4.设 $P_n(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0 $是首项系数为 1 的 $n $次多项式，证明存在 $z_0,|z_0|\leqslant 1 $使得

$$|P_n(z_0)|=\max\{|P_n(z)| ;|z|\leqslant 1\}\geqslant 1.$$

证: 反证，假设不存在这样的 $z_0$,则对任意在 $|z|\leqslant1$ 内使得 $|P_n (z)|$ 达到最大值的 $z_0$ 都有

$$P_n(z_0)=\max\{|P_{n}(z)| , |z|\leqslant 1\}<1$$

记 $M=\max\{|P_{n}(z)| , |z|\leqslant 1\}$，则 $M<1.$

由 Cauchy 不等式有

$$|P^{(n)}_{n}(0)|\leqslant\frac{n! M}{1^n}<n!$$

而由$P_n(z)=z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0\ $，显然$|P^{(n)}_{n}(0)|=n!$ 矛盾！$\Box$

5.如果非常数的函数 $f(z) $ 在 $0<|z|<1 $中解析，且圆环内有一个点列 $\{z_n\},0<|z_n|<1,$使得 $f(z_{n})=0 (n=1,2,\cdots) $且 $z_n\to0 (n\to\infty)$.

证明:0是的 $f(z)$ 本性奇点.

证: 先证明 0 是孤立奇点. 若 0 不是孤立奇点，则由题意及解析函数的唯一性定理显然 $f(z)=0,|z|<1.$ 但

这与 $f(z)$ 不是常数矛盾！

由于孤立奇点只有可去奇点，极点，本性奇点.故我们下面只需说明 (1)0 不是可去奇点.(2)0不是极点.

(1)0 不是可去奇点.

若 0 是可去奇点，则 $f(0)=\lim\limits_{n\to\infty}f(z_n)=0$,补充定义 $f(0)=0$ 同样由解析函数的唯一性定理有 $f(z)=0,|z|<1.$ 矛盾！

(2)0不是极点.

若 0是极点，则不妨设为 $m$ 阶极点,则 $\lim\limits_{z\to0}f(z)=\infty,$ 这样由 $Heine$ 定理必然不会存在 点列 $\{z_n\},0<|z_n|<1,$ 使得 $f(z_{n})=0 (n=1,2,\cdots) $且 $z_n\to0 (n\to\infty)$.矛盾！

综上所述 0 是的 $f(z)$ 本性奇点.$\Box$