的微分，不能对变量作微分。而且把变量x1的微分认为就是dx1，而且认为变量x1是函数y=f(x)的自变量，就得出dx1是函数y=f(x)的自变量微分，这是毫无根据的乱弹琴。微积分中沒有这样的【微分法则】。这完全是师先生的主观臆想。

更为甚者，师先生最后竟然不承认两个dx的不同，竟然说【不能忘记 x1 还是函数 y=f(x)的自变量， 所以 dx1 当然就既是函数 y=f(x)的自变量微分、又是函数 g(y)的因变量微分了．(《1029》)】

三，师教民先生第二种方法证明dx1=dx2的错误。

师先生列出变量相等的公式x1=x2，x2=x1，而且说x1是函数y=f(x)的自变量，x2是函数x=g(y)的因变量。我认为这都没有问题。关键还是对等式求微分上。师先生说由于x1=x2，因而dx1/dx2=dx1/dx1=1，所以dx1=dx2。

由于x2=x1，因而dx2/dx1=dx1/dx2=1，所以dx2=dx1。(《1027》)。

师先生没有讲他是如何推导的。但按照我的理解，正确的作法是对函数求导数。等式x1=x2，列出的是一个以x1为因变量，以x2为自变量的函数x1=I(x2)，而且这个函数x1=I(x2)=x2，是恒等函数。由于恒等函数的导数等于1，所以对此恒等函数x1=I(x2)求导数，有dx1/dx2=I´(x2)=1。从而可推出dx1=dx2。但是千万注意〖微分是函数的微分〗，这里的dx1是恒等函数x1=I(x2)的因变量微分，dx2是恒等函数x1=I(x2)的自变量微分。dx1=dx2指的是恒等函数x1=I(x2) 的因变量微分同自变量微分相等。

师先生的错误就在于把这个恒等函数x1=I(x2)的因变量微分dx1，错误地理解为是函数y=f(x)的自变量微分dx1，把这个恒等函数x1=I(x2)的自变量微分dx2，错误地理解为是函数x=g(y)的因变量微分dx2了。因而师先生的第二种方法所证明的dx1=dx2也是错误的。

因而我认为师先生所犯错误的原因仍然是没有认清〖微分是函数的微分，不是变量的微分。〗把对恒等函数x1=I(x2)的两个微分看成是函数y=f(x)的自变量x1的微分和函数x=g(y)的因变量x2的微分了。

师先生说【据正反函数y=f(x)(编号为1)和x=g(y)(编号为2)的定义知，上述正反函数的变量x1与x2是同一个变量x，同一个变量本身肯定恒等于自己，所以x1≡x2≡x，所以自然得出dx1=dx2=dx．】明显暴露了他认识上的错误，把微分当作是变量的微分，认为变量相等x1=x2，就可得出微分相等dx1=dx2的错误结论。足以证明我强调〖微分是函数的微分，不是变量的微分〗的重要作用。我所说的微分不是变量的微分，要说的正就是不要以为变量相同，微分就相同。

回顾一下我前面说的话:

不同的函数有不同的微分。说〖微分不是变量的微分〗，说dx不是变量x的微分，不同函数可能有变量相同，变量x相同都是x，但两个dx却是不同的微分。

这就是师先生错误的根源。

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