1.令$$f(x)=\prod_{i=1}^{2013} (x-i)^2+2014$$

问$f(x)$在有理域内是否可约?

2.如果 $MNMN$ 为零矩阵,那么 $NMNM$ 是否也一定是零矩阵?

3.除了单位矩阵，还有别的埃尔米特矩阵 M 满足下面的条件吗？

$$4M^5+2M^3+M=7E_n$$

其中, $M$ 是 $n$ 阶矩阵.

4. $V$ 是 $n$ 维线性空间. $A$ 的最小多项式是 $n$ 次.

(1) 证明存在向量 $\alpha$, 使得 $\alpha, A\alpha,\cdots, A^{n-1}\alpha$ 是 $V$ 的一组基.

(2) 任何与$A$ 可交换的线性变换,可表示为$Ａ$的多项式.

5.$V$ 是所有 $n$ 阶复矩阵组成的向量空间.求所有形如 $MN-NM$ 组成的向量空间的维数.

6.欧式空间$\mathbf{V}$中, 对称线性变换$\mathcal{A}$称为“正的”, 若对$\forall \alpha \in \mathbf{V}$, 都有$(\alpha\,,\,\mathcal{A}(\alpha))\geqslant 0$ 成立, 且等号当且仅当$\alpha =\mathbf{0} $ 时成立.

(a)证明若线性变换$\mathcal{A}$是正的，则$\mathcal{A}$可逆;

(b)证明若线性变换$\mathcal{B}$是正的, $\mathcal{A}-\mathcal{B}$也是正的，则$\mathcal{B}^{-1}-\mathcal{A}^{-1}$是正的;

(c)证明对于正的线性变换$\mathcal{A}$, 总存在正的线性变换$\mathcal{B}$ 使得$\mathcal{A}=\mathcal{B}^{2}$.

7.求单叶双曲面$$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$$垂直的直母线交点的轨迹.

8.保距变换

$$x' = a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z$$

$$y' = a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z$$

$$z' = a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z$$

(原题 $a_{11},\cdots,a_{33}$ 皆为具体数字, 现已记不清, 用字母代替之)

可以看做绕不动直线旋转一个角度而得到.

(a)求不动直线的方向向量;

(b)求旋转角$\theta$.

9.点$A(a_{1},a_{2},a_{3}), \,B(b_{1},b_{2},b_{3})$在直线$$\frac{x+a}{2}=\frac{y+b}{2}=\frac{z}{3}$$(原题$a_{1},\cdots,b_{3},a,b$皆为具体数字，现已记不清, 用字母代替之)

上的投影为$A_{1}, B_{1}$, 求$A_{1}, B_{1}$坐标以及距离.